2023八年级数学上册 第四章 一次函数4 一次函数的应用第3课时 两个一次函数的应用教案 （新版）北师大版

2023八年级数学上册第四章一次函数4一次函数的应用第3课时两个一次函数的应用教案（新版）北师大版科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2023八年级数学上册第四章一次函数4一次函数的应用第3课时两个一次函数的应用教案（新版）北师大版教学内容本节课选自2023八年级数学上册第四章“一次函数”的第四小节“一次函数的应用”第3课时，主要教学内容包括两个一次函数的应用。具体涉及以下两个方面：

1.结合实际情境，让学生理解并掌握两个一次函数的图像和性质。

2.通过具体例题，让学生学会利用两个一次函数的关系解决实际问题，掌握以下知识点：

a.两个一次函数的交点坐标求解方法；

b.根据实际问题列出两个一次函数的表达式；

c.分析两个一次函数在不同情况下的变化趋势及其应用。

本节课旨在让学生在实际应用中深入理解一次函数的性质和图像，培养他们分析问题和解决问题的能力。教学内容与北师大版教材紧密关联，确保教学实用性。教学目标分析本节课以核心素养为目标，旨在培养学生以下几方面的能力：

1.理解与运用：通过分析实际问题，让学生掌握两个一次函数的表达式及其图像性质，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。

2.抽象与建模：培养学生从具体情境中抽象出数学模型，即两个一次函数关系，并能运用所建立的模型分析问题、解决问题的能力。

3.探索与发现：鼓励学生在探索两个一次函数关系的过程中，发现数学规律，培养他们的观察、分析、归纳等逻辑思维能力。

4.合作与交流：通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生团队协作精神，提高他们的表达、沟通及倾听能力。

5.创新与实践：激发学生在解决实际问题时，运用创新思维，设计不同的解题策略，培养他们勇于尝试、乐于实践的精神。

本节课的教学目标紧密围绕新教程要求，注重培养学生的核心素养，充分体现数学学科的实用性和综合性，为学生的终身发展奠定基础。教学内容与北师大版教材相辅相成，确保教学目标的有效实现。教学难点与重点1.教学重点

（1）理解和掌握两个一次函数的表达式及其图像性质，包括斜率、截距的几何意义。

举例：函数y=kx+b中，k代表斜率，b代表y轴截距，理解它们在图像上的表现。

（2）学会求解两个一次函数的交点坐标，并分析其在实际问题中的应用。

举例：给定两个一次函数，通过解方程组找到它们的交点坐标，并将其应用于实际情境。

（3）掌握如何根据实际问题列出两个一次函数的表达式，并能解释其含义。

举例：从实际问题中抽象出两个一次函数关系，如两个物品的价格和数量关系。

2.教学难点

（1）从实际问题中抽象出两个一次函数关系，建立数学模型。

难点解析：学生需要学会如何从描述性语言中提取数学信息，并将其转化为数学表达式。

举例：实际问题中可能涉及两个变量的变化关系，学生需学会如何将其转化为y=kx+b的形式。

（2）理解两个一次函数交点的实际意义，并在问题解决中应用。

难点解析：学生需要理解交点在图像上的位置代表了两个函数对应变量相等的情况，这在实际问题中具有重要的意义。

举例：在成本和收益问题中，交点表示利润为零的情况，学生需理解其经济含义。

（3）解决涉及两个一次函数的复合问题，如最大值、最小值问题。

难点解析：学生需要掌握如何分析两个函数的图像，确定变量的取值范围，从而找到最值。

举例：在两个一次函数表示的两种不同策略中，学生需要分析哪种策略在特定条件下成本最低或收益最高。

（4）应用一次函数的图像和性质进行逻辑推理和证明。

难点解析：学生需要利用一次函数的图像和性质进行推理，这在数学证明和问题解决中是关键步骤。

举例：证明两个一次函数在某个区间内的取值关系，如一个函数的值始终大于另一个函数。教学方法与手段1.教学方法

（1）讲授法：通过生动的语言和形象的表达，向学生讲解两个一次函数的基本概念、图像性质以及实际应用。结合具体例题，引导学生掌握解题思路和方法。

（2）讨论法：组织学生进行小组讨论，鼓励他们发表自己的观点，探讨两个一次函数在实际问题中的应用。促进学生之间的互动，提高他们的逻辑思维和表达能力。

（3）实验法：利用数学软件或图形计算器等工具，让学生通过实验探索一次函数的图像性质，发现规律，加深对知识的理解。

2.教学手段

（1）多媒体设备：运用PPT、视频等资源，展示一次函数的图像、性质和实际应用案例，让学生直观地感受和理解知识，提高课堂趣味性。

（2）教学软件：利用几何画板、Mathematica等数学软件，辅助教学，让学生在课堂上实时观察一次函数图像的变化，提高他们对知识的认识。

（3）网络资源：引导学生利用网络查找与一次函数相关的实际问题，培养他们自主学习和解决问题的能力。教学流程（1）课前准备（5分钟）

-教师准备：制作PPT，包含一次函数的基本概念、图像性质、实际应用案例等；设计小组讨论题目，选取合适的教学软件和实验工具。

-学生准备：预习课本相关章节，了解一次函数的基本知识；准备笔记本和文具，以便记录重点内容。

例：教师通过提前布置预习任务，让学生对一次函数有初步的了解，为课堂学习打下基础。

（2）课中教学（35分钟）

1.导入新课（5分钟）

-教师通过一个实际问题引入，如“两家公司的成本和收益问题”，引导学生思考如何用一次函数来描述这些关系。

例：教师提问：“如何用数学模型来表示两家公司的成本和收益？”激发学生兴趣，为后续教学做铺垫。

2.基本概念与性质（10分钟）

-教师利用PPT讲解一次函数的基本概念，如斜率、截距等，并通过图像展示其性质。

-学生跟随教师的讲解，记录重点内容，对一次函数有更深入的理解。

例：讲解斜率的几何意义，如“斜率k表示函数图像上两点之间的纵向变化与横向变化的比值”。

3.实践探索（10分钟）

-学生分组讨论，利用教学软件（如几何画板）探索一次函数的图像性质，发现规律。

-教师巡回指导，解答学生在探索过程中遇到的问题。

例：学生通过实验发现，当斜率k>0时，函数图像呈现上升趋势；当斜率k<0时，函数图像呈现下降趋势。

4.应用举例（10分钟）

-教师通过PPT展示一个涉及两个一次函数的实际问题，如“两家公司如何制定策略使得利润最大？”

-学生跟随教师的引导，列出两个一次函数的表达式，分析并解决问题。

例：学生通过分析两个一次函数的交点，确定在何种条件下两家公司的利润最大。

5.总结与拓展（10分钟）

-教师与学生一起总结本节课的重点内容，巩固知识。

-学生提出疑问，教师解答，并进行知识拓展。

例：教师提问：“在实际问题中，如何判断两个一次函数的交点具有实际意义？”引发学生思考，加深对知识的理解。

（3）课后巩固（5分钟）

-教师布置课后作业，包括一些具有挑战性的实际问题，让学生运用所学知识解决问题。

-学生完成作业，巩固课堂所学，提高解决问题的能力。

例：课后作业可以涉及不同行业的一次函数应用问题，如“根据两家商店的打折策略，分析何时购物最划算”。

整个教学流程用时45分钟，充分体现了本节课的重点和难点。通过讲授、讨论、实践等多种教学方法，结合现代化教学手段，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。同时，注重课后巩固，使学生在实际应用中更好地理解和掌握一次函数的知识。知识点梳理1.一次函数的定义：一次函数是形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，其中k为斜率，b为y轴截距。

2.一次函数的图像性质：

-斜率k>0时，图像呈现上升趋势；

-斜率k<0时，图像呈现下降趋势；

-y轴截距b表示函数图像与y轴的交点。

3.一次函数的交点：

-两个一次函数的交点坐标可以通过解方程组求解；

-交点的实际意义：在实际问题中，如成本、收益等问题，交点表示两种情况相等的点。

4.实际问题中的两个一次函数：

-根据实际问题抽象出两个一次函数关系；

-列出函数表达式，并解释其含义；

-分析两个一次函数的交点、图像等，解决实际问题。

5.一次函数的应用：

-分析实际情境，如成本、收益、速度、时间等问题；

-利用一次函数的图像和性质解决最大值、最小值问题；

-结合两个一次函数的关系，解决复合问题。

6.数学建模：

-从实际问题中抽象出数学模型；

-利用数学知识分析模型，解决问题；

-将数学模型应用于实际问题，解释其结果。

7.解决问题的方法：

-图像法：通过观察一次函数的图像，分析问题；

-解析法：通过列出函数表达式，求解方程组，分析问题；

-实验法：利用数学软件或图形计算器，进行实验探索，发现规律。

本节课的知识点梳理涵盖了教材第四章“一次函数的应用”第3课时的核心内容。通过对知识点的梳理，旨在帮助学生巩固一次函数的基本概念、图像性质，提高他们在实际问题中运用数学知识解决问题的能力。同时，注重数学建模和解决问题的方法，培养学生的逻辑思维和创新能力。板书设计①重点知识点：

-一次函数定义：y=kx+b（k≠0）

-斜率k、截距b的几何意义

-两个一次函数的交点求解

-一次函数在实际问题中的应用

②关键词与句：

-斜率k>0：图像上升

-斜率k<0：图像下降

-y轴截距b：与y轴的交点

-交点坐标：解方程组求解

-实际应用：成本、收益、策略等

③艺术性与趣味性：

-使用不同颜色的粉笔，突出重点知识；

-图像示例：绘制一次函数的图像，标注斜率、截距、交点等；

-创意图形：设计有趣的图形，如将一次函数图像与实际情境结合，呈现为生活场景；

-学生参与：邀请学生在黑板上展示解题过程，增加互动性。

板书设计注重条理清晰、重点突出，同时兼顾艺术性和趣味性，以吸引学生的注意力，提高他们对知识点的理解和记忆。通过形象生动的板书，激发学生的学习兴趣，增强课堂互动，提高教学效果。教学反思与改进在上完这节课后，我进行了深入的反思。首先，我发现学生们对一次函数的基本概念和图像性质掌握得还不错，但在将理论知识应用到实际问题中时，部分学生显得有些吃力。这说明我在教学中可能过于注重理论讲解，而忽视了让学生在实际问题中多加练习。

针对这一点，我计划在未来的教学中增加一些具有代表性的实际问题，让学生多动手、多动脑，提高他们解决问题的能力。同时，我会鼓励学生多参与课堂讨论，分享解题思路，这样既能锻炼他们的表达能力，也能帮助其他同学拓宽思路。

其次，我注意到在小组讨论环节，有些学生参与度不高，可能是由于他们对讨论话题不感兴趣或者不知道如何表达自己的观点。为了提高学生的参与度，我打算在选题上下功夫，挑选一些更贴近他们生活的问题，激发他们的兴趣。

此外，我还会在课堂上多关注这些学生，鼓励他们大胆发言，对于他们的每一次进步都给予肯定和表扬，以增强他们的自信心。

再者，我发现教学过程中，部分学生对一次函数交点的实际意义理解不够深入。在今后的教学中，我会通过更多实例来阐述交点的实际意义，让学生更好地理解并应用这一知识点。

最后，针对板书设计，我会继续优化，使之更加清晰、简洁，同时注重艺术性和趣味性，以提高学生的学习兴趣。此外，我还会在课后收集学生的反馈意见，了解他们在学习过程中遇到的困难和问题，不断调整教学方法，提高教学效果。课堂小结，当堂检测1.课堂小结

本节课我们学习了两个一次函数的应用，通过实际问题引入，让学生了解了如何用一次函数来描述两个变量之间的关系。重点讲解了斜率k、截距b的几何意义，以及如何求解两个一次函数的交点坐标。通过实例分析，让学生掌握了如何根据实际问题列出两个一次函数的表达式，并运用这些知识解决实际问题。最后，我们还讨论了一次函数的图像性质，以及如何利用这些性质进行逻辑推理和证明。

2.当堂检测

（1）选择题

1）一次函数y=kx+