教师公开招聘考试小学数学（计算题）模拟试卷1（共215题）

教师公开招聘考试小学数学（计算题）模拟试卷1（共7套）（共215题）教师公开招聘考试小学数学（计算题）模拟试卷第1套一、计算题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=√3，cos2A—cos2B=√3sinAcosA－√3sinBcosB．1、求角C的大小；标准答案：∵△ABC中，a≠b，c=√3，cos2A—cos2B=√2sinAcosA－√3sinBcosB,∴即cos2A—cos2B=√3sin2A－√3sin2B，即－2sin(A+B)sin(A—B)=2√3cos(A+B)sin(A—B)．∵a≠b，∴A≠B，sin(A—B)≠0，∴tan(A+B)=－√3，∴A+B=∴C=知识点解析：暂无解析2、若sinA=，求△ABC的面积．标准答案：∵sinA=(舍去)，∴cosA=．由正弦定理可得∴sinB=sinf(A+B)－A]=sin(A+B)cosA—COS(A+B)sinA=，∴△ABC的面积为知识点解析：暂无解析已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=(√2)bn(n∈N*)．若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．3、求an和bn；标准答案：∵a1a2a3…an=(√2)bn(n∈N*)①，当n≥2，n∈N*时，a1a2a3…an-1=(√2)bn-1②，由①②知：an=(√2)bn-bn-1，令n=3，则有a3=(√2)b3-b2．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{an}为等比数列，且a1=2，∴{an}的公比为q，则q2==4，由题意知an＞0，∴q＞0，∴q=2．∴an=2n(n∈N*)．又由a1a2a3…an=(√2)bn(n∈N*)得：21×22×23…×2n=(√2)bn，=(√2)bn,∴bn=n(n+1)(n∈N*)．知识点解析：暂无解析4、设cn=(n∈N*)．(i)求Sn；(ii)求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn．标准答案：(i)∵cn=．∴Sn=c1+c2+c3+…+cn=(ii)因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，cn=－1]，而＜1，所以，当n≥5时，cn＜0，综上，对任意n∈N*，恒有S4≥Sn，故k=4．知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ)，其中a∈R，θ∈5、当a=√2，θ=时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；标准答案：当a=√2，θ=时，f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ)=sin(x+)+√2cossinx+cosx－√2sinx=－cosx=sin(—x)=－sin(x－)．∵x∈[0，π]，∴x－∈，故f(x)在区间[0，π]上的最小值为－1，最大值为.知识点解析：暂无解析6、若f()=0，f(π)=1，求a，θ的值．标准答案：∵f(x)=sin(x+θ)+scos(x+2θ)a∈R，θ∈=0，f(π)=1，∴cosθ－asin2θ=0①，－sinθ－acos2θ=1②，由①求得sinθ=，由②可得cos2θ=再根据cos2θ=1－2sinθ，可得－，求得a=－1，∴sinθ=－．综上可得，所求的a=－1，θ=－．知识点解析：暂无解析给定常数c＞0，定义函数f(x)=2|x+c+4|—|x+c|，数列a1，a2，a3…满足an+1=f(an)，n∈N*．7、若a1=－c－2，求a2及a3；标准答案：因为c＞0，a1=－(c+2)，故a2=f(a1)=2|a1+c+4|—|a1+c|=2，a3=f(a2)=2|a2+c+4|—|a2+c|=c+10．知识点解析：暂无解析8、求证：对任意n∈N*，an+1－an≥C；标准答案：要证明原命题，只需证明f(x)≥x+c对任意x∈R都成立，f(x)≥x+c2|x+c+4|—|x+c|≥x+c即只需证明2|x+c+4|≥|x+c|+x+c若x+c≤0，显然有2|x+c+4|≥|x+c|+x+c=0成立；若x+c＞0，则2|x+c+4|≥|x+c|+x+cx+c+4＞x+c显然成立．综上，f(x)≥x+c恒成立，即对任意的n∈N*，an+1－an≥c．知识点解析：暂无解析9、是否存在a1，使得a1，a2，…an，…成等差数列?若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．标准答案：由(Ⅱ)知，若{an}为等差数列，则公差d≥c＞0，故n无限增大时，总有an＞0此时，an+1=f(an)=2(anc+4)－(an+c)=an+c+8即d=c+8故a2=f(a1)=2|a1+c+4|—|a1+c|=a1+c+8，即2|a1+c+4|=|a1+c|+a1+c+8，当a1+c≥0时，等式成立，且n≥2时，an＞0，此时{an}为等差数列，满足题意；若a1+c＜0，则|a1+c+4|=4[*]a1=－c－8，此时，a2=0，a3=c+8，…，an=(n－2)则a1=－(c+8)也满足题意；综上，满足题意的a1的取值范围是[－c，+∞)∪{－c－8)．知识点解析：暂无解析在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A—B)cosB—sin(A—B)sin(A+C)=－.10、求sinA的值；标准答案：由cos(A－B)cosB—sin(A－B)sin(A+C)=－，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB=．则cos(A－B+B)=－，即cosA=－．又因为0＜A＜π，则sinA=.知识点解析：暂无解析11、若a=4√2，b=5，求向量方向上的投影．标准答案：由正弦定理，得．所以sinB=由题知a＞b，则A＞B，故B=．根据余弦定理，有(4√2)2=52+c2－2×5c×，解得c=1或c=－7(负值舍去)．故向量方向上的投影为知识点解析：暂无解析在△ABC中，a=3，b=2√6，∠B=2∠A，12、求cosA的值；标准答案：因为a=3，b=2√6，∠B=2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理得.所以知识点解析：暂无解析13、求C的值．标准答案：由(1)知，cosA=，所以sinA=．又因为∠B=2∠A，所以cosB=2cos2A－1=．所以sinB=．在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=所以c==5．知识点解析：暂无解析在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c．已知cos2A－3cos(B+C)=1．14、求角A的大小；标准答案：由已知条件得：cos2A+3cosA=1．∴2cos2A+3cosA－2=0，解得cosA=，角A=.知识点解析：暂无解析15、若△ABC的面积S=5√3，b=5，求sinBsinC的值．标准答案：S=bcsinA=5√3c=4，由余弦定理得：a2=21，(2R)2==28∴sinBsinC=.知识点解析：暂无解析已知等比数列{an}满足：|a2－a3|=10，a1a2a3=125．16、求数列{an}的通项公式；标准答案：由已知条件得：a2=5，又∵a2|q－1|=10，∴q=－1或3，所以数列{an}的通项为an=5×3n-2或an=5×(－1)n-2．知识点解析：暂无解析17、是否存在正整数m，使得≥1?若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．标准答案：若q=－1，或0，不存在这样的正整数m；若q=3，，不存在这样的正整数m．知识点解析：暂无解析设向量a=(√3sinx,sinx),b=(cosx,sinx),x∈[0，].18、若|a|=|b|，求x的值；标准答案：由|a|2=(√3sinx)2+(sinx)2=4sin2x，|b|2=(cosx)2+(sinx)2=1，及|α|=|b|，得4sin2x=1．又∵x∈，从而sinx=，所以x=知识点解析：暂无解析19、设函数f(x)=a·b，求f(x)的最大值．标准答案：f(x)=a·b=√3sinx·cosx+sin2x=，当x=时，sin(2x－)取最大值1．所以f(x)的最大值为.知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=(1+x)e-2x，g(x)=ax++1+2xcosx．当x∈[0，1]时，20、求证：1－x≤f(x)≤标准答案：要证：x∈[0，1]时，(1+x)e-2x≥1－x，只需证明(1+x)e-x≥(1－x)ex．记h(x)=(1+x)e-x(1－x)ex，则h＇(x)=x(ex－e-x)，当x∈(0，1)时，h＇(x)＞0，因此h(x)在[0，1]上是增函数，故h(x)≥h(0)=0．所以f(x)≥1－x，x∈[0，1]．要证x∈[0，1]时，(1+x)e-2x≤，只需证明ex≥x+1．记K(x)=ex－x－1，则K＇(x)=ex－1，当x∈(0，1)时，K＇(x)＞0，因此K(x)在[0，1]上是增函数，故K(z)≥K(0)=0．所以f(x)≤，x∈[0，1]．综上，1－x≤f(x)≤，x∈[0，1]．知识点解析：暂无解析21、若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．标准答案：解法一：f(x)－g(x)=(1+x)e-2x一(ax++1+2xcosx)≥1－x－ax－1－－2xcosx=－x(a+1++2cosx)．设G(x)=+2cosx，则G＇(x)=x－2sinx．记H(x)=x－2sinx，则H＇(x)=1一2cosx，当x∈(0，1)时，H＇(x)＜0，于是G＇(z)在[0，1]上是减函数，从而当x∈(0，1)时，G＇(x)＜G＇(0)=0，故G(x)在[0，1]上是减函数．于是G(x)≤G(0)=2，从而a+1+G(x)≤a+3．所以，当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．下面证明当a＞－3时，f(x)≥g(z)在[0，1]上不恒成立．f(x)－g(x)≤记I(x)=+a+G(x)，则I＇(x)=+G(x)，当x∈(0，1)时，I＇(x)＜0，故I(x)在[0，1]上是减函数，于是I(x)在[0，1]上的值域为[a+1+2cos1，a+3]．因为当a＞一3时，a+3＞0，所以存在x0∈(0，1)，使得I(x0)＞0，此时f(x0)＜g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(－∞，－3]．解法二：先证当x∈[0，1]时，1－x2≤cosx≤1－x2．记F(x)=cosx－1+x2，则F＇(x)=－sinx+x．记G(x)=－sinx+x，则G＇(x)=－cosx+1，当x∈(0，1)时，G＇(x)＞0，于是G(x)在[0，1]上是增函数，因此当x∈(0，1)时，G(x)＞G(0)=0，从而F(x)在[0，1]上是增函数．因此F(x)≥F(0)=0，所以当x∈[0，1]时，1－x2≤cosx．同理可证，当x∈[0，1]时，cosx≤1－x2．综上，当x∈[0，1]时，1－x2≤cosx≤1－x2．因为当x∈[0，1]时，f(x)－g(x)=(1+x)e-2x－(ax++1+2xcosx)≥(1－x)－ax－－1－2x(1一x2)=－(a+3)x,所以当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．下面证明当a＞－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．因为f(x)－g(x)=(1+x)e-2x－一(a+3)x≤，所以存在x0∈(0，1)(例如x0取中的较小值)满足f(x0)＜g(x0)．即f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(一∞，一3]．知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=√2cos(x－),x∈R．22、求的值；标准答案：知识点解析：暂无解析23、若cosθ=，求标准答案：=cos2θ－sin2θ因为cosθ=.所以sinθ=－，所以sin2θ=2sinθcosθ=－，cos2θ=cos2θ－sin2θ=－所以f(2θ+)=cos2θ－sin2θ=—.知识点解析：暂无解析设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1，,n∈N*．24、a2的值；标准答案：依题意，2S1=a2－，又因为S1=a1=1，所以a2=4．知识点解析：暂无解析25、求数列{an}的通项公式；标准答案：当n≥2时，2Sn=nan+1－n3—n2－n，2Sn-1=(n—1)an－(n—1)3－(n－1)2－(n－1)，两式相减得2an=nan+1－(n－1)an－(3n2－3n+1)－(2n－1)－，整理得(n+1)an=nan+1－n(n+1)，即=1，又因为=1故数列是首项为=1，公差为l的等差数列，所以：1+(n－1)×1=n，所以an=n2.知识点解析：暂无解析26、)证明：对－切正整数n，有标准答案：当n=1时，；当n=2时，；当n≥3时，综上，对－切正整数n，有.知识点解析：暂无解析设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=27、求a，c的值；标准答案：由余弦定理，得cosB=．∴ac=9，故a=c=3．知识点解析：暂无解析28、求sin(A—B)的值．标准答案：由cosB=，得sinB=：cosA=．sinA=；∴sin(A—B)=sinAcosB—sinBcosA=知识点解析：暂无解析设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2，a2n=2an+1．29、求数列{an}的通项公式；标准答案：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2得4a1+6d=8a1+4d，即d=2a1；又由a2n=2an+l得a2=2a1+l，即d=a1+1，所以a1=1，d=2，于是，数列{an}的通项公式为an=2n－1．知识点解析：暂无解析30、设数列{bn}的前n项和Tn，且Tn+=λ(λ为常数)，令cn=b2n，(n∈N*)．求数列{Cn}的前n项和Rn标准答案：∵an=2n－1，数列{bn}的前n项和Tn满足Tn+=λ，即Tn=λ－当n=1时，T1=λ－1，当n≥2时，Tn-1=λ－，于是bn=Tn－Tn-1=．又cn=b2n=．两式相减，得知识点解析：暂无解析教师公开招聘考试小学数学（计算题）模拟试卷第2套一、计算题(本题共31题，每题1.0分，共31分。)如图，在四棱锥A—BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=√2．1、证明：DE⊥平面ACD；标准答案：在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=√2，由AC=√2，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又因为平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又因为DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD．知识点解析：暂无解析2、求二面角B—AD—E的大小．标准答案：作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由(Ⅰ)知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B—AD—E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2－BC2+BD2，得BD⊥BC，又因为平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．在Rt△ACD中，由DC=2，AC=√6，得AD=√2；在Rt△AED中，由ED=1，AD=√6得AE=√7；在Rt△ABD中，由BD=√2，AB=2，AD=√2得BF=AD，从而GF=，在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE=．在△BFG中，cos∠BFG=，所以，∠BFG=，二面角B—AD—E的大小为.知识点解析：暂无解析如图，已知双曲线C：=y2=1(a＞0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥0B，BF∥OA(O为坐标原点)．3、双曲线C的方程；标准答案：依题意知，A(c，)，设B(t，－)，∵AB⊥OB，BF∥OA，∴整理得：t=，a=√3．∴双曲线c的方程为－y2=1．知识点解析：暂无解析4、过C上－点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．标准答案：证明由(Ⅰ)知A(2，)，l的方程为：－y0y=1，又F(2，0)，直线l：y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．于是可得M∴.知识点解析：暂无解析已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为5、求椭圆C的标准方程；标准答案：由已知可得，，c=2，所以a=√6．又由a2=b2+c2，解得b=√2．所以椭圆C的标准方程是=1．知识点解析：暂无解析6、设O为坐标原点，T为直线x=－3上－点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q．当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．标准答案：设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF==－m．当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ=．直线PQ的方程是x=my－2．当m=0时，直线PQ的方程是x=－2，也符合x=my－2的形式．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得．消去x，得(m2+3)y2－4my－2=0，其判别式Δ=16m2+8(m2+3)=24(m2+1)＞0．所以y1+y2=.y1y2=，x1+x2=m(y1+y2)－4=因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即(x1，y1)=(－3－x2，m—y2)．所以．解得m=±1．此时，四边形的面积SOPTQ=2SOPQ=2×·|OF|·|y1－y2|==2√3．知识点解析：暂无解析已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的－个焦点为(√5，0)，离心率为7、求椭圆C的标准方程；标准答案：依题意得c=√5，e=，所以a=3，b2=a2－c2=4，所以椭圆C的标准方程为=1.知识点解析：暂无解析8、若动点P(x0，y0)为椭圆C外－点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．标准答案：当过点P的两条切线l1，l2的斜率均存在时，设l1：y－y0=k(x—x0)，则，l2：y—y0=(x－x0)联立，得(4+9k2)x2+18k(y0－kx0)x+9(y0－kx0)2－36=0，所以Δ=(18k)2(y0－kx0)2－4(4+9k2)[9(y0－kx0)2－36]=0，整理得(y0－kx0)2=4+9k2，即(x02－9)k2－2x0y0k+y02－4=0，因为l1⊥l2，所以k1k2==－1，整理得x02+y02=13；当过点P的两条切线l1，l2－条斜率不存在，－条斜率为0时，P为(3，±2)或(－3，±2)，均满足x02+y02=13．综上所述，点P的轨迹方程为x2+y2=13．知识点解析：暂无解析设椭圆=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．9、求椭圆的离心率；标准答案：设椭圆的右焦点为F2(c，0)，由|AB|=|F1F2|，可得×2c，化为a2+b2=3c2．又∵b2=a2－c2，∴a2=2c2．∴e=知识点解析：暂无解析10、设P为椭圆上异于其顶点的－点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．标准答案：由(Ⅰ)可得b2=c2．因此椭圆方程为=1．设P(x0，y0)，由F1(－c，0)，B(0，c)，可得=(x0+c，y0)．=(c，c)∵=c(x0+c)+cy0=0，∴x0+y0+c=0，∵点P在椭圆上，∴=1．联立，化为3x02+4cx0=0，∵x0≠0．∴x0=－c，代入x0+y0+c=0，可得y0=．设圆心为T(x1，y1)，则x1=，∴圆的半径r=.设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．∵直线l与圆相切，∴,整理得k2－8k+1=0，解得k=4±√15．∴直线l的斜率为4±√15．知识点解析：暂无解析已知圆C的方程为x2+(y－4)2=4，点O是坐标原点，直线l：y=kz与圆C交于M，N两点．11、求k的取值范围；标准答案：将y=kx代入x2+(y－4)2=4中，得(1+k2)x2－8kx+12=0(*)．由△=(－8k)2－4×(1+k2)×12＞0，得k2＞3．所以k的取值范围是(－∞，－√3)∪(√3，+∞)．知识点解析：暂无解析12、设Q(m，n)是线段MN上的点，且，请将n表示为m的函数．标准答案：因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，则|OM|2=(1+k2)x12，|ON|2=(1+k2)x22，又因为|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2．由.由(*)式可知，x1+x2=，x1x2=,所以m2=．因为点Q在直线y=kx上．所以k=，代入m2=中并化简，得5n2一3m2=36．由m2=及k2＞3，可知0＜m2＜3，即，m∈(一√3，0)∪(0，√3)．根据题意，点Q在圆C内，则n＞0，所以n=于是n与m的函数关系为n(m∈(一√3，0)∪(0，√3))．知识点解析：暂无解析已知A，B，C是椭圆W：+y2=1上的三个点，O是坐标原点．13、当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；标准答案：椭圆W：+y2=1的右顶点B的坐标为(2，0)．因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得+m2=1，即m=±所以菱形OABC的面积是|OB|·|AC|=×2×2|m|=√3.知识点解析：暂无解析14、当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．标准答案：假设四边形OABC为菱形。因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y=kx+m(k≠0，m≠0)．由，消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2－4=0．设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则所以AC的中点为M因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为－．因为k·(－)≠－1，所以AC与OB不垂直．所以OABC不是菱形，与假设矛盾．所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．知识点解析：暂无解析已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t=α与t=2α(0＜a＜2π)，M为PQ的中点．15、求M的轨迹的参数方程；标准答案：依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα+cos2α，sinα+sin2α)．M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．知识点解析：暂无解析16、将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．标准答案：M点到坐标原点的距离d=(0＜α＜2π)．当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．知识点解析：暂无解析如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=－2py(p＞0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0=1－√2时，切线MA的斜率为－.17、求p的值；标准答案：因为抛物线C1：x2=4y上任意－点(x，y)的切线斜率为y＇=，且切线MA的斜率为－,所以A点坐标为，故切线MA的方程为y=－×(x+1)+因为点M(1－√2，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y=－×(2－√2)+由①②得p=2．知识点解析：暂无解析18、当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．标准答案：设N(x，y)，，x1≠x2，由N为线段AB中点知x=切线MA，MB的方程为y=由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0=．因为点M(x0，y0)在C2上，即x02=－4y0，所以x1x2=由③④⑦得x2=，x≠0．当x1=x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2=y．因此AB中点N，的轨迹方程为x2=知识点解析：暂无解析在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos(θ－)=2√2．19、求C1与C2交点的极坐标；标准答案：圆C1的直角坐标方程为x2+(y－2)2=4，直线C2的直角坐标方程为x+y－4=0．所以C1与C2交点的极坐标为.知识点解析：暂无解析20、设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．标准答案：由(Ⅰ)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)．故直线PQ的直角坐标方程为x—y+2=0．由参数方程可得y=．解得a=－1，b=2．知识点解析：暂无解析已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x—y－2=0的距离为设P为直线l上的点，过P点作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．21、求抛物线C的方程；标准答案：依题意，设抛物线C的方程为x2=4cy，由结合c＞O，解得c=1．所以抛物线C的方程为x2=4y．知识点解析：暂无解析22、当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；标准答案：抛物线C的方程为x2=4y，即y=x2，求导得y＇=x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1=.y2=)，则切线PA，PB的斜率分别为，所以切线PA的方程为y—y1=(x—x1)，即y=+y1，即x1x－2y－2y1=0同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2=0因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－2y1=0，x2x0－2y0－2y2=0，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y=0的两组解．所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0=0．知识点解析：暂无解析23、当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．标准答案：由抛物线定义可知|AF|=y1+l，|BF|=y2+1，所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1联立方程消去x整理得y2+(2y0－x02)y+y02=0，由－元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=x02－2y0，y1y2=y02，所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+l=y02+x02－2y0+l，又因为点P(x0，y0)在直线l上，所以x0=y0+2，所以y02+x02－2y0+1=2y02+2y0+5=，所以当y0=－时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.知识点解析：暂无解析椭圆C：=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．24、求椭圆C的方程；标准答案：由题意得，即4c2=3a2，又因为点(－c，)在椭圆C上，于是有=1，得b2=1，a2=4，所以椭圆C的方程为+y2=1．知识点解析：暂无解析25、点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；标准答案：由点P在椭圆C上，得|PF1|+|PF2|=2a=4，又因为P不是长轴端点，由三角形角平分线定理，得，(m≠√3)记|PF2|=t，则|PF1|=4－t，2－√3＜t＜2+√3，于是有，解之t=2－．解不等式2－√3＜2－＜2+√3，得－，即为所求m的取值范围．知识点解析：暂无解析26、在(Ⅱ)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．标准答案：设P(x0，y0)，则+y02=1，且k=－为定值－8．知识点解析：暂无解析甲乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率是假设每局比赛结果互相独立．27、分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；标准答案：设第1局、第2局、第3局、第4局、第5局甲队获胜分别为事件A1，A2，A3，A4，A5，于是P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=，P(A5)=．甲队以3：0胜利的概率为P(A1A2A3)=：甲队以3：1胜利的概率为P(A2A3A4)+P(A1A3A4)+P(A1A2A4)=3×；甲队以3：2胜利，说明甲乙两队前四局各有两局获胜，第5局甲队获胜，其概率为C42×.知识点解析：暂无解析28、若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．标准答案：乙队得分X的取值为X=0，1，2，3，X=0时，乙方以0：3或1：3失败，P(X=0)=()3+C31×X=1时，乙方以2：3失败，P(X=1)=C42×;X=2时，乙方以3：2胜利，P(X=2)=C42×;X=3时，乙方以3：0或3：1胜利，P(X=3)=;X的分布列为X的数学期望为E(X)=×(16×0+1×4+2×4+3×3)=知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=其中a是实数，设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2．29、指出函数f(x)的单调区间；标准答案：函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，+∞)．知识点解析：暂无解析30、若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2－x1≥1；标准答案：由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f＇(x1)，点B处的切线斜率为f＇(x2)，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f＇(x1)f＇(x2)=－1．当x＜0时，对函数f(x)求导，得f＇(x)=2x+2．因为x1＜x2＜0，所以，(2x1+2)(2x2+2)=－1．所以2x1+2＜0，2x2+2＞0．因此x2－x1=[－(2x1+2)+2x2+2]≥=1．(当且仅当－(2x1+2)=2x2+2=l，即x1=－且x2=－时等号成立)所以函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有x2－x1≥1．知识点解析：暂无解析31、若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．标准答案：当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f＇(x1)≠f＇(x2)，故x1＜0＜x2．当x1＜0时，函数f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x—x1)，即y=(2x1+2)x—x12+a．当x2＞0时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－lnx2=(x—x2)，即y=·x+lnx2－1．两切线重合的充要条件是由①及x1＜0＜x2知，0＜＜2．由①②得，a=lnx2+.令t=，则0＜t＜2，且a=t2－t－lnt，设h(t)=t2－t－lnt(0＜t＜2)，则h＇(t)=＜0．所以h(t)(0＜t＜2)为减函数，则h(t)＞h(2)=－ln2—1，所以a＞－ln2—1．而当t∈(0，2)且t趋近于0时，h(t)无限增大．所以a的取值范围是(－ln2—1，+∞)．故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln2—1，+∞)．知识点解析：暂无解析教师公开招聘考试小学数学（计算题）模拟试卷第3套一、计算题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：=1(a＞0，b＞0)上－点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为1、求双曲线的离心率；标准答案：点P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线=1上，有=1．由题意又由，可得a2=5b2，c2=a2+b2=6b2，则e=.知识点解析：暂无解析2、过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上－点，满足，求λ的值．标准答案：联立，得4x2－10cx+35b2=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x3，y3)，又因为C为双曲线上一点，即x32－5y32=5b2，有(λx1+x2)2－5(λy1+y2)2=5b2．化简得：λ2(x12－5y12)+(x22－5y22)+2λ(x1x2－5y1y2)=5b2，又因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x12－5y12=5b2，x22－5y22=5b2．由①式又由x1x2－5y1y2=x1x2－5(x1－c)(x2－c)=－4x1x2+5c(x1+x2)－5c2=10b2得：λ2+4λ=0，解出λ=0或λ=－4．知识点解析：暂无解析已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+(y－4)2=1的圆心为点M．3、求点M到抛物线C1的准线的距离；标准答案：由题意可知，抛物线的准线方程为：y=－，所以圆心M(0，4)到准线的距离是.知识点解析：暂无解析4、已知点P是抛物线C1上－点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．标准答案：设P(x0，x02)，A(x1，x12)，B(x2，x22)，由题意得x0≠0，x0≠±1，x1≠x2．设过点P的圆C2的切线方程为y－x02=k(x－x0)，即y=kx－kx0+x02①．则=1，即(x02－1)k2+2x0(4一x02)k+(x02－4)2一1=0．设PA，PB的斜率为k1，k2(k1≠k2)，则k1，k2是上述方程的两根，所以k1+k2=，k1k2=将①代入y=x2得x2－kx+kx0－x02=0，由于x0是此方程的根，故x1=k1－x0，x2=k2一x0，所以kAB==x1+x2=k1+k2—2x0=一2xx0，kMP=．由MP⊥AB，得kAB·kMP==－1，解得x02=.即点P的坐标为，所以直线l的方程为y=±x+4．知识点解析：暂无解析已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：(x－1)2+(y－)2=r2(r＞0)有－个公共点A，且在A处两曲线的切线为同－直线l．5、求r；标准答案：设A(x0，(x0+1)2)，对y=(x+1)2求导得y＇=2(x+1)．故l的斜率k=2(x0+1)．当x0=－1时，不合题意，所以x0≠－1．圆心为M(1，)，MA的斜率k＇=.由l⊥MA知k·k＇=－1，即2(x0+1)·=－1，解得x0=0，故A(0，1)，r=|MA|=.知识点解析：暂无解析6、设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离．标准答案：设(t，(t+1)2)为C上－点，则在该点处的切线方程为y－(t+1)2=2(t+1)(x－t)，即y=2(t+1)x—t2+1．若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，即，化简得t2(t2－4t－6)=0，解得t0=0，t1=2+√10，t2=2－√10．抛物线C在点(ti，(ti+1)2)(i=0，1，2)处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y=2x+1①，y=2(t1+1)x－t12+1②，y=2(t2+1)x—t22+1③，②－③得．x==2．将x=2代入②得y=－1，故D(2，－1)．所以D到l的距离d=.知识点解析：暂无解析如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．7、求该椭圆的离心率和标准方程；标准答案：如图，设所求椭圆的标准方程为=1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c，0)．因△AB1B2是直角三角形，又因为|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|=|OB2|，得b=．结合c2=a2－b2得4b2=a2－b2，故a2=5b2，c2=4b2．所以离心率e=在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2=·|B1B2|·|OA|=|OB2|．|OA|=·b=b2，由题设条件S△AB1B2=4得b2=4，从而a2=5b2=20．因此所求椭圆的标准方程为：=1.知识点解析：暂无解析8、过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．标准答案：由(Ⅰ)知B1(－2，0)，B2(2，0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：x=my－2．代入椭圆方程得(m2+5)y2－4my－16=0．设P(x1，y1)、Q(x1，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1+y2=,y1·y2=－,又因为=(x1－2，y1)，=(x2—2，y2)，所以=(x1－2)(x2—2)+y1y2=(my1－4)(my2—4)+y1y2=(m2+1)y1y2—4m(y1+y2)+16=－，由PB2⊥QB2，得=0，即16m2－64=0，解得m=±2．所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x+2y+2=0和x－2y+2=0．知识点解析：暂无解析如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=PD|．9、当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；标准答案：设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得.∵P在圆上，∴x2+=25，即C的方程为=1.知识点解析：暂无解析10、求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．标准答案：过点(3，0)且斜率为的直线方程为y=(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y=(x－3)代入C的方程，得=1，即x2－3x－8=0．∴x1=，x2=∴线段AB的长度为|AB|=知识点解析：暂无解析设圆c与两圆(x+√5)2+y2=4，(x－√5)2+y2=4中的一个内切，另一个外切．11、求圆C的圆心轨迹L的方程；标准答案：依题意得两圆的圆心分别为F1(－√5，0)，F2(√5，0)，从而可得|CF1|+2=|CF2|－2或|CF2|+2=|CF1|－2，所以||CF2|—|CF1||=4=2a＜|F1F2|=2√5=2c．所以圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为4，焦距为2√5的双曲线，因此a=2，c=√5，b2=c2－a2=1．故圆C的圆心轨迹L的方程为－y2=1．知识点解析：暂无解析12、已知点M，F(√5，0)，且P为L上动点，求||MP|—|FP||的最大值及此时点P的坐标．标准答案：过点M，F的直线l的方程y=－2(x－√5)，将其代入－y2=1中，解得x1=故直线l与L的交点为T1，因为T1在线段MF外，T2在线段MF上，故||MT1|－|FT1||=|MF|=2，||MT2|—|FT2||＜|MF|=2，若点P不在MF上，则||MP|－|FP||＜|MF|=2，综上所述，||MP|—|FP|只在点T1处取得最大值，即||MP|—|FP||的最大值为2，此时点P的坐标为.知识点解析：暂无解析已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．13、求椭圆的方程；标准答案：由e=，得3a2=4c2．再由c2=a2－b2，得a=2b．由题意可知×2a×2b=4．即ab=2．解方程组得a=2，b=1，所以椭圆的方程为+y2=1.知识点解析：暂无解析14、设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B．已知点A的坐标为(－a，0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且=4．求y0的值．标准答案：由(Ⅰ)可知A(－2，0)，设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2)．于是A、B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理，得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2－4)=0．由－2x1=，得x1=，从而y1=．设线段AB的中点为M，则M的坐标为以下分两种情况：①当k=0时，点B的坐标为(2，0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是=(－2，－y0)，=(2，－y0)．由=4，得y0=±2√2②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y－.令x=0，解得y0=－,由=(－2，－y0)，=(x1，y1—y0)，=－2x1－y0(y1－y0)==4.整理得7k2=2，故k=±，所以y0=±，综上，y0=±2√2或y0=±.知识点解析：暂无解析已知椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=.15、求椭圆E的方程；标准答案：设椭圆E的方程为：=1，由e=，得,b2=a2－c2=3c2，∴=1．将A(2，3)代入，有=1，解得：c=2，∴椭圆E的方程为=1．知识点解析：暂无解析16、求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程．标准答案：由(Ⅰ)知F1(－2，0)，F2(2，0)，所以直线AF1的方程为y=(x+2)，即3x－4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由椭圆E的图形知∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数．设P(x，y)为∠F1AF2的角平分线所在直线上任－点，则有=|x－2|，若3x－4y+6=5x－10，得x+2y－8=0，其斜率为负，不合题意．舍去，于是3x－4y+6=10－5x，即2x－y－1=0．∴∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x—y－1=0．知识点解析：暂无解析如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2√3．17、求点A到平面MBC的距离；标准答案：取CD中点O，连OB，OM，则OB=OM=√3，OB⊥CD，MO⊥CD．又因为平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，MO∥平面ABC，M，O到平面ABC的距离相等．作OH⊥BC于H，连MH，则MH⊥BC．求得OH=OC·sin60°=，MH=．设点A到平面MBC的距离为d，由VA-MBC=VM-ABC得·S△MBC·d=·S△ABC·OH，即，解得d=.知识点解析：暂无解析18、求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．标准答案：延长AM、BO相交于E，连CE、DE，CE是平面ACM与平面BCD的交线．由(1)知，O是BE的中点，则四边形BCED是菱形．作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A—EC—B的平面角，设为θ．因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°，BF=2sin60°=√3，tanθ==2．sinθ=.则所求二面角的正弦值为知识点解析：暂无解析设椭圆C1：=1(a＞b＞0)，抛物线C2：x2+by=b2．19、若C2经过C1的两个焦点，求C1，的离心率；标准答案：因为抛物线C2经过椭圆C1的两个焦点F1(－c，0)，F2(c，0)，可得c=b2，由a2=b2+c2=2c2，有，所以椭圆C1的离心率e=知识点解析：暂无解析20、设A(0，b)，Q(3√3，b)，又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为B(0，b)，且△QMN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程．标准答案：由题设可知M，N，关于y轴对称，设M(－x1，y1)，N(x1，y1)，(x1＞0)，则由△AMN，的垂心为B，有=0，所以－x12+(y1－b)(y1－b)=0①，由于点N(x1，y1)在C2上，故有x12+by1=b2②，由①②得y1=－或y1=b(舍去)，所以x1=，故，所以△QMN的重心为,因重心在C2上得3+=b2，所以b=2，M(－√5，－)，N(√5，－)，又因为M，N，在C1上，所以=1，得a2=．所以椭圆C1的方程为=1，抛物线C2的方程为x2+2y=4．知识点解析：暂无解析圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成－个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)，双曲线C1：=1过点P且离心率为√3.21、求C1的方程；标准答案：设切点P(x0，y0)，(x0＞0，y0＞0)，则切线的斜率为－，可得切线的方程为y—y0=－(x－x0)，化为x0x+y0y=4．令x=0，可得y=；令y=0，可得x=．∴切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成－个三角形的面积S=．∵4=x02+y02≥2x0y0，当且仅当x0=y0=√2时取等号．∴S≥=4．此时P(√2，√2)．由题意可得，解得a2=1，b2=2.故双曲线C1的方程为x2－=1．知识点解析：暂无解析22、若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．标准答案：由(Ⅰ)可知双曲线C1的焦点(±√3，0)，即为椭圆C2的焦点．可设椭圆C2的方程为=(b1＞0)．把P(√2，√2)代入可得=1，解得b22=3，因此椭圆C2的方程为=1．由题意可设直线l的方程为x=my+√3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，化为(m2+2)y2+2√3my－3=0，∴y1+y2=－．x1+x2=m(y1+y2)+2√3=，y1y2=∴x1x2=m2y1y2+√3m(y1+y2)+3==(√2－x1，√2－y1)，=(√2－x2，√2－y2)，∵=0，∴x1x2－√2(x1+x2)+y1y2－√2(y1+y2)+4=0，∴2m2－2√6m+4√6－11=0，解得m=－1或m=－(－1)，因此直线l的方程为：x－－1)y－√3=0或x+(－1)y－√3=0．知识点解析：暂无解析将圆x2+y2=1上每－点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．23、写出C的参数方程；标准答案：在曲线C上任意取一点(x，y)，由题意可得点(x，)在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为(0≤θ＜2π，θ为参数)．知识点解析：暂无解析24、设直线l：2x+y－2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．标准答案：由，不妨设P1(1，0)、P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为(，1)，再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y－1=，即x－2y+=0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα－2ρsinα+=0，即ρ=知识点解析：暂无解析设F1．F2，分别是椭圆E：=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|．25、若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；标准答案：由|AF1|=3|F1B|，|AB|=4，得：|AF1|=3，|F1B|=1因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a=16，|AF1|+|AF2|=2a=8故|AF2|=2a－|AF1|=8—3=5．知识点解析：暂无解析26、若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率．标准答案：设|F1B|=k，则k＞0且|AF1|=3k，|AB|=4k，由椭圆定义可得|AF2|=2a－3k，|BF2|=2a－k在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，即(4k)2=(2a－3k)2－(2a－k)2·(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a+k)·(a－3k)=0，而(a+k)＞0，故a－3k=0于是有|AF2|=3k=|AF1|，|BF2|=5k因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形，从而c=a，所以椭圆的离心率e=知识点解析：暂无解析设F1，F2分别是椭圆C：=1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上－点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另－个交点为N．27、若直线MN的斜率为，求C的离心率；标准答案：根据c=以及题设知M(c，)，2b2=3ac，将b2=a2－c2代入2b2=3ac，解得,=－2(舍去)故C的离心率为.知识点解析：暂无解析28、若直线MN，在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．标准答案：由题意，原点O是F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D是线段MF1的中点，故=4，即b2=4a①，由|MN|=5|F1N|得|DF1|=|F1N|设N(x，y)，由题意可知y＜0，则，代入方程C，得=1②，将①以及c=代入②得到=1解得a=7，b2=4a=28，故a=7，b=2√7．知识点解析：暂无解析如图，设椭圆C：=1(a＞b＞0)，动直线l与椭圆C只有－个公共点P，且点P在第－象限．29、已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标;标准答案：设直线l的方程为y=kx+m(k＜0)，由消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2－a2b2=0．由于直线l与椭圆C只有－个公共点P，故Δ=0，即b2－m2+a2k2=0，解得点P的坐标为，又因为点P在第－象限，故点P的坐标为P,知识点解析：暂无解析30、若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b．标准答案：由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离d=，整理得：d=．因为a2k2+≥2ab，所以=a－b，当且仅当k2=时等号成立．所以点P到直线l1的距离的最大值为a—b．知识点解析：暂无解析教师公开招聘考试小学数学（计算题）模拟试卷第4套一、计算题(本题共31题，每题1.0分，共31分。)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．1、求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；标准答案：设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)=∵事件A与B相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)=P(A)·P()=P(A)．[1－P(B)]=知识点解析：暂无解析2、X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．标准答案：设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)=，∵X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P(X=0)=．P(X=1)=PP(X=2)=PP(X=3)=P(ABC)=∴X的分布列为∴X的数学期望EX=0×知识点解析：暂无解析已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8．3、求动圆圆心的轨迹C的方程；标准答案：如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|=|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点．∴|O1M|=，又∵|O1A|=，化简得y2=8x(x≠0)．又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程y2=8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x．知识点解析：暂无解析4、已知点B(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．标准答案：由题意，设直线z的方程为y=kz+6(K≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y=kx+b代入y2=8x中，得k2x22+(2bk－8)x+b2=0，其中△=－32kb+64＞0．由求根公式得，x1+x2=①，x1x2=②，因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以，即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0，(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0，2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0③，将①②代入③得2kb2+(k+b)(8—2bk)+2k2b=0，∴k=－b，此时△＞0，∴直线l的方程为y=k(x－1)，即直线l过定点(1，0)．知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=ex，x∈R．5、若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k的值；标准答案：f(x)的反函数为g(x)=lnx．设直线y=kx+1与g(x)=lnx的图象在P(x0，y0)处相切，则有y0=kx0+1=lnx0，k=g＇(x0)=，解得x0=e2，k=.知识点解析：暂无解析6、设x＞0，讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m＞0)公共点的个数；标准答案：曲线y=ex与y=mx2的公共点个数等于曲线y=与y=m的公共点个数．令φ(x)=，则φ＇(x)=．∴φ＇(2)=0．当x∈(0，2)时，φ＇(x)＜0，φ(x)在(0，2)上单调递减；当x∈(2，+∞)时，φ＇(x)＞0，φ(x)在(2，+∞)上单调递增，∴φ(x)在(0，+∞)上的最小值为φ(2)=．当0＜m＜时，曲线y=与y=m无公共点；当m=时，曲线y=与y=m恰有－个公共点；当m＞时，在区间(0，2)内存在x=，使得φ(x1)＞m，在(2,+∞)内存在x2=me2，使得φ(x2)＞m．由φ(x)的单调性知，曲线y=与y=m在(0，+∞)上恰有两个公共点．综上所述，当x＞0时，若0＜m＜，曲线y=f(x)与y=mx2没有公共点；若m=，曲线y=f(x)与y=mx2有－个公共点；若m＞，曲线y=f(x)与y=mx2有两个公共点．知识点解析：暂无解析7、设a＜b，比较的大小，并说明理由．标准答案：解法－：可以证明．事实上，(b＞a)(*)．令φ(x)=(x≥0)，则φ＇(x)=≥0(仅当x=0时等号成立)，∴φ(x)在[0，+∞)上单调递增，∴x＞0时，φ(x)＞φ(0)=0．令x=b－a，即得(*)式，结论得证．解法二：[(b－a)eb-a+(b－a)－2eb-a+2]，设函数u(x)=xex+x－2ex+2(x≥0)，则u＇(x)=ex+xex+1—2ex，令h(x)=u＇(x)，则h＇(x)=ex+ex+xex－2ex=xex≥0(仅当x=0时等号成立)．∴u＇(x)单调递增，∴当x＞0时，u＇(x)＞u＇(0)=0．∴u(x)单调递增．当x＞0时，u(x)＞u(0)=0．令x=b－a，则得(b－(x)eb-a+(b－a)－2eb-a+2＞0，∴知识点解析：暂无解析某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．8、从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；标准答案：所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12．从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C31C121=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为知识点解析：暂无解析9、从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．标准答案：先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．因为P(Y=51)=P(X=1)，P(Y=48)=P(X=2)，P(Y=45)=P(X=3)，P(Y=42)=P(X=4)，所以只需求出P(X=k)(k=1，2，3，4)即可．记nk为其“相近”作物恰有尼株的作物株数(k=1，2，3，4)，则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3．由P(X一k)=P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，P(X=4)=故所求的分布列为所求的数学期望为E(Y)=5l×=46.知识点解析：暂无解析已知a＞0，函数f(x)=10、记f(x)在区间[0，4]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式；标准答案：当0≤x≤a时，f(x)=；当x＞a时，f(x)=因此，当：x∈(0，a)时，f＇(x)=＜0，f(x)在(0，a)上单调递减；当x∈(a，+∞)时，f＇(x)=＞0，f(x)在(a，+∞)上单调递增．①若a≥4，则f(x)在(0，4)上单调递减，g(a)=f(0)=②若0＜a＜4，则f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，4)上单调递增．所以g(a)=max{f(0)，f(4))．而f(0)一f(4)=，故当0＜a≤1时，g(a)=f(4)=；当1＜a＜4时，g(a)=f(0)=．综上所述，g(a)=知识点解析：暂无解析11、是否存在a，使函数y=f(x)在区间(0，4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．标准答案：由(Ⅰ)知，当a≥4时，f(x)在(0，4)上单调递减，故不满足要求．当0＜a＜4时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，4)上单调递增．若存在x1，x2∈(0，4)(x1＜x2)，使曲线y=f(x)在(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点处的切线互相垂直，则x1∈(0，a)，x2∈(a，4)，且f＇(x1)·f＇(x2)=－1，即=－1．亦即x1+2a=(*)．由x1∈(0，a)，x2∈(a，4)得x1+2a∈(2a，3a)，.故(*)成立等价于集合A={x|2a＜x＜3以)与集合B=的交集非空．因为＜3a，所以当且仅当0＜2a＜1，即0＜a＜时，A∩B≠．综上所述，存在a使函数f(x)在区间(0，4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是(0，).知识点解析：暂无解析过抛物线E：x2=2py(p＞0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l．12、若k1＞0，k2＞0，证明：＜2p2；标准答案：由题意，抛物线E的焦点为F，直线l1的方程为y=k1x+得x2－2pk1x—P2=0．设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1+x2=2pk1，y1+y2=k1(x1+x2)+p－2pk12+p.所以点M的坐标为(pk1，pk12+)，=(pk1，pk12)·同理可得点N的坐标为(pk2，pk22+),=(pk2，pk22)．于是=P2(k1k2+k2k22)．由题设，k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜k1k1＜=1．故＜p2(1+12)=2p2．知识点解析：暂无解析13、若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．标准答案：由抛物线的定义得|FA|=y1+，|FB|=y2+，所以|AB|=y1+y2+P=2pk12+2p．从而圆M的半径r1=pk12+p，故圆M的方程为(x—pk1)2+(y－pk2－)2=(pk12+p)2．化简得x2+y2－2pk1x—p(2k12+1)y－p2=0．同理可得圆N的方程为x2+y2－2pk2x—P(2k22+1)y－p2=0．于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2－k1)x+(k22－k12)y=0．又k2－k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．因为P＞0，所以点M到直线l的距离d=故当k1=－时，d取最小值由题设，，解得p=8．故所求的抛物线E的方程为x2=16y．知识点解析：暂无解析设f(x)=，其中a为正实数．14、当a=时，求f(x)的极值点；标准答案：对f(x)求导得f＇(x)=ex①当a=时，若f＇(x)=0，则4x2－8x+3=0，解得x1=，x2=,结合①，可知所以，x1=是极小值点，x2=是极大值点．知识点解析：暂无解析15、若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．标准答案：若f(x)为R上的单调函数，则f＇(x)在R上不变号，结合①与条件a＞0，知ax2－2ax+1≥0，在R上恒成立，因此△=4a2－4a=4a(a－1)≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1．知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=xe-x(x∈R)．16、求函数f(x)的单调区间和极值；标准答案：f＇(x)=(1－x)e-x．令f＇(x)=0，解得x=1．当x变化时，f＇(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(一∞，1)内是增函数，在(1，+∞)内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)，且f(1)=知识点解析：暂无解析17、已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x＞1时，f(x)＞g(x)．标准答案：由题意可知g(x)=f(2－x)，得g(x)=(2－x)ex-2．令F(x)=f(x)－g(x)，即F(x)=xe-x+(x－2)ex-2．于是F＇(x)=(x－1)(e2x-2－1)e-x．当x＞1时，2x－2＞0，从而e2x-2－1＞0．又因为e-x＞0，所以F＇(x)＞0，从而函数F(x)在[1，+∞)上是增函数．又F(1)=e-1－e-1=0，所以x＞1时，有F(x)＞F(1)=0，即f(x)＞g(x)．知识点解析：暂无解析已知函数f(x)=(a+1)1nx+ax2+1．18、讨论函数f(x)的单调性；标准答案：f(x)的定义域为(0，+∞)，f＇(x)=.当a≥0时，f＇(x)＞0，故f(x)在(0，+∞)单调递增；当a≤－1时，f＇(x)＜0，故f(x)在(0，+∞)单调递减；当－1＜a＜0时，令f＇(x)=0，解得x=．则当x∈(0，时，f＇(x)＞0，x∈(，+∞)时，f＇(x)＜0，故f(x)在(0，)单调递增，在(，+∞)单调递减．知识点解析：暂无解析19、设a＜－1．如果对任意x1，x2∈(0，+∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|，求a的取值范围．标准答案：不妨假设x1≥x2．而a＜－1，由(Ⅰ)知f(x)在(0，+∞)单调递减，从而x1，x2∈(0，+∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|，等价于x1，x2∈(0，+∞)，f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1①．令g(x)=f(x)+4x，则g＇(x)=+2ax+4．等价于g(x)在(0，+∞)单调递减，即+2ax+4≤0．从而a≤－2．故a的取值范围为(－∞，－2]．知识点解析：暂无解析在五面体ABCDEF中，AB∥DC，∠BAD=，CD=AD=2，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，FC=3，ED=√7．20、求直线AB到平面EFCD的距离；标准答案：因为AB∥DC，DC平面EFCD，所以直线AB到平面EFCD的距离等于点A到平面EFCD的距离，如右图，过点A作AG⊥FD于G，因∠BAD=，AB∥DC，故CD⊥AD；又因为FA⊥平面ABCD，由三垂线定理知CD⊥FD，故CD⊥平面FAD，知CD⊥AG，故AG为所求的直线AB到平面EFCD的距离．在Rt△FDC中，FD=，由FA上平面ABCD，得FA⊥AD，从而在Rt△FAD中，FA==1，所以AG=.知识点解析：暂无解析21、二面角F—AD—E的平面角的正切值．标准答案：由已知FA上平面ABCD，得FA上AD，又由∠BAD=，知AD⊥AB，故AD⊥平面ABFE，从而AD⊥AE．所以∠FAE为二面角F—AD—E的平面角，记为θ，在Rt△EAD中，AE=由四边形ABFE为平行四边形，得FE∥BA，从而∠EFA=，在Rt△EFA中，EF=故tanθ==√2．知识点解析：暂无解析22、设a∈R，f(x)=cosx(asinx—cosx)+cos2(－x)满足f(－)=f(0)，求函数f(x)在上的最大值和最小值．标准答案：f(x)=asinxcosx—cos2x+sin2x=sin2x—cos2x．由f(－)=f(0)得－=－1，解得a=2√3．因此f(x)=√3sin2x—cos2x=2sin(2x－)．当x∈时，2x－，f(x)为增函数，当x∈时，2x－,f(x)为减函数，所以f(x)在上的最大值为f()=2．又因为,故f(x)在上的最小值为知识点解析：暂无解析如图正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°．23、求证：EF⊥平面BCE；标准答案：因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF，所以BC⊥EF．因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以∠AEB=45°．又因为∠AEF=45°，所以∠FEB=45°+45°=90°，即EF⊥BE．因为BC平面BCE，BE平面BCE．BC∩BE=B，所以EF⊥平面BCE．知识点解析：暂无解析24、设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE；标准答案：取BE的中点N，连结CN，MN，则MNPC．所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN．因为CN在平面BCE内，PM不在平面B