浙江省宁波市部分学校2023-2024学年高一年级上册入学分班测试数学试题

浙江省宁波市部分学校2023-2024学年高一上学期入学分班

测试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的点尸（%,%）,。（无2,%）两点，规定其坐标“积

和”运集为：尸㊉。=玉%+3%.若A,B,C,。四个点的“积和”运算满足:

A㊉3=3㊉C=C㊉。㊉3,则以A,B,C,。为顶点的四边形不可能是（）

A.等腰梯形B.平行四边形

C.矩形D.菱形

2.已知二次函数＞=2/+区+1,当6取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图

中的实线型抛物线分别是万取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物

线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是（）

B.y=-2x~+1

D.y=-4x2+1

3.如图，点。是边长为2石的等边AABC的内心，将AO8C绕点。逆时针旋转30。得

到△OSG,BICI交BC于点、D,BICI交AC于点、E,则。E的长为（）

C.-J3-1D.3-73

4.如图，ABC中，AB=AC=1O,BE_LAC于点E,AE=275,O是线段8E上的

一个动点，则的最小值是（）

5

5.已知，在.ABC中，AB=AC,如图，（1）分别以2,C为圆心，BC长为半径作弧，

两弧交于点A（2）作射线AD,连接2,CD根据以上作图过程及所作图形，下

列结论中埼误的是（）

A.ABAD=ACADB.△■BCD是等边三角形

C.垂直平分BCD.SABDC=AD.BC

6.如图，是抛物线％=依2+法+。（。力0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A0,3）,

与x轴的一个交点8（4,0）,直线%=皿+九（〃7R0）与抛物线交于A,B两点,下列

结论：

①2a+b=0；

②抛物线与x轴的另一个交点是（-2,0）

③方程依2+fex+c=3有两个相等的实数根；

④当时1〈尤＜4,有必＜%;

22

aXj+bxx=av2+bx2,且西片马；则无1+无？=1.

则命题正确的个数为（）

试卷第2页，共8页

7.在ABC中，ZACS=90°,ZABC=3O°,CDE是等边三角形.点。在AB边上,

点E在ABC外部，于点H,过点E作GE//AB,交线段AC的延长线于点G,

AG=5CG,BH=3,则CG的长为（）

8.某假日，小磊和其他六名同学轻装徒步去郊游，途中，他用18元钱买饮料为大家解

渴，每人至少要分得一瓶饮料，商店只有冰红茶和矿泉水，冰红茶3元一瓶，矿泉水2

元一瓶，如果18元刚好用完，则选择购买的方案有（）

A.1种B.2种C.3种D.4种

二、多选题

9.在直角坐标系中，若三点A（l,-2）,6（2,-2）,C（2,0）中恰有两点在抛物线

y=ax2+bx-2（q>0且。，b均为常数）的图象上，则下列结论正确的是（）

A.抛物线的对称轴是直线x

B.抛物线与x轴的交点坐标是和（2,0）

9

C.当力>时，关于x的一元二次方程adbx-2=t有两个不相等的实数根

4+

D.若P（〃z,〃）和。（相+4,〃）都是抛物线上的点且〃<0,贝1]〃>0

三、单选题

10.如图，正六边形ABCDEF,尸点在线段即上运动，记图中的面积为S-凡，S3,

S4,S5,S6,已知正六边形边长为2,下列式子的值不随尸点变化而变化的是（）

B.S4+S5

D.H+S3+S5

四、多选题

11.若一个平行四边形的四个顶点分别在矩形的四条边上，且一边和矩形的对角线平行,

则称这样的平行四边形为该矩形的“反射平行四边形”已知.EFGH为矩形ABCD的“反

射平行四边”，点E、F、G、”分别在边42、BC、CD、AD±.,EF〃AC,设，EFGH

的周长为/,EFG〃和矩形A5CD的面积分别为岳，邑，则下列结论正确的有（）

A.ZAEH=NCFGB.FG//BD

C.Z=2ACD.Sj<|s2

12.如图，正方形A3CD的边长为8,点E,尸分别在边AD,BC上，将正方形沿E尸

折叠，使点A落在边8上的A处，点8落在9处，AE交BC于G.下列结论正确的

是（）

3

A.当H为CD中点时，tanZDArE=-

4

B.当AD:DE:AE=3:4:5时，A'C=—

3

C.当4（点A不与C、。重合）在8上移动时，4CG周长随着A位置变化而

变化

D.连接A4"贝i」A4'=EF

试卷第4页，共8页

五、双空题

13.已知：点尸是ABC内一点，ZPBA=ZPCB,3P与CP的中垂线交于点M,

（1）ZABM=°.

（2）若AB=2,ZABC=60°,BC=3,则AP的最小值是.

六、填空题

14.如图，在正方形ABCD中，AB=6,点E在边CO上，且CD=3£>E,将VADE沿AE

对折至AAFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF，则下列结论：①AABG^AAFG；

②BG=CG；③AG//CF；®SEGC=SAFE；⑤ZAGB+ZA£D=135°.其中正确的是

（填序号）.

15.如图，在菱形ABCD中，AB=8,Z£>=60°,点尸是。的中点，点E是BC上一

动点，连接AE,BF点、G,H分别是〃?，的中点，连接G8,则GH的最小值

是________

16.如图，等边AABC中，AB=2,点。是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接

CD,取C。的中点E,连接BE,则线段BE的最大值与最小值之和为.

七、解答题

17.阅读短文，解决问题

如果一个三角形和一个菱形满足条件：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的

这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.

如图1,菱形AEFD为，ABC的“亲密菱形如图2,在.ABC中，以点A为圆心，以任

意长为半径作弧，分别交42、AC于点M、N,再分别以M、N为圆心，以大于

的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线相，交3c于点尸，过点尸作FD//AC,FE//AB.

图1图2

(1)求证：四边形AEFD是的“亲密菱形”；

(2)当A8=6,AC=12,ZBAC=45时，求菱形AEED的面积.

18.如图，在矩形ABC。中，点E,尸分别在边AB,BC上,将矩形沿

直线EF折叠，点8恰好落在边上的点尸处，连接8P交EF于点。.

⑴求尸的度数;

(2)求产的值;

'PEB

⑶若CO边上有且只有2个点G'使AGP。与AGFC相似'请直接写出有的值.

19.心理学家通过实验发现：初中学生听讲的注意力随时间变化，讲课开始时，学生注

意力逐渐增强，中间有一段平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标数y随时间表“分

钟)变化的函数图象如下.当OV/VIO时，图像是抛物线的一部分，当10WfW20时和

(1)当OvrviO时，求注意力指标数y与时间f的函数关系式；

(2)一道数学探究题需要讲解24分钟，问老师能否经过恰当安排，使学生在探究这道题

时，注意力指标数不低于45?请通过计算说明.

20.刘老师在“矩形的折叠”活动课上引导学生对矩形纸片进行折叠.

如图，将矩形纸片ABCD折叠，点A与点。重合，点C与点B重合，将纸片展开，折痕

为EF,在AD边上找一点P,沿CP将JCD折叠，得到△PC。，点D的对应点为点Q.

(1)问题提出：若点。落在跳■上，CD=1,连接8Q.

①4CQB是_____三角形;

②若△CQ3是等边三角形，则AD的长为

⑵深入探究：在(1)的条件下，当A£>=应时，判断△C0B的形状并证明；

(3)拓展延伸：若A3=5,AD=6,其他条件不变，当点。落在矩形内部(包括边

)时，连接AQ,直接写出AQ的取值范围.

21.如图①②，ABC和。跖均为直角三角形，ZABC=ZDEF=90°,

ZACB=ZEDF=30°,BC=EF=1,点C在边EF的延长线上，ZBEM^30°,射线

EM与交于点M,EC=m(加>1).

⑴如图①,当点2落在射线历上时,与BA的延长线相交于点G,则二7=______.

DM

⑵如图②，把ABC绕点C逆时针旋转a度(0。4(/<360。)，要的值是否保持不变?

DM

请仅就图②给出你的证明.

(3)若机=2追，在ABC绕点C旋转过程中，直接写出线段的最大值和最小值.

22.如图，四边形A3CD是矩形，点E是8c延长线一点，连接DE,即垂直平分OE,

垂足为P，点G在BE上，点〃在48上，且GH〃/5E.

(1)若BC=3,CE=2,求。/；

(2)若GE=AD+3G,求证：GH=EF.

试卷第8页，共8页

参考答案：

1.D

【分析】根据坐标“积和”运集的计算规则可知4B、C、。四个点均在反比例函数图象上,

据此即可判断结果.

【详解】设A。”％)、5(%,%)、。(三,%)、D(x4,y4),

则有：A㊉3=占%+%%，B㊉C=+尤3%，

C®D=x3y3+x4y4,。㊉B=%%+》4%，

依据A@B—3㊉C=C㊉£)=7)㊉8,得占％=%%=鼻%+%”，

令%%=%%=%%+匕乂=k,

k

则可知A(%,%)、2(々，%)、C(%%)、。(无4，”)均在反比例函数＞=一上，

X

根据题意可设构成的四边形为A2C。，则该四边形的对角线为AC和BD,

根据反比例函数图象的特征可知，四个顶点均在双曲线上的四边形的对角线AC与3。无法

使得ACLBD故构成的四边形不可能是菱形，

故选：D.

2.B

【详解】用含b的式子表示出抛物线的顶点坐标，然后消去6即可得到所求抛物线的解析式.

【分析】由题意，y=2/+法+1的顶点坐标是(-2,^1),设无=-§,y=iz^t,贝i]8=Tx,

484-8

故尸U=8_(_4X)、]_2X2.

'88

所求抛物线的解析式为：y=-2%2+l.

故选：B.

3.D

【分析】令。用与BC的交点为F耳£与AC的交点为M,过点尸作印，08于点N,根

据等边三角形的性质及三角形内心的性质，证明△3R9为等腰三角形，继而证明小BF0

s^BFD,根据相似三角形对应边成比例的性质，解得40=26-2,再结合△BF0必

CMO(ASA)及解直角三角形求得GE=6-1,由此可解得DE的长.

答案第1页，共29页

【详解】令。片与8C的交点为尸，与G与AC的交点为过点尸作印，02于点M如

图,

将408C绕点。逆时针旋转30。得到△。8/。，尸=30。，

，点。是边长为2后的等边△ABC的内心，=30。，OB=—AB=2,

3

・•.△BOB为等腰三角形，BN=3OB=1,；.BF=———=^-=OF,

2cosZOBF3

ZOBF=ZOB{D,ZBFO=/B】FD,/.△BFOs△耳尸。，

B.DB.F

'~OB~^F9

B[F=OB[—OF=2—^~,:.B,D=2y[3-2,

在^BFO^\LCM。中

ZOBF=ZOCM

OB=OC,BFO^ACMO(ASA)f

ZBOF=ZCOM

：.0M=BF=*C、M=2一^,

在小GME中,

NQME=ZMOC+ZMCO=60°,ZQ=30°,

N£EM=60°,

:.CiE=C[M.sin/GEM=(2一当又与=6-1,

.­.Z?E=B1C1-B1D-C1E=2V3-(2A/3-2)-(A/3-1)=3-V3,

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题考查三角形的内切圆与内心、旋转的性质、等边三角形的性质等知

识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.

答案第2页，共29页

4.D

【分析】过点。作。尸，A2于点尸，过点C作CGLAB于点G,由勾股定理可求BE=4若，

根据A4s可证△AEB丝△AGC,得CG=BE=4下,易证△8。尸S^BAE,得出些=变，

ABAE

得出DF=Y1BD,求CD+占8。最小值，即求。F+C。的最小值，由垂线段最短求解即可.

55

【详解】解：过点D作DFLAB于点F,过点C作CG±AB于点G,

又BE_LAC于点E,

：.ZAEB=90°,ZDFB=9Q°,ZAGC=9Q°,

又/ABE为公共角，

:.△BDFs^BAE,

.BDDF

"^B~~AE'

又AB=10,AE=2A/5,

:.DF=^BD,

5

.・・CD+—BD=DF+CD,

5

■:DF+CD>CG,

75

..CD+BD>CG,

V5

即CD+的最小值为CG的长,

在RtAABE中

BE=y/AB2-AE2=加-(2扃=4后

：AB=AC=10,ZAEB=90°,ZAGC=90°,

又/A为公共角，

AAEB^AAGC(A4S),

CG=BE=4下,

/.CD+—BD的最小值为475.

答案第3页，共29页

A

【点睛】关键点点睛：最短路径中的垂线段最短问题，解决本题借助了全等三角形的判定和

性质，等腰三角形的性质，相似三角形以及勾股定理求边长，综合性较强，难度较大.

5.D

【分析】利用作图过程可得班>=3C=a),判断B；证明三角形全等判断A；由线段垂直

平分线的判定判断C；求出四边形面积表达式判断D作答.

【详解】由作图知，BD=BC=CD,即△38是等边三角形，B正确；

由A5=AC,BD=CD,AD=AD,得△ABD四△AGO,则N3AD=/C4D,A正确；

由£>3=OC,AB^AC,得4。垂直平分BC,C正确；

四边形ABC。的面积等于的面积与▲A8的面积之和，则S,。，D错误.

故选：D.

6.B

【分析】先利用待定系数法求出抛物线解析式，和一次函数解析式，根据抛物线对称轴可判

断①，利用抛物线的对称轴与x轴的一个交点可求另一交点可判断②，利用抛物线平移和顶

点的位置可判断③，利用二次函数图像与一次函数的图象的位置比较大小，可判断④，根据

axf+bx1=滤+如可得出y]=y2,利用对称性与对称轴关系可判断⑤即可.

【详解】:•抛物线的顶点坐标是A(L3),与x轴的一个交点3(4,0),

=a(x-l)-+3,

把B点坐标代入得。(4-球+3=0,解得“=-；，

抛物线M=TA1『+3=J+|X+|,

直线%=如+〃(〃?力0)与抛物线交于A,B两点，

[m+n=3,[m=—l

解得,，

4m+n=0\n=4

答案第4页，共29页

贝I直线必=r+4,

2

b31

①:对称轴为x=_y=------T~T\=lf则2Q+Z?=0,故①正确；

2xhJ

②；对称轴为直线x=I,与X轴的一个交点是（4,0）,设另一交点为（办0）,

.\l-w=4-l,：,m=-2,与x轴的另一个交点是（一2,0）,故②正确；

③•把抛物线y=办?+bx+c向下平移3个单位，得至Uy=ax1+bx+c-3,

..•顶点坐标41,3）变为（LO）,即抛物线与x轴只有一个交点，

方程办2+6x+c=3有两个相等的实数根，故③正确；

④当1＜尤＜4时，二次函数图像在一次函数图像的上方，...必＜%，故④正确；

ax】+bX[—dX]+bx、,艮+bx、+c=ax；+bx^+c,HP%=y2,

则可，%关于函数的对称轴对称，故;（为+%）=1,即％+马=2,故⑤错误，

/.命题正确的有①②③④四个.

故选：B.

7.B

【分析】取AB的中点。，连接CO、EO、EB,根据题意得出COE和ABOE全等，然后

得出CEG和DCO全等，设CG=a,则AG=5a,OD=a,根据题意列出一元一次方程求

出。的值得出答案.

【详解】取的中点。，连接CO、EO、EB,

,-.ZA=60°,OC=OA,

：.ACO为等边三角形，

CA=CO,

,CDE是等边三角形，

答案第5页，共29页

.\ZACD=ZOCEf

ACD^OCE,

.\ZCOE=ZA=60°f

:.ZBOE=6^,

VOC=OD,DE=DE,ZBOE=ZCOE=60°

:.ACOE/ABOE,

EC=EB,

ED-EB,

QEH上AB,

.\DH=BH=3,

GEAB,

/.ZG=180o-ZA=120°,

・・・△ACO为等边三角形，

JZAOC=60°,

：.NG=NC8=180O—600=120。，

•・•.CD£是等边三角形，

：.CD=CE,

设ZOCD=a,则ZGCE=180。—ZACO-ZOCD-ZDCE=60°-a,

ZCDO=ZAOC-NOCD=60。一a,

:.ZCDO=ZGCE

在/CEG和DCO中,

ZG=ZCOD

<ZCDO=NGCE

CD=CE

/.CEG咨DCO,

:.CG=OD,

设CG=a,贝！JAG=5a,OD=a,

AC=OC=4Q,

QOC=OB,

4a=a+3+3,

答案第6页，共29页

解得，a-2,

即CG=2.

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质,

熟练掌握是解题的关键.

8.C

【分析】根据题意，由等量关系列出等式与不等式，然后整理求非负整数解即可.

【详解】设买冰红茶无瓶、矿泉水y瓶，

[3x+2y=18

根据题意得.r，（且无、丫均为非负整数）

y>!'

3

y=Q9--x,

所以有3种购买方式，

故选：C.

9.ACD

【分析】由三点中恰有两点在抛物线上，用待定系数法确定抛物线的方程，然后逐一判断四

个选项即可.

【详解】当抛物线图象经过点A和点B时，将和8（2,-2）分别代入丁=尔+版一2,

得f第tz++Z?助-2-=2—=2-2,解得f1tz==00,不符合题意,

当抛物线图象经过点B和点C时，将8（2,-2）和C（2,0）分别代入丁=ax2+bx-2,

4。+2b—2——2

,此时无解,

4a+2b-2=0

当抛物线图象经过点A和点C时，将A（l,-2）和C（2,0）分别代入y=ax1+bx-2,

a+Z?—2=—2<7=1

得40+2/7-2=0,解得

b=-V

因此，抛物线经过点A和点C,

答案第7页，共29页

其解析式为：y=x2-x-2,

-11

抛物线的对称轴为直线x=-===,故A选项正确；

2x12

因为y=炉_x_2=(x-2)(x+l),

所以抛物线与x轴的交点坐标是(-1,0)和(2,0),故B选项不正确；

由ax1+bx—2=t得ax2+bx—2—t=0>

方程根的判别式公=成-4a(-2-r),

当。=1,6=-1时，A=9+4r,

9

当A>0时，即9+/>0,解得方>一一，

4

此时关于x的一元二次方程af+bx-2=力有两个不相等的实数根，

故C选项正确；

因为抛物线与x轴交于点(-1,0)和(2,0),且其图象开口向上，

若尸(利,〃)和2(加+4㈤都是抛物线y=/-x-2上的点，且"<0,

即”=加2-根一2<0,故一1<相<2,又得3V勿+4<6,

又丸=(〃2+4『一(m+4)-2所以〃>32-3-2>0,故D选项正确.

故选：ACD.

10.BD

【分析】连接2£),AD,FD,CE,AD交8F于〃，在正六边形ABCDEF中求得

ZFAB=ZAFE=120°,JtWZAFB=ZABF=30°,NBFE=90。易得AD=4a,MD=3a,

BF=2拒a,5ABF=SBS=S.°EF=6/设BP=x，则FP=BF-BP=26a-x,分别求得

工况同.应应计算即可.

【详解】连接8。，AD,FD,CE,AD交BF于M,

六边形ABCDEF为正六边形,

答案第8页，共29页

・•.ZABC=ZBCD=ZCDE=ZDEF=ZEFA=ZFAB=120°,

AB=BC=CD=DE=EF=FA=2,

：.ZABF=ZAFB=/DEC=NDCE=30。,

AZBFE=90°,?FBC90?,ZBCE=90°f

・•・四边形BCEF是矩形，

在RtAMF中，ZAFM^30°,AAM=-AB=l,

2

故MF=VAF2-AM2=42?-F=也

:.BM=5BF=2MF=3A/3,

■:NCDE=/FAB=120。,AB=CD=DE=FA,

：.FAB^EDC

贝l]MD=2+l=3,AD=4,

ABFA

,,S=SCDB-S.DEC=SEFD=3X2>/3xl=/3,

设3P=x,贝==

XXXAXXX

Sl=1FPAM=1（2/3-）1-73-1,

S,=-xBPxAM=-x,

222

S,=—xBPxBC=—xx2=x,

322

BCD

邑=$+SPBD-S3=y/3+-xx3-x=y/3+-x,

XXXAXX

56=1FPEF=1（2/3-%）2=2^-,

羽=S小尸+SDJ,F-56=>/3+1X3X（2^-%）-（2^-X）=2^-1%,

故邑+5=1X+2A/3-%=2V3-1X；

AXAX

S4+S,=/3+-+2/3--=3^；

22

AXAX

55+56=2V3-1%+2^-=4/3-|；

S,+S3+S5=—x+x+2A/3—x=3yf3；

22

故选：BD.

11.BCD

答案第9页，共29页

【分析】延长A5,G尸交于点根据平行四边形的性质，矩形的性质，以及平行线分线

段成比例，逐一进行判断即可.

【详解】如图，延长AB,G厂交于点

在平行四边形£FGH中，EH//FG,

.\Z1=Z2,

/3=/4,N2与/3不一定相等，

「.N1=N4不一定成立，

即N4EH=NCFG不一定相等，故A选项不符合题意;

在矩形ABCD中ABCD,

/.Z5=Z2,/BAD=/BCD=9。。，

.-.Z5=Z1,

在平行四边形EFGH中EH=FG,

:./\AEH^ACGF(AAS),

:.AE=CG,

.EF〃AC,

BEBF

,,瓦―菽'

.AECF

…益一拓’

CG=AE,CD=AB,

.CGCF

FG//BD,故B选项正确;

EF〃AC,FG//BD,

.EFBFFGCF

,AC-BC?~BD~~BC9

在矩形ABC。中AC=3D,

答案第10页，共29页

EF+FGEFFGBFCF1

------------=+——=——+——=1,

ACACBDBCBC

.J=2(EF+尸G)=2AC,故C选项正确;

点。为BD中点，FG//BD,

，点。为FG中点，同理可得点尸为EF中点,

,*S四边形0尸/0=WSEFGH=W''S^BOC~WS矩形ABCD=WS2'

设芸=x，则黑=1-无，

nCnC

PF//OC,FQ//OB,

.S/XBPF+S^CQF_S^BPF.

..--------------------------=--------------r

S^BOCS/\BOC4-r

.S四边形OP&,1

■•—,

u_BOC乙

.。=誓"理J故D选项正确.

3BOCL

故选:BCD.

【点睛】关键点点睛：四边形的性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，配方法的应用.熟

练掌握相关性质，并灵活运用，根据题意正确的画出图形，利用数形结合的思想进行求解，

是解题的关键.

12.ABD

【分析】当A为CD中点时，设AE=AE=x,则止=8-x,由勾股定理列方程求解，进

一步求得tanZDAE的值,进而可判断A的正误；当&ADE三边之比为3:4:5时，设AO=3a,

DE=4a,AE=5a,由AD=AE+DE=8可求°的值，进一步求得AO的值，进而可判断

B的正误；过点A作4"LAG,垂足为连接A'A，AG,先证jU'D三,A4'H,可得

AD=AH,AD=AH,再证RtABG三RtAHG,可得HG=BG,由此证得ACG周长为

16,进而可判断C的正误；过点E作现垂足为M,连接A'A交加，所于点N,Q,

证明AA'D=.EFM(ASA),进而可判断D的正误.

【详解】为C。中点，正方形ABC。的边长为8,

AO=8,AO」CO=4,/。=90。，

2

由折叠的性质，设A'E=AE=x,贝l]r)E=8—x,

答案第11页，共29页

在Rt中，由勾股定理得AT^+OE'A的,即4?+（8-x）2=f,解得了=5,

/.AE=5,DE=3,

DF3

・•・tanNDAE=——=-,

DA4

故A正确；

当，A/)E三边之比为3:4:5时，设A'O=3a,DE=4a,AE=5a,则AE=AE=5a,

,/AD=AE+DE=8,

••5a+4a=8,

Q

解得：〃=j

AArD=3a=-A!C=CD-A!D=—,

3f3

故B正确；

过点A作AH_LA'G,垂足为H,连接A'A，AG,则Z/WZ/田G=90。，

AB

由折叠的性质可知NE4'G=NE4B=90。，NE=AE,

：.ZEAA=ZEA!A,

,：?D90?,

ZEAA+ZDAA=90°,

NE4A'+NZM2=90。，

JZEAA-^-ZDAA=90°=AEAA+ZHAA,

・•・ZDAA^ZHAA,

在VAA'D和..Al'"中

ZDAfA=ZHAfA

<ZD=/AHA'=90。，

A4，=A4，

AAD^AA'H(AAS),

答案第12页，共29页

AAD=AH,A!D=A!H,

*.*AD=AB,

AAH=AB,

在RtZiABG与RtAAM7中,

AG=AG

AB=AH

：.RtABG=RtAHG(HL),

：.HG=BG,

/:

E

X/

|F

AB

・•・..ACG周长=AC+AG+CG

=AC+AH+HG+CG

=AC+AD+BG+CG

=CD+BC

二16,

・・・当A在CO上移动时，ACG周长不变，

故c错误；

如图，过点E作EML8C,垂足为M,连接A'A交EM,EE于点N,Q,

M

9

:.EM//CD,EM=CD=AD,

答案第13页，共29页

ZAEV=Z£>=90°,

由翻折可知：EE垂直平分A'A，

Z.ZAQE=90°,

NEAN+ZANE=NQEN+ZANE=90。,

：.ZEAN=ZQEN,

在VA4'D和AEFM中，

ZDAA'=ZMEF

<AD=EM,

ND=NENF=90。

AA'D=^EFM(ASA),

，A4'=EF,故D正确.

故选：ABD.

13.906-m/-6+不

【分析】(1)设NPBA=a,ZPBC=仇NCBM=y,画出图形，由MB=MP得

4MBp=4MPB=/3+y,由Affi=MC得NBCM=NCBM=y,由MP=MC得

/MPC=NPCM=a+y,再利用三角形内角和定理得到答案；

(2)求出NBPC=120。是定值，点尸在以M为圆心，MB长为半径的圆上，连接AM,交

圆M于点P,得到/MBC=NMCB=30°，过点M作MD,BC,根据三角函数求出MD=昱,

2

BM=6,由勾股定理求出4W连接AP,贝(IAPNAM-MP,当尸与P'重合时，AP有最

小值，求出AP'即可.

【详解】(1)设NPBA=a,4PBC=仇NCBM=y,如图，

贝IjNABAf=&+/7+7,

由题意可得，M是8尸和CP中垂线上的点,

/.==M。即血B=MP=MC,

答案第14页，共29页

*：MB=MP,

：.Z.MBP=ZMPB=/+人

•：MB=MC,

：.ZBCM=ZCBM=/,

又/PBA=/PCB=a,

：./PCM=NPCB+NBCM=a+y,

MP=MC,

NMPC=NPCM=a+y,

/BPC=NMPB+Z.MPC=P+y+a+y=a+f3+2y,

又4PBe=B,/PCB=a,

在△BPC中，有N哥C+APBC+APCB=180°,

cif+/7+2/+(3+a=180°,

即a+/+y=90°,

即ZABM=a+/7+/=9O；

(2)如图,

,/ZABC=ZPBA+NPBC=60°,ZPBA=ZPCB,

?./PCB+NPBC=60°,即ZBPC=180°—NPCB—/P5C=120°,

在LBPC中，BC=3,ZBPC=120°,

,/BC=3是定值，

/BPC=120。是定值，

即点P在以M为圆心，"8长为半径的圆上，

连接AM,交圆M于点尸'，

由(1)中结论可知/ASM=90。，又NABC=60。，

ZMBC=30°,

答案第15页，共29页

又MB=MC,

：.ZMBC=/MCB=3。。,

过点〃作八。_1_5。，

'：MB=MC,MDLBC,BC=3,

13

BD=CD=—BC=—,

22

9：ZMBC=30°,

t"MBC$MD也

-3-=T^MD=—,

2

2

即3M=G

sinZMBC=-

BMBM2

又A3=2,ZABM=90°,

；•AM=>]AB2+BM2=不，

连接AP,贝llAPAAM—MP,

当尸与P重合时，AP有最小值,

•：BM=日BM=PM=MC=4i>即MP'=下>

：.AP'=AM-MP'=yf7-y/3,即AP最小值为逝-代

综上，AP最小值为近-道.

故答案为：90；布_下).

14.①②③④⑤

【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证RtAABG^RtAAFG；在直角△ECG中，

根据勾股定理可证8G=GC；通过证明/AGB=/AGF=NGFC=/GCF,由平行线的判定可

得AG//CF；分别求出SAEGC与SMFE的面积比较即可;求得NG4F=45。，ZAGB+ZAED=180°

-ZGAF=135°,即可得到答案.

【详解】'：AB=AD=AF,AG=AG,ZB=ZAFG=90°,

：..ABG玛AFG(HL),

故①正确；

CD=AB=6,

答案第16页，共29页

EF=DE=-CD=2,

3

・•・EC=CD-DE=4,

设BG=FG=x,贝！!CG=6—x,

在RtECG中,由勾股定理得：EG2=CG2+EC2,

即：(x+2)2=(6—x)2+42,

解得：x=3,

:.BG=3,

・・.BG=3=6-3=CGf

故②正确；

■:CG=BG,BG=GF,

：.CG=GF,

AFGC是等腰三角形，ZGFC=Z.GCF,

VRtAABG^RtAAFG,

：.ZAGB=ZAGF,

：.ZAGB+ZAGF=2NAGB=180°-NFGC=ZGFC+NGCF=2ZGFC=2ZGCF,

ZAGB=ZAGF=ZGFC=ZGCF,

・・・AG//CF,

故③正确；

,­eS^GCE=；GC・CE=；X3X4=6,5AAF£=^AFEF=^x6x2=6,

・・u,EGC~0.AFE，

故④正确；

,/NBAG=ZFAG,ZDAE=ZFAE,

又：//MS=90°,

NGAE=45°,

ZAGB+ZAED=180°-ZGAE=135°,

故⑤正确；

故答案为：①②③④⑤.

15.6

答案第17页，共29页

【分析】连接BG交AD于点连接网欣易证得BGE^MGA,得到点G为的中点,

所以GH是一段“中位线，可得到求GH最小值即为求方加最小值的一半，随

着点£的变化，点M在AD上动，即当RWLAD时，有最小值，然后在DM尸中，借

助三角函数计算即可.

【详解】如图，连接BG交AD于点M,连接F7W,过点尸作WLAD于点N,

;点G为AE中点，

/.AG^EG,

:四边形ABCD是菱形，

AAD//BC,AB=CD=8,

：.ZAMG=ZEBG,

'：NBGE=NMGA,

：.BGEWMGA,

：.BG=MG,

.•.点G为BM的中点，

:点以为所的中点，

/.G8是中位线，

/.GH=-FM,

2

...求GH最小值即为求同"最小值的一半，随着点E的变化，点M在4)上动,

即当口Vf_LAD时，有最小值，即尸M最小值等于F7V,

P是CD的中点，

/.FD=4,

"：NO=60?

/.FN=FDsH(60?以5=J,

：.GH=也.

答案第18页，共29页

故答案为：73

16.2A/3

【分析】取点。的特殊位置：当点。与点厂重合时，当点。在CA延长线与圆A的交点时,

当与圆A相切时，确定BE的长度都是0.5,从而得到点E的运动轨迹是以点尸为圆心,

0.5为半径的圆上运动，故而得到线段BE的最大值与最小值，由此得到答案.

【详解】:△ABC为等边三角形，AB=2,

：.AC=AB=2,

设AC交圆A于点片

:点。是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，

二当点。与点尸重合时，如图1,FE=0.5,

当点。在CA延长线与圆A的交点时，如图2,FE=0.5,

当CD与圆A相切时，FE=0.5,

故点£在以点P为圆心，0.5为半径的圆上运动，

当点3、F、E三点共线时，线段BE有最大值和最小值，如图4：

'：AF=1,AC=2,

：.FC=1,

二点尸是AC的中点,

•••三角形ABC是等边三角形，

：.BF±AC,

BF=ylAB2-AF2=722-12=73,

线段BE的最大值为班+0.5,最小值为班-0.5,

线段BE的最大值与最小值之和为2也,

故答案为：2框.

答案第19页，共29页

17.(1)证明见解析

(2)菱形AEED的面积为8人

【分析】(1)根据尺规作图可知"平分/B4C，再根据。尸//AC,可得4)=。下，再由两

组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEFD是平行四边形，继而可得平行四边

形AEED是菱形，根据“亲密菱形”的定义即可得证；

(2)设菱形的边长为。，即。尸=AD=a,则30=6-。，可证得△BZ)尸S4BAC,根据相

似三角形的性质可求得。=4,过。作DGLAC,垂足为G,在RtADG中，DG=2日

继而可求得菱形AEFD的面积.

【详解】(1)解：由尺规作图可知AF平分NSAC,所以，ZDAF=ZEAF,

因为DF//AE,所以，ZAFD^ZEAF,贝(I/ZMF=/AFD,所以，AD=DF,

因为AC//Z加，AB//EF,所以，四边形AEED为菱形，

因为NSAC与N7ME重合，且点尸在3C上，

因此，菱形AEFD为，ABC的“亲密菱形”.

(2)解：设菱形的边长为。，即。尸=AD=a,贝|3/)=6-。，

因为AC〃O7"则所以，—,即三=£_,解得。=4,

ABAC612

图2

在RtADG中，ND4G=45,所以，DG=ADsin45=4x1=2应,

2

所以，菱形AEFD的面积为AE.OG=4乂20=8近.

18.(l)ZABP=30°

(2)3

【分析】(1)证明PE=2AE,推出/APE=30。即可解决问题;

答案第20页，共29页

(2)由翻折可知：所垂直平分尸8,设EQ=。，求出尸Q即可解决问题；

(