2019-2020学年新教材高中数学第五章弧度制学案新人教A版必修第一册

5.1.2弧度制

L课前自主预习

学习目标

1.了解弧度制.

2.能进行角度与弧度的互化.

3.能利用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式进行求解.

要点梳理

1.角的单位制

(1)角度制

规定1度的角等于周角的焉，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.

(2)弧度制

我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用

符号rad表示，读作弧度.

在半径为r的圆中，弧长为/的弧所对的圆心角为arad,那么|。1=(

一般地，正角的弧度数是一个正教，负角的弧度数是一个鱼数，零角的弧度数是0.

2.角度与弧度的换算

角度化弧度弧度化角度

360°=27rrad27rrad=360°

180°=兀radTTrad=180°

7T

1°=&rad^O.01745rad1rad=（中57.30°

1oU

度数乂高=弧度数弧度数X(岑)°=度数

loU

3.扇形的弧长公式及面积公式

\公式

弧长公式面积公式

度量/\

,7?兀厂

角度制

1=180360

弧度制1=a*rS=:/厂=}|a|/

温馨提示：(1)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单

得多，但要注意它的前提是a为弧度制.

(2)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：

1119C

①7=\a\•r,a=-,「=丁打；®S=~\a|/,a=—,

思考诊断

1.在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？

［答案］不相等.这是因为长为1的弧是指弧的长度为1,在大小不同的圆中，由于半

径不同，所以圆心角也不同

2.扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？

［答案］扇形的面积公式与三角形的面积公式类似.实际上，扇形可看作是一个曲边三

角形，弧是底，半径是底上的高

3.判断正误(正确的打“，错误的打“X”)

(1)1弧度=1°.()

(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定

值.()

(3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关.()

(4)与45°终边相同的角可以写成a=2An+450,k-)

［答案］⑴X(2)J(3)X(4)X

课堂互动探究

题型一角度与弧度的互化

【典例1】将下列角度与弧度进行互化.

7TI11JI

(1)20°；(2)-15°；(3)—；(4)一--.

一JI180、

［思路导引］角度与弧度的互化关键抓住1°=诉rad和1rad=

loUJI

20兀JI

［解］(1)20°=［QC=石・

iouy

15兀_兀

(2)-15°180=一T?

7兀7

(3)—=—X180°=105°.

,、11"11

(4)--=-Tx180=-396-

角度制与弧度制互化的原则

Ji

牢记180°=兀rad,充分利用1°=痂rad和1rad=—0进行换算.

loU\JL7

［针对训练］

1.—630°化为弧度为.

JI7

［解析］—630°=-630X—=--n.

loUZ

7

［答案］-

2.。=-3rad,它是第象限角.

［解析］根据角度制与弧度制的换算，1rad=fgQ［°,贝!］a=-3rad=一(亨

—171.9。.分析可得，a是第三象限角.

［答案］三

题型二用弧度制表示终边相同的角

【典例2】已知角a=2010°.

(1)将a改写成£+24五(4GZ,0W£〈2n)的形式，并指出a是第几象限的角;

(2)在区间［—5加，0)上找出与。终边相同的角.

［思路导引］利用终边相同的角的集合表示.

JI67兀7兀

［解］(1)2010°=2010X—=5X2Ji+—

lot)oo

▼7兀3兀

又兀〈二一〈丁，

62

7Ji

:・a与*终边相同，是第三象限的角.

⑵与。终边相同的角可以写成

7JI

y=-^-+24r(A£Z),又一5兀W/<0,

29

・••当k=~3时，7=一石"兀；

17

当A=-2时，y=---n；

0

5

当《=-1时，r=-.

|名师提醒A

用弧度制表示终边相同的角

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，构成的集合用弧度可表示为{£|£=2Am

+。，kGZ},这里a应为弧度数.

［针对训练］

3.已知。=一800°.

(1)把a改写成(AdZ,0W£〈2m)的形式，并指出a是第几象限角；

⑵求Y，使尸与a的终边相同，且2，vj-

14

［解］(1)V-8OO0=-3X360°+280°,280°=—n,

14Ji

・・・a=—800°+(-3)X2JI.

14JI

与角丁终边相同，。是第四象限角.

14JI

⑵：与a终边相同的角可写为2"m+k，AGZ的形式，而尸与。的终边相同,

y

,14兀

y

兀14兀兀

―—<2A兀+§keZ,

14JI4兀

解得“=-1,/.r=—2it+——=——.

yy

题型三扇形的弧长公式及面积公式的应用

【典例3】已知扇形的周长为10,面积为4,求扇形的圆心角的弧度数.

［思路导引］利用扇形的弧长公式2=a|•r及面积公式S=j；r=||a/求解.

［解］设扇形的圆心角的弧度数为^(0<0<2n),弧长为1,所在圆的半径为工依题

7+2r=10,

意得<1消去/,得合一5r+4=0,

-7r=4,

解得r=l或r=4.

当r=l时，1=8,止匕时。=8rad>2兀rad,故舍去；

21

当r=4时，1=2,此时6>=-=-rad,满足题意.

故夕=*|rad.

［变式］若本例条件改为：“已知扇形2利的周长为10cm”，求该扇形的面积的最大

值及取得最大值时圆心角的大小及弧长.

［解］设扇形圆心角的弧度数为夕(0<夕<2兀)，弧长为/,半径为八面积为S,

由J+2r=10得7=10—2r,

1l、<5\,25

S—-lr=-(z10—2^,r=5r—r2=—\r--r+—,

0X5.

当下=抑，S取得最大值不

515

这时/=10—2XA=5,J。=一=1=2.

2r5

2

95

故该扇形的面积的最大值为7cHi1取得最大值时圆心角为2rad,弧长为5cm.

|名师提醒A

弧度制下涉及扇形问题的攻略

（1）明确弧度制下扇形的面积公式是行（其中/是扇形的弧长，r是扇形

的半径，。是扇形的圆心角）.

（2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求

哪些量，然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程（组）求解.

［针对训练］

4.已知扇形的圆心角为108°,半径等于30cm,求扇形的弧长和面积.

JI3兀

［解］V108°=108X—,

1805

3JI

所以扇形的弧长为可Xl°=6"（cm）,

13兀

扇形的面积为3（）2=270兀（cm2）.

课堂归纳小结

1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：

每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯

一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.

2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°

=Jtrad”这一关系式.

易知：度数X击a€1=弧度数，弧度数X管）=度数.

3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角

的单位取弧度.

区随堂巩固验收

1.下列说法中，错误的是（）

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B.1°的角是周角的白，1rad的角是周角的白~

00v乙JI

C.1rad的角比1°的角要大

D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关

［解析］“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，所以A正确.1°的角是周

角的《5，1rad的角是周角的所以B正确.因为1rad=，?1°〉1°,所以C正确.用

角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关，所以D错误.

［答案］D

2.2100。化成弧度是（）

35Ji

A.—^―B.10n

28ii25JI

D.-F

JI35兀

［解析］2100°=2100X—=——.

loUo

［答案］A

9Q

3.角一的终边所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

9QIq1Q

［解析］一逐口=—4口+逐n,正it的，故选D.

［答案］D

4.在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是rad.

-4

［解析］根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为5=2rad.

［答案］2

5.已知扇形的周长为8cm,圆心角为2,则扇形的面积为cm2.

［解析］设扇形的半径为rem,弧长为7cm,由圆心角为2rad,依据弧长公式可得/

—2r,从而扇形的周长为J+2r=4r=8,解得r=2,则7=4.

故扇形的面积S=5"=5X4X2=4cm~.

［答案］4

课后作业（三十八）

复习巩固

、选择题

1.—10乎n转化为角度是（）

U

A.-300°B.-600°

C.-900°D.-1200°

［解析］由于一手=1一号乂当。=-600°,所以选B.

OyOJI/

［答案］B

2.与30°角终边相同的角的集合是（）

［JI

A.1aa—k,360°+—,•

B.{aIa—2kJi+30°,"ez}

C.{。|。=2人360°+30°，kG*

D.（aa=24n+豆，kGZ•

［解析］:与30°角终边相同的角表示为。=公360°+30°,"GZ,化为弧度为a

n

=2"AeZ,...选D.

o

［答案］D

3.下列说法正确的是（）

A.在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系

B.每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应

C.用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同

、,2JI

D.-120°的弧度数是丁

［解析］A项中，零角的弧度数为0,故A项错误；B项是正确的；C项中，用角度制和

弧度制度量零角时，单位不同，但数量相同（都是0）,故C项错误；一120。对应的弧度数

2JI

是一亍，故D项错误.故选B.

［答案］B

4.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为（）

A.2B.4

C.6D.8

［解析］设扇形所在圆的半径为尼则2=^X4X#,.•.发=1,；.斤=1..•.扇形的弧长为

4X1=4,扇形的周长为2+4=6.故选C.

［答案］C

5.集合《。4兀+了兀・。<4兀+丁兀，kRZ）中的角所表示的范一围，（阴影部分、、）是，

7T乙

,JIJI,

［解析］当k=2m,时，2mx+—^aW2mx+—,〃£Z；当k=2m~\~l,庐Z时,

4ZJ

5JI3n.,,

2卬口+^-W。+-^~,0dz.故选C.

［答案］C

二、填空题

6.将一1485°表示成20+a（OWa<2n,AGZ）的形式是

7

［解析］V-14850=-5X360°+315°,而315°=彳"，

7

应填一10n+］ji.

7

［答案］-Wit+-H

7.若扇形的半径为1,圆心角为3弧度，则扇形的面积为.

1133

［解析］由于扇形面积3x12=5,故扇形的面积为万.

［答案］2

8.已知两角和为1弧度，且两角差为1°,则这两个角的弧度数分别是

"x+y=l

［解析］设两个角的弧度数分别为X,y.因为1°=而JIrad,所以1n解,

ioUY—v=

yiso,

’1JI

y=---

23601JI1JI

得〈所以所求两角的弧度数分别为5+标,］一通.

_1兀

.尸5―丽'

1

墓1兀

-

-

23

23

60

解答题

三、

°.

=1690

知a

9.已

形式；

))的

［0,2m

£e

AGZ,

+£(

成

a写

⑴把

).

,4m

4Ji

E(-

且0

同，

边相

a终

。与

9,使

⑵求

+250°

0°

=144

690°

(1)1

［解］

25

JI.

I+—

X2J

=4

+250°

60°

=4X3

Io

25

).

(AeZ

二五

"m+

d=2

，；.

相同

a终边

9与

(2),/

Io

25

〈4兀,

一兀

A兀+

4兀<2

),—

,4兀

—4

e(

又0

lo

47

97

1.

1,0,

2—

k=—

9

61

25

11

，

一二兀

值是

e的

-H

Ti’

Ti"'

18'

lo

2JI

、.

.求：

为亍

心角

2,圆

长为

的弦

所对

心角

的圆

扇形

已知

10.

长；

的弧

所对

心角

个圆

(1)这

积.

形的面

个扇

(2)这

」^

径7=

以半

卓,所

角为

圆心

为2,

弦长

对的

角所

圆心

形的

为扇

(1)因

［解］

兀

3

sin-

、历兀

4

2兀

2\l3

A