2024届郑州市金水区中考数学模拟试题含解析

2024学年郑州市金水区中考数学模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.将一副三角尺（在HAABC中，ZACB=90°，ZB=60°，在RtAEDF中,NEDF=90°，ZE=45°）如图摆

放，点。为的中点，DE交AC于点P,经过点C,将AEDE绕点。顺时针方向旋转a（0°<«<60°），

PM

DE交AC于点M,。尸'交6C于点N,则石口的值为（）

D.

2

2.如图,已知点E在正方形ABC。内，满足NAE3=90。6E=6,BE=8,则阴影部分的面积是（）

B.60

C.76D.80

3.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样的数称为“正方

形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中，符合这一

规律的是（）

4=1+39=3+616=6-10

A.13=3+10B.25=9+16C.36=15+21D.49=18+31

4.随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟,

现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，

根据题意可列方程为（）

8881888,U881

A.-+15=------B.-+-=------C.-=-------+15D.-=-------+-

x2.5xx42.5%x2.5xx2.5x4

5.下列计算，结果等于a，的是（）

A.a+3aB.a5-aC.（a2）2D.a8-j-a2

6.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（）

A.9B.7C.-9D.-7

7.如图，已知△ABC中，ZABC=45°,F是高AD和BE的交点，CD=4,则线段DF的长度为（）

A.2aB.4C.3行D.40

8.共享单车为市民短距离出行带来了极大便利.据2017年“深圳互联网自行车发展评估报告”披露，深圳市日均使用

共享单车2590000人次，其中2590000用科学记数法表示为（）

A.259xl04B.25.9x10sC.2.59xl06D.0.259xl07

9.将抛物线y=-2必+1向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线的函数表达式为（）

A.y=-2（x-l）2-2B.y=-2（x+l）2-2

C.y=+4D.y=-2（x+l）~+4

10.估算我的值在（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=2,OC的半径为1,点P是斜边AB上的点，过点P作。C的

一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为.

12.如图，AB是。O的直径，AB=2,点C在。。上，ZCAB=30°,D为的中点，P是直径AB上一动点，则

PC+PD的最小值为.

13.如图，在扇形043中，NO=60。，OA=4y/j,四边形OEC尸是扇形。45中最大的菱形，其中点E,C,尸分别

在。4,AB,上，则图中阴影部分的面积为.

5

14.如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZA=45°,CD_LAB于点D,点P在线段DB上，若AP2-PB?=48,贝！J△PCD

的面积为一.

15.如图，A、B是双曲线y=8上的两点，过A点作ACJ_x轴，交OB于D点，垂足为C.若D为OB的中点，△ADO

X

的面积为3,则k的值为.

16.某厂家以A、3两种原料，利用不同的工艺手法生产出了甲、乙两种袋装产品，其中，甲产品每袋含1.5千克A

原料、1.5千克5原料；乙产品每袋含2千克4原料、1千克5原料.甲、乙两种产品每袋的成本价分别为袋中两种

原料的成本价之和.若甲产品每袋售价72元，则利润率为20%.某节庆日，厂家准备生产若干袋甲产品和乙产品，

甲产品和乙产品的数量和不超过100袋，会计在核算成本的时候把A原料和5原料的单价看反了，后面发现如果不看

反，那么实际成本比核算时的成本少500元，那么厂家在生产甲乙两种产品时实际成本最多为____元.

17.计算：（TT-3）°+（-L）-1=.

3

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，点A在NMON的边ON上，ABYOM^B,AE=OB,DEVON^E,AD=AO,DCLOM^C.求

证：四边形ABC。是矩形；若DE=3,OE=9,求A3、的长.

19.（5分）如图，AB是。。的直径，C是弧AB的中点，弦CD与AB相交于E.

方C………―

20.（8分）如图，平行四边形A3C。的对角线AC,5。相交于点。，E尸过点。且与A3、CZ>分别交于点E、F.求

证：OE=OF.

21.（10分）已知抛物线产处2+以分0）.

（1）若抛物线与*轴交于点B（4,0）,且过点P（l,-3）,求该抛物线的解析式;

（2）若a>0,c=0,OA、OB是过抛物线顶点的两条互相垂直的直线，与抛物线分别交于A、B两点，求证：直线

AB恒经过定点(0,-)；

a

(3)若a>0,c<0,抛物线与x轴交于A,B两点(A在B左边)，顶点为C,点P在抛物线上且位于第四象限.直线

OC

PA、PB与y轴分别交于M、N两点.当点P运动时，———是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说

OM+ON

明理由.

22.(10分)如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6厘米，OB=8厘米.点P从点B开始沿BA边向终点A以1

厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动.若P、Q同时出发运动时间为t(s).

(1)t为何值时，AAPQ与AAOB相似？

(2)当t为何值时，△APQ的面积为8cm2?

1,B,与y轴交于点C(0,2),直线y=—gx+2经过点

23.（12分）如图，抛物线y=—]X-+bx+c与x轴交于A,

A,C.

(2)点尸为直线AC上方抛物线上一动点；

PF

①连接尸。，交AC于点E,求一的最大值；

EO

②过点尸作PF，AC,垂足为点F,连接PC,是否存在点P,使APFC中的一个角等于NCA5的2倍？若存在，请

直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

24.(14分)如图，已知正比例函数y=2x与反比例函数y=A

(k>0)的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为4,

x

(1)求k的值；

(2)根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围;

(3)过原点O的另一条直线1交双曲线y=A(k>0)于P、Q两点(P点在第一象限)，若由点A、P、B、Q为顶点

X

组成的四边形面积为224,求点P的坐标.

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、C

【解题分析】

先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD=AD=DB,贝UNACD=NA=30。，ZBCD=ZB=60°,由于NEDF=90。，可利

_PMPD

用互余得NCPD=60。，再根据旋转的性质得NPDM=NCDN=a,于是可判断△PDMs^CDN,得到——=—,然后

PDPMn

在RtAPCD中利用正切的定义得到tanNPCD=tan30**,于是可得——=口.

CDCN3

【题目详解】

•・,点D为斜边AB的中点，

ACD=AD=DB,

AZACD=ZA=30°,ZBCD=ZB=60°,

■:ZEDF=90°,

/.ZCPD=60°,

AZMPD=ZNCD,

•••△EDF绕点D顺时针方向旋转a(0°<a<60°),

ZPDM=ZCDN=a,

.•.△PDM^ACDN,

.PMPD

••-9

CNCD

PD

在RtAPCD中，；tanNPCD=tan30°=—,

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后

的图形全等.也考查了相似三角形的判定与性质.

2、C

【解题分析】

试题解析：；NAEB=90。，AE=6,BE=8,

•*-AB=y/AE2+BE2=A/62+82=10

.'•S阴影部分=5JE*®ABCD-SRIAABE=102--x6x8

2

=100-24

=76.

故选C.

考点：勾股定理.

3、C

【解题分析】

本题考查探究、归纳的数学思想方法.题中明确指出：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”

之和.由于“正方形数”为两个“三角形数”之和，正方形数可以用代数式表示为：(n+1)2,两个三角形数分别表示为

2

(n+1)和▲(n+1)(n+2),所以由正方形数可以推得n的值，然后求得三角形数的值.

2

【题目详解】

VA中13不是“正方形数”；选项B、D中等式右侧并不是两个相邻“三角形数”之和.

故选：C.

【题目点拨】

此题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照

什么规律变化的.

4、D

【解题分析】

分析：根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15

分钟，利用时间得出等式方程即可.

详解：设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为：

881

-------1--.

x2.5x4

故选D.

点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关

系中的各个部分，列出方程即可.

5、C

【解题分析】

根据同底数塞的除法法则：底数不变，指数相减；同底数塞的乘法法则：同底数■相乘，底数不变，指数相加；塞的

乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可.

【题目详解】

A.a+3a=4a,错误；

B.小和“不是同类项，不能合并，故此选项错误；

C.(a2)2=a4,正确；

D.a8-i-a2-a6,错误.

故选C.

【题目点拨】

本题主要考查了同底数幕的乘除法，以及暴的乘方，关键是正确掌握计算法则.

6、C

【解题分析】

先求出x=7时y的值，再将x=4、y=-l代入y=2x+b可得答案.

【题目详解】

,当x=7时，y=6-7=-l,

当x=4时,y=2x4+b=-l,

解得：b=-9,

故选C.

【题目点拨】

本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法.

7、B

【解题分析】

求出AD=BD,根据NFBD+NC=90。，ZCAD+ZC=90°,推出NFBD=NCAD,根据ASA证△FBD之^CAD,

推出CD=DF即可.

【题目详解】

解：VAD±BC,BE±AC,

:.ZADB=ZAEB=ZADC=90°,

/.ZEAF+ZAFE=90°,ZFBD+ZBFD=90°,

VZAFE=ZBFD,

.\ZEAF=ZFBD,

；NADB=90°,ZABC=45°,

/.ZBAD=45°=ZABC,

，AD=BD,

ACAD=ZDBF

在AADC和ABDF中|AD=3。，

ZFDB=ZADC

.,.△ADC之△BDF,

；.DF=CD=4,

故选：B.

【题目点拨】

此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找出能使三角形全等的条件.

8、C

【解题分析】

绝对值大于1的正数可以科学计数法，axion,即可得出答案.

【题目详解】

n由左边第一个不为0的数字前面的0的个数决定，所以此处n=6.

【题目点拨】

本题考查了科学计数法的运用，熟悉掌握是解决本题的关键.

9、A

【解题分析】

根据二次函数的平移规律即可得出.

【题目详解】

解：y=-2/+1向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线的函数表达式为

y=-2

故答案为：A.

【题目点拨】

本题考查了二次函数的平移，解题的关键是熟知二次函数的平移规律.

10、C

【解题分析】

由后<a<J'可知5<同<6,即可解出.

【题目详解】

725<V3O<V36

•••5<730<6,

故选C.

【题目点拨】

此题主要考查了无理数的估算，掌握无理数的估算是解题的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、V2.

【解题分析】

当PCLA8时，线段尸。最短；连接CP、CQ,根据勾股定理知「。二。〃-先求出CP的长，然后由勾股定理即

可求得答案.

【题目详解】

连接CP、eg；如图所示：

；尸。是（DC的切线，...CQLPQ,ZCQP=9Q°,根据勾股定理得：PQ2=cp2-c。，.•.当PCLA5时，线段尸。最短.

•BC2/sx2

•在RtAACB中，ZA=30°,BC=2,：.AB=2BC=4,AC=2Jj,ACP=——-——=*—=Jj,

AB4

，PQ=^CP'-CQ1=JT斤=近,二PQ的最小值是夜.

故答案为：

2

B

【题目点拨】

本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当时，线段P0最短是关键.

12、V2

【解题分析】

作出D关于AB的对称点D，，则PC+PD的最小值就是CD，的长度，在4COD，中根据边角关系即可求解.

【题目详解】

解：如图：作出D关于AB的对称点D，，连接OC,OD',CD'.

又•.•点C在。O上，ZCAB=30°,D为弧BC的中点，即8£>=8£>'，

1

:.ZBAD'=-ZCAB=15°.

2

.,.ZCAD'=45°.

二/（：0»=90。.则4COD，是等腰直角三角形.

1

；OC=OD'=-AB=1,

2

CD=42

故答案为：桓.

【题目点拨】

本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，垂径定理，正确作出辅助线是解题的关键.

13、871-873

【解题分析】

连接EF、OC交于点H,根据正切的概念求出FH,根据菱形的面积公式求出菱形FOEC的面积，根据扇形面积公式

求出扇形OAB的面积，计算即可.

【题目详解】

连接EF、OC交于点H,

贝！IOH=25

.,.FH=OHxtan300=2,

/.菱形FOEC的面积=；x4百x4=86，

扇形OAB的面积=60万*（4，）=8兀，

360

则阴影部分的面积为阮-86，

故答案为8TT-86.

【题目点拨】

本题考查了扇形面积的计算、菱形的性质，熟练掌握扇形的面积公式、菱形的性质、灵活运用锐角三角函数的定义是

解题的关键.

14、6

【解题分析】

根据等角对等边，可得AC=BC,由等腰三角形的“三线合一”可得AD=BD=《AB,利用直角三角形斜边的中线等于斜

2

边的一半，可得CD=：AB,由APZPB2=48,利用平方差公式及线段的和差公式将其变形可得CD-PD=12,利用△PCD

的面积=5CD・PD可得.

2

【题目详解】

解：,:在△ABC中，ZACB=90°,ZA=45°,

AZB=45°,

AAC=BC,

VCD±AB,

1

AAD=BD=CD=-AB,

2

VAP12-PB2=48,

A(AP+PB)(AP-PB)=48,

:.AB(AD+PD-BD+DP)=48,

.\AB-2PD=48,

.\2CD-2PD=48,

.\CDPD=12,

J△PCD的面积二1CD・PD=6.

2

故答案为6.

【题目点拨】

此题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题关键在于利用等腰三角形的“三线合一

15、1.

【解题分析】

过点B作BEJ_x轴于点E,根据D为OB的中点可知CD是△OBE的中位线，即CD='BE,设A(x,人)，则B

2x

(2x,A),故CD=',AD="人，再由△ADO的面积为1求出k的值即可得出结论.

2x4xx4.t

解：如图所示，

过点B作BE±x轴于点E,

•；D为OB的中点,

...CD是4OBE的中位线，即CD='BE.

2

设A(x,A),则B(2x,K),CD=',AD='k_

x2x4xx4x

,•,△ADO的面积为1,

1AD・OC=3,1('-')a=3,解得k=l,

22x4r

故答案为1.

16、5750

【解题分析】

根据题意设甲产品的成本价格为8元，求出b,可知A原料与3原料的成本和40元，然后设A种原料成本价格x元,

5种原料成本价格(40-x)元，生产甲产品m袋，乙产品”袋，列出方程组得到X”=20”-250,最后设生产甲乙产品

的实际成本为W元，即可解答

【题目详解】

•••甲产品每袋售价72元，则利润率为20%.

设甲产品的成本价格为b元，

=20%,

b

/.6=60,

二甲产品的成本价格60元，

1.5kgA原料与15kgB原料的成本和60元，

•*.A原料与B原料的成本和40元，

设A种原料成本价格x元，5种原料成本价格(40-x)元，生产甲产品机袋，乙产品〃袋，

根据题意得：

[m+n<100

[60m+(2x+40-x)n+500=60m+〃(80-2x+x)'

/.xn=20n-250,

设生产甲乙产品的实际成本为w元，则有

W=60m+40n+x/i,

:.W=60zn+40〃+20〃-250=60(m+n)-250,

,:m+n<100,

:.磔6250；

...生产甲乙产品的实际成本最多为5750元，

故答案为5750；

【题目点拨】

此题考查不等式和二元一次方程的解，解题关键在于求出甲产品的成本价格

17、-1

【解题分析】

先计算0指数易和负指数累，再相减.

【题目详解】

(n-3)°+(--)-1,

3

=1-3,

=-1»

故答案是：-L

【题目点拨】

考查了0指数塞和负指数塞，解题关键是运用任意数的0次塞为1,a-1--.

a

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)证明见解析；(2)AB.40的长分别为2和1.

【解题分析】

(1)HERtAABO^RtADEA(HL)得NAOB=NDAE,AD//BC.证四边形A3CZ>是平行四边形，又NABC=90°,

故四边形ABC。是矩形；(2)由(1)知RtAABO^RtADEA,AB^DE=2.设AO=x,贝！|OA=x,AE=OE-0A=9~x.在

RtAOEA中，由4石2+。石2=池2得：(9-x)2+32=x2.

【题目详解】

(1)证明：'：ABA_OM^B,DE_LON于E,

；.ZABO=ZDEA=90°.

在RtAABO与RtADEA中，

ARtAABO^RtADEA(HL).

OB=AE

：.ZAOB=ZDAE.J.AD//BC.

XVAB10M,DCLOM,：.AB//DC.

四边形ABCD是平行四边形.

VZABC=90°，二四边形ABCD是矩形；

(2)由⑴知RtAA3。义RtAOEA,：.AB=DE=2.

设AD=x,贝!J0A=x,AE=0E~OA=9~x.

在RtADEA中，由AE2+DE2="P得：

(9-X)2+32=X2,解得X=5.

：.AD=1.即AB.AD的长分别为2和1.

【题目点拨】

矩形的判定和性质;掌握判断定证三角形全等是关键.

3

19、(1)见解析；(2)tanZAOD=-.

4

【解题分析】

(1)作DFLAB于F,连接OC,则△ODF是等腰直角三角形，得出OC=OD=J^DF,由垂径定理得出NCOE=90。,

证明ADEFsaCEO得出型=空=12£=后，即可得出结论;

CEDFDF

11EFEO1

(2)由题意得OE=—OA=—OC,同(1)DEF^ACEO,得出——=——=一，设OO的半径为2a(a>0),

22DFOC2

3相।68

则OD=2a,EO=a,设EF=x,则DF=2x,在RtZkODF中，由勾股定理求出x=-a,得出DF=,a,OF=EF+EO=-a,

由三角函数定义即可得出结果.

【题目详解】

(1)证明：作DF_LAB于F,连接OC,如图所示:

则NDFE=90。，

•.•/AOD=45。，

二AODF是等腰直角三角形,

/.OC=OD=72DF,

是弧AB的中点，

.\OC±AB,

AZCOE=90°,

VZDEF=ZCEO,

/.△DEF^ACEO,

.EDOC41DFf-

••-------------------------=7z

CEDFDF

；.CE=0ED；

(2)如图所示:

；AE=EO,

11

/.OE=-OA=-OC,

22

同(1)得：，△DEF^ACEO,

.EF_EO_1

DF~OC^2'

设。O的半径为2a(a>0),则OD=2a,EO=a,

设EF=x,贝!]DF=2x,

在RtAODF中，由勾股定理得：(2x)2+(x+a)2=(2a)2,

3

解得：x=-a,或*=-a(舍去)，

68

/.DF=-a,OF=EF+EO=-a,

55

DF3

tanZAOD=——=—.

OF4

【题目点拨】

本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、三角函数等知识，熟练

掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理是关键.

20、见解析

【解题分析】

由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分，即可得OA=OC,易证得△AEO丝△CFO,由全等三角形

的对应边相等，可得OE=OF.

【题目详解】

证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

，OA=OC,AB〃DC,

ZEAO=ZFCO,

ZEAO=ZFCO

在△AEO和△CFO中OA=OC

ZAOE=Z.COF

...AAEO^ACFO(ASA),

.\OE=OF.

【题目点拨】

本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，属于简单题，熟悉平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解

题关键.

2OC_1

21、(1)y=^x-f(2)详见解析；(3)———为定值,

55OM+ONOM+ON~2

【解题分析】

(1)把点B(4,0),点P(L-3)代入用待定系数法求解即可;

(2)如图作辅助线AE、垂直x轴，设A(/n,am2),B(n,an2),由△AOEs/XO^歹，可得到"加〃=,然后表

示出直线AB的解析式即可得到结论;

(3)作尸。_1_45于点Q,设尸Cm,am2+c)>A(-t,0)、B(t,0),则aP+c=O,c=-at1

由尸Q〃ON,可得ONnawf+aZ2,OM=-amt+at1,然后把ON,OM,OC的值代入整理即可.

【题目详解】

(1)把点B(4,0),点P(l,-3)代入y="+c(W0),

16a+c=0

〃+c=-3

解之得

1

(1——

5

16'

I5

(2)如图作辅助线AE、5尸垂直X轴,设A(如am2)>B(n,an2),

VOA±OB,

AZAOE=ZOBF,

/.AAOE^AOBF,

.AEOFam2n

•・—————，-----=—T-，a2mn=—1，

OEBF—man2

直线AB过点A(/w,am2)>点B(n,an2),

.•・y=〃(加+几)%一〃加〃=0(加+〃)九十工过点(0,—);

aa

(3)作PQ_LA3于点0,设尸(m,am2+c)yA(-t,0)、B(t,0),则。产+。=0,c--at1

'：PQ//ON,

ON_OB

~PQ~~QB

八POOB-(am2+c)t(am2+c}t(am1-at2\tat(m-t)(m+t),,

QBt-mm-tm-tm-t

同理：OM=-aint+at2,

所以，OM+ON=2/=-2c=OC,

OC1

所cru以I，---------=一•

OM+ON2

【题目点拨】

本题考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理.正确作出辅助线是解答本

题的关键.

22、(1)t=身秒;(1)t=5-y/5(s).

4

【解题分析】

(1)利用勾股定理列式求出AB,再表示出AP.AQ,然后分NAPQ和NAQP是直角两种情况，利用相似三角形对

应边成比例列式求解即可；

(1)过点P作PC±OA于C,利用N0A8的正弦求出PC,然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.

【题目详解】

解：(1),点A(0,6),B(8,0),

；.AO=6,BO=8,

22=

•，.AB=7AO+BO762+82=10,

•••点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒1个单位，

；.AQ=t,AP=10-t,

①NAPQ是直角时，AAPQs^AOB,

.APAQ

••—，

AOAB

即「At二t

610

解得t=^>6,舍去；

4

②NAQP是直角时，△AQPs^AOB,

.AQ.AP

*'AO^AB

即工=10-t

6~TcT

解得t=f

(1)如图，过点P作PC±OA于点C,

QA

贝！IPC=AP»sinZOAB=(10-t)x-(10-t),

105

.♦.△APQ的面积=[xtx3(10-t)=8,

25

整理，得：t1-10t+10=0,

解得:t=5+/g>6(舍去),或t=5-J5,

故当t=5-君(s)时，AAPQ的面积为8cml.

【题目点拨】

本题主要考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、三角形的面积以及一元二次方程的应用能力，分类讨论是

解题的关键.

13PF300

23、(1)y=-x~—x+2；(2)①有最大值1；②(2,3)或(—，)

22EO11121

【解题分析】

(1)根据自变量与函数值的对应关系，可得A,C点坐标，根据代定系数法，可得函数解析式；

PEPM

(2)①根据相似三角形的判定与性质，可得左=、，根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较

OEOC

小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；

3

②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以NACB为直角的直角三角形，取AB的中点D,求得D(不，0),得到

2

DA=DC=DB=|",过P作X轴的平行线交y轴于R,交AC于G,情况一：如图，ZPCF=2ZBAC=ZDGC+ZCDG,

情况二，ZFPC=2ZBAC,解直角三角形即可得到结论.

【题目详解】

(1)当x=0时,y=2,即C(0,2),

当y=0时，x=4,即A(4,0),

将A,C点坐标代入函数解析式，得

’12

——x4-+4。+c=0

<2,

c=2

，3

解得=匕，

c=2

13

抛物线的解析是为y=--x2+-X+2,

(2)过点P向x轴做垂线，交直线AC于点M,交x轴于点N

•.•直线PN〃y轴，

Z.APEM-△OEC,

.PEPM

**OE-OC

把x=0代入y=-gx+2,得y=2,即OC=2,

131

设点P(x,--x2+—x+2),则点M(x,-—x+2),

222

PM=(-—x2+—x+2)-(-—x+2)=--X2+2X=-—(x-2)2+2,

22222

.PEPM=--(X-2)12+2

**OE-OC~---------------，

•••0Vx<4,.•.当x=2时，器=累=—[(x—2—+2有最大值L

②；A(4,0),B(-1,0),C(0,2),

；.AC=2后，BC=BAB=5,

.,.AC2+BC2=AB2,

.1△ABC是以NACB为直角的直角三角形，取AB的中点D,

3

AD(一,0),

2

5

ADA=DC=DB=-,

2

.,.ZCDO=2ZBAC,

4

/.tanZCDO=tan(2ZBAC)=一,

3

过P作x轴的平行线交y轴于R,交AC的延长线于G,

情况一：如图

:.ZPCF=2ZBAC=ZPGC+ZCPG,

.\ZCPG=ZBAC,

1

/.tanZCPG=tanZBAC=—，

2

1

e0n.R...C...-—

RP2

1,3、

令P(a,--a2H—a+2),

22

1,3

；.PR=a,RC=--a~+—a,

22

a2

/.ai=O(舍去)，a2=2,

13

/.xp=2,--a2+—a+2=3,P(2,3)

22

情况二，/.ZFPC=2ZBAC,

4

AtanZFPC=-,

3

设FC=4k,

APF=3k,PC=5k,

3k1

VtanZPGC=——二一，

FG2

AFG=6k,

.\CG=2k,PG=37?k,

，心？k,RG弋k,PR=3回手邛k,

HA/5

・PR_a

ai=O