习题课　函数的零点与方程的解

习题课函数的零点与方程的解第四章

指数函数与对数函数1.进一步应用函数零点存在定理，已知零点(方程的解)的情况求

参数范围.2.掌握一元二次方程的根的分布情况.学习目标一、一元二次方程的根的分布问题例1

已知关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0.(1)若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数m的取值范围；解设f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6，f(x)的大致图象如图所示，∴f(2)<0，即4＋4(m－1)＋2m＋6<0，得m<－1，∴实数m的取值范围为(－∞，－1).(2)若方程有两个实根α，β，且满足0<α<1<β<4，求实数m的取值范围；解f(x)的大致图象如图所示，(3)若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围.解方程至少有一个正根，则有三种可能的情况，②有一个正根，一个负根，此时如图2，可得f(0)<0，得m<－3.反思感悟

一元二次方程根的分布问题转化为二次函数的图象与x轴交点的情况，先将函数草图上下平移，确定根的个数，用判别式限制，再左右平移，确定对称轴有无超过区间，或是根据根的正负问题，用根与系数的关系进行限制.∴m＝－3.综上所述，当方程至少有一个正根时，实数m的取值范围为(－∞，－1].12345678910111213141516跟踪训练1.若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则a的取值范围是A.(0,3) B.[0,3]

C.(－3,0) D.(－∞，1)∪(3，＋∞)√解析因为方程－x2＋ax＋4＝0有两根，一个大于2，另一个小于－1，所以函数f(x)＝－x2＋ax＋4有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，由二次函数的图象可知，解得0<a<3.(1)若函数f(x)存在大于1的零点，求实数m的取值范围；由于函数f(x)存在大于1的零点，所以关于t的方程t2＋4t＋m＝0在t∈(0,2]内存在实数根.由t2＋4t＋m＝0，得m＝－t2－4t，t∈(0,2]，所以m∈[－12,0)，所以实数m的取值范围是[－12,0).(2)设函数f(x)有两个互异的零点α，β，求实数m的取值范围，并求α·β的值.解函数f(x)有两个互异的零点α，β，则函数g(t)在[－3,2]内有两个互异的零点t1，t2，其中t1＝log2α，t2＝log2β，所以实数m的取值范围是[3,4).根据根与系数的关系，可知t1＋t2＝－4，即log2α＋log2β＝－4，二、根据零点情况求参数范围√解析∵f(x)在R上单调递减，∴y＝x2＋(4a－3)x＋3a在(－∞，0)上单调递减，y＝loga(x＋1)＋1在(0，＋∞)上单调递减，且f(x)在(－∞，0)上的最小值大于或等于f(0).反思感悟

已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.跟踪训练3若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于A.－2 B.1

C.－2或1 D.0√所以k＝－2或k＝1.1.知识清单：(1)根据零点情况求参数的取值范围.(2)一元二次方程根的分布.2.方法归纳：判别式法、数形结合法.3.常见误区：不能把函数、方程问题相互灵活转化.课堂小结随堂演练1.若函数f(x)＝x2－2x＋a在(0,2)上有两个零点，则a的取值范围为A.(0,2) B.(0,1)

C.(1,2) D.(－∞，1)√1234解析函数f(x)＝x2－2x＋a在(0,2)上有两个零点，函数f(x)的图象的对称轴为x＝1，解得0<a<1.则a的取值范围为(0,1).2.已知函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1,2)内，则m的取值范围是√解析因为函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1,2)内，且此函数是连续函数，所以f(1)·f(2)<0，即(m＋1)(2m＋1)<0，123412343.函数f(x)＝3x－

－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是A.(－2,7) B.(－1,6)

C.(－1,7) D.(－2,6)√解析由题意可得f(1)f(2)＝(3－4－a)(9－2－a)<0，即(a＋1)(a－7)<0，解得－1<a<7，故实数a的取值范围是(－1,7).4.若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是________.解析∵f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，(－12,0)解得－12<a<0，故a的取值范围为(－12,0).1234课时对点练基础巩固123456789101112131415161.当|x|≤1时，函数f(x)＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值范围是√12345678910111213141516解析|x|≤1⇒－1≤x≤1.当a＝0时，y＝1，函数值恒为正，不符合题意；当a≠0时，要想函数f(x)＝ax＋2a＋1的值有正也有负，123456789101112131415162.已知关于x的方程x2－kx＋k＋3＝0的两个不相等的实数根都大于2，则实数k的取值范围是A.k>6 B.4<k<7

C.6<k<7 D.k>6或k<－2解析∵关于x的方程x2－kx＋k＋3＝0的两个不相等的实数根都大于2，设两根为x1，x2，√①②③解得6<k<7.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析由函数的解析式可知a>2，因为指数函数y＝ax单调递增，在区间(2，a]上无零点，所以函数y＝loga(x－2)在区间(a，＋∞)上存在零点，由于y＝loga(x－2)单调递增，故当x＝a时，有loga(a－2)<0＝loga1，从而a－2<1⇒a<3，所以实数a的取值范围是(2,3).4.方程x＋log3x＝3的解为x0，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则n等于A.0 B.1 C.2 D.3√12345678910111213141516解析设f(x)＝x＋log3x－3，则f(1)＝1＋log31－3＝－2<0，f(2)＝2＋log32－3＝log32－1<0，f(3)＝3＋log33－3＝1>0，又易知f(x)为增函数，所以方程x＋log3x＝3的解在(2,3)内，因此n＝2.123456789101112131415165.若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则a的取值范围是A.(0,3) B.[0,3]

C.(－3,0) D.(－∞，1)∪(3，＋∞)√解析因为方程－x2＋ax＋4＝0有两根，一个大于2，另一个小于－1，所以函数f(x)＝－x2＋ax＋4有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，由二次函数的图象可知，解得0<a<3.123456789101112131415166.(多选)关于x的方程ax2－|x|＋a＝0有四个不同的实数解，则实数a的值可能是√√√12345678910111213141516解析对于方程ax2－|x|＋a＝0，当a＝0时，只有一个解x＝0，因此要使方程ax2－|x|＋a＝0有四个不同的解，12345678910111213141516(e，e2)解析画出f(x)的图象如图所示，∵正实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设a<b<c，则由图象可得0<a<1<b<e<c<e2，且－lna＝lnb，则可得ab＝1，∴a·b·c＝c∈(e，e2).12345678910111213141516(－1,1)解析令g(x)＝f(x)－k＝0，可得f(x)＝k，作出y＝f(x)的图象，如图，由图可知，当y＝k与y＝f(x)的图象有三个不同的交点时，－1<k<1，所以k的取值范围是(－1,1).123456789101112131415169.函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围.解由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示，观察图象可知，0<a－1<1，即1<a<2，所以实数a的取值范围是1<a<2.1234567891011121314151610.已知函数f(x)＝4x－2x＋1－m.(1)当m＝0时，求函数f(x)的零点；解当m＝0时，f(x)＝4x－2x＋1＝(2x)2－2·2x＝2x(2x－2).令f(x)＝0，可得2x＝2，即x＝1.∴函数f(x)的零点是1.12345678910111213141516(2)若函数f(x)有两个零点，求实数m的取值范围.解令2x＝t，显然t>0，则y＝t2－2t－m.∵函数f(x)有两个零点，且t＝2x为单调函数，∴方程t2－2t－m＝0在(0，＋∞)上有两解，∴m的取值范围是(－1,0).12345678910111213141516综合运用11.设x1，x2，x3均为实数，且

＝log2(x1＋1)，

＝log3x2，

＝log2x3，则A.x1<x3<x2

B.x3<x2<x1 C.x3<x1<x2

D.x3<x1<x2√解析如图所示，由图象可知，x1<x3<x2.1234567891011121314151612.已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d，若f(x)＝2021－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是A.a>c>b>d

B.a>b>c>d

C.c>d>a>b

D.c>a>b>d√解析由题意设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝2021－g(x)，所以g(x)＝0的两个根是a，b.由题意知f(x)＝0的两根是c，d，也就是g(x)＝2021的两根，画出g(x)(开口向上)以及y＝2021的大致图象(图略)，则与g(x)的图象交点的横坐标就是c，d，g(x)的图象与x轴的交点就是a，b.又a>b，c>d，则c，d在a，b外，由图得c>a>b>d.12345678910111213141516A.(2,4)∪(5，＋∞) B.(1,2]∪(4,5]C.(－∞，1)∪(4,5] D.[1,2]√12345678910111213141516解析由题意知，当(x2＋1)－(x＋2)≤1，即－1≤x≤2时，f(x)＝x2＋1；当(x2＋1)－(x＋2)>1，即x>2或x<－1时，f(x)＝x＋2.∵函数y＝f(x)－c有两个零点，∴函数y＝f(x)的图象与函数y＝c的图象有两个交点.画出函数y＝f(x)的图象，如图所示.由图可知，当c∈(1,2]∪(4,5]时，函数y＝f(x)－c有两个零点.12345678910111213141516解析因为存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，故函数不是单调函数，又y＝x＋1与y＝2x交于(0,1)和(1,2)点，画出图象如图所示，由图可知，当0<a<1时，满足题意.即实数a的取值范围是(0,1).(0,1)拓广探究123456789101112