福建省漳州市长泰第一中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（解析版）

2023-2024学年下学期期中检测八年级数学（满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填写）1.下列数学符号图形中，是中心对称图形是（）A.＝ B.∠ C.≌ D.⊥【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合；由此问题可求解．解：A.是中心对称图形，符合题意；B.不是中心对称图形，不符合题意；C.不是中心对称图形，不符合题意；D.不是中心对称图形，不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．2.5月某日，我市最高气温是，最低气温是，则当天气温t（）的变化范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据最高气温、最低气温，可得答案．解：最高气温是，最低气温是，得．故选：D．【点睛】本题考查了不等式的定义，利用不等号连接的式子是不等式．3.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解．根据因式分解的定义逐个判断即可．解：A．等式左右两边是单项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．等式从左到右的变形，右边不是乘积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．等式从左到右变形属于因式分解，故本选项符合题意；D．等式从左到右的变形是多项式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：C．4.若，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质，根据不等式的性质逐个判断即可．解：A、∵，∴，故本选项不符合题意；B、∵，∴，故本选项不符合题意；C、∵，∴，故本选项符合题意；D、∵，∴，故本选项不符合题意．故选：C．5.将长度为的线段向右平移后，所得线段的长是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平移的全等性质，判定平移后线段的长度依然是，解答即可．本题考查了平移的性质，熟练掌握性质是解题的关键．解：根据平移的全等性质，判定平移后线段的长度依然是，故选B．6.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设三角形的三个内角（，，）中有两个直角，不妨设．正确顺序的序号为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了反证法，根据反证法的步骤即可判断，先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立，正确理解反证法的步骤是解题的关键．解：反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立，所以，正确的步骤是假设三角形的三个内角（，，）中有两个直角，不妨设；，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；正确顺序的序号为：，故选：．7.能被（）整除．A.2020 B.2022 C.2024 D.2026【答案】C【解析】【分析】根据题意，得，判定能被2023和2024年整除，解答即可．本题考查了因式分解的应用，正确利用提取公因式分解是解题的关键．解：根据题意，得，故能被2023和2024年整除，故选C．8.三角形内有一点，它到三角形三条边的距离都相等，同时这一点与三角形三个顶点的距离也都相等，则这个三角形是（）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．由三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，可得此点是三角形的角平分线的交点，也是三边的垂直平分线的交点，继而可判定这个三角形一定是等边三角形．解：∵三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，∴此点是三角形的角平分线的交点，也是三边的垂直平分线的交点，∵这个三角形一定是等边三角形．故选：C．9.已知不等式的解集是，下列有可能是一次函数的图象的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式的关系，将不等式问题转化为图象求解是解题关键．由不等式解集是可得直线与x轴交点为且y随x增大而增大即可解答．解：∵不等式的解集是，∴直线与x轴交点为且y随x增大而增大，即A选项符合题意．故选：A．10.在中，，以C为圆心，适当长为半径画弧交于D，E两点，分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧交于M点，作射线交于K点．以K为圆心，为半径画弧交射线于H点，分别以C，H为圆心，大于为半径画弧交于N，L，作直线交于G，则下列说法一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查角平分线的意义和线段垂直平分线的判定与性质，利用基本作图得到平分，是线段的垂直平分线，得到与不垂直，故选项A错误；由于，得，故可判断选项B错误；根据直角三角形两锐角互余可判断C正确；无法判断，故可判断D错误解：由作图得到平分，是线段的垂直平分线，∴与不垂直，∴，故选项A错误，不符合题意；∵无法得到，∴故选项B错误，不符合题意；∵∴又∴∵∴，故选项C正确，符合题意；∵无法得到∴故选项D错误，不符合题意；故选：C二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡的相应位置填写）11.如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是________．（不添加字母和辅助线）【答案】AB=DC或AC=DB【解析】【分析】:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．根据定义添加条件即可．∵：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等又∵,∴再添加：或即可证明故答案为：或【点睛】本题考查证明直角三角形全等的方法，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解题关键．12.如图，等边三角形中，，垂足为D，点E在线段上，，则_____°．【答案】45【解析】【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、垂直平分线的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质是解本题的关键．先根据等边三角形的性质可得、，再根据角的和差可得，再判断出是的垂直平分线可得，最后根据等腰三角形的性质即可解答．解：∵等边三角形中，，∴，，即：是的垂直平分线，∵，∴，∵点E在线段上，∴，∴．故答案为：45．13.某校组织开展了“读书立志，强国有我”的知识竞赛，共25道竞赛题，规定答对一题得4分，答错或不答一道题扣1分，得分不低于80分获奖，那么同学们要获奖至少应答对_______道题．【答案】21【解析】【分析】设同学们至少要答对x道题，根据题意，得，解答即可．本题考查了不等式的应用，正确列出不等式是解题的关键．设同学们至少要答对x道题，根据题意，得，解得．故答案为：21．14.如图，在中，是腰上的高，则_____．【答案】1【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及含角的直角三角形的性质等知识，由等腰三角形的性质得，再由三角形外角的性质得，然后由含角的直角三角形的性质可得的长．解：∵，∴，∴，∵是腰上的高，∴，∴，∴，故答案为：1．15.若，则值是_____．【答案】0【解析】【分析】本题主要考查了运用提公因式分解因式以及已知式子的值求代数式的值，先将式子提公因式化简为，然后把代入计算即可．解：，∵∴原式16.关于的不等式组，现有以下结论：若，则是不等式组的解；若不等式组只有个整数解，则；若不等式组有解，则；若不等式组所有整数解的和为，则．其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据各小题的结论解答即可，理解一元一次不等式组的解集的概念是解题的关键．解：由得，若时，不等式组的解集为，∴是不等式组的解，故正确；∵不等式组只有个整数解，∴，解得：，故正确；若不等式组有解，则，∴，故正确；∵不等式组所有整数解的和为，∴或，解得：或，故不正确；故答案为：．三、解答题（共9题，满分86分，请在答题卡的相应位置解答）17.解不等式组，将解集表示在数轴上，并写出它的所有正整数解．【答案】，所有正整数解为：1，2，3，数轴见解析【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可．解：，解不等式①得，，解不等式②得，，∴原不等式组的解集为．这个不等式组的解集在数轴上表示如图：∴不等式组的所有正整数解为：1，2，3．18.如图，点是正方形的边上一点，，，逆时针旋转后能够与重合．

（1）旋转中心是点_____．旋转角的度数为_____．（2）请你判断的形状，并说明理由．【答案】（1），；（2）等腰直角三角形，理由见解析．【解析】【分析】（）确定旋转中心及旋转角度，首先确定哪是对应点，即可确定旋转中心以及旋转角；（）根据旋转的性质，可以得到旋转前后的两个图形全等，以及旋转角的定义即可作出判断；本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【小问1】∵四边形是正方形，∴，根据题意可得：旋转中心是点，旋转角，故答案为：，；【小问2】的形状是等腰直角三角形，理由：根据旋转的性质可得：，∴，∴，∴是等腰直角三角形．19.定理证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．（要求：根据图形，写出求证，并给出证明）已知：如图，是直角三角形，；求证：__________．证明：【答案】，证明见解析【解析】【分析】本题考查含30度角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，如图，延长到D，使，连接，则，判定是等边三角形，得到，即可证明求证：．证明：如图，延长到D，使，连接，∵．∴．∵，∴．∴．∴是等边三角形．∴．20.如图，在中，平分．（1）直接写出的度数；（2）找出图中所有等腰三角形（除外），并选其中一个给予证明．【答案】（1）（2）是等腰三角形，说明是等腰三角形，证明见解析【解析】【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质：（1）由已知条件结合等腰三角形的性质及三角形内角和进行求解；（2）根据等腰三角形的判定，是中的平分线．可求出各个角的大小再进行判断；【小问1】解：∵，∴；【小问2】解：是等腰三角形．说明是等腰三角形，理由：由（1）得：，又∵是的平分线，∴，又∵，∴，∴，即是等腰三角形．说明是等腰三角形，理由：∵，∴又∵是的平分线，∴，∴，∴，∴，即是等腰三角形．21.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，点A的坐标是（3，4），点A1的坐标是（－2，2），现将△ABC平移，使点A平移到A1，点B，C的对应点分别是B1，C1．（1）请画出平移后的△A1B1C1（不写画法），并直接写出点B1，C1的坐标；（2）若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P1的坐标为（）．【答案】（1）B1（－4，1），C1（－1，－1），图详见解析，；（2）（2）P1（a－5，b－2）．【解析】【分析】（1）根据点A、点A1的坐标，可得△ABC的平移方式，按照这个平移过程分别平移点B、C即可；（2）点P同样按照点A的平移方式平移即可．解：（1）点A(3，4)平移到点A1(－2，2）则平移过程为：向左平移5个单位，向下平移2个单位图形如下：B1（－4，1），C1（－1，－1）．（2）同样，点P向左平移5个单位，向下平移2个单位得：P1（a－5，b－2）．【点睛】本题考查点的平移，注意向左、右平移对应横坐标的减、加，向上、下平移，对应纵坐标的加、减．22.甲、乙两家商店以同样的价格出售品质相同的枇杷，枇杷单价均是且包邮．在直播带货活动中，甲商店的优惠方案是一律打九折；乙商店的优惠方案如表：一次性购买质量优惠方案不优惠超过的部分打七五折设购买枇杷（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买枇杷的费用．（1）直接写出关于x的函数表达式；（2）请你帮助顾客设计一个购买方案，选择哪家商店更合算？【答案】（1）；（2）当时，到甲商店购买更合算；当时，到甲乙两家商店购买费用相同；当时，到乙商店购买更合算合算．【解析】【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求出函数表达式以及分类讨论思想成为解题的关键（1）根据优惠方案分别列出函数表达式即可；（2）分、、、四种情况，分别判断出和之间的大小关系，即可得到购买方案．【小问1】解：根据题意得：；当时，，当时，，综上，y乙【小问2】解：①当，，，即，∴选择甲商店更合算；由，解得，②当时，到甲商店购买更合算；③当时，到甲乙两家商店购买费用相同；④当时，到乙商店购买更合算．综上，当时，到甲商店购买更合算；当时，到甲乙两家商店购买费用相同；当时，到乙商店购买更合算．23.如图，在中，．（1）在边上求作一点P，使点P到边的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）3【解析】【分析】（1）根据题意作的角平分线即可；（2）根据（1）中作图过程得出，利用勾股定理得出，再由全等三角形的判定和性质得出，设，则，，利用勾股定理求解即可得出结果．【小问1】解：如图所示，点P就是所求作的点．【小问2】作于点D，由尺规作图可知，是的平分线，，．．设，在和中，．．．则，．在中，由勾股定理，得，即，解得．．【点睛】题目主要考查角平分线的作法及性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．24.某公司为庆祝第73个“五一”劳动节的到来，采购员计划向商家定制甲、乙两种水果礼盒共80个以慰问员工，其中甲、乙两种礼盒的单价分别为200元/个和350元/个，且两种礼盒的购买总金额不超过19000元．（1）问甲种礼盒最少可以购买多少个？（2）因该公司购买礼盒数量较多，经协商商家拟对该公司所够买的甲礼盒给予优惠a（）元，已知甲、乙礼盒的成本分别为120元/个和290元/个，请求出商家获得的最大利润．【答案】（1）甲种礼盒最少可以购买60个（2）利润最大为4500元【解析】【分析】对于（1），先设购买甲种礼盒x个，则购买乙种礼盒的个数，根据题意列出不等式，求出解集即可；对于（2），设商家获得的利润为y元，根据题意列出一次函数，再讨论得出答案.【小问1】解：设购买甲种礼盒x个，则购买乙种礼盒个．根据题意，得．解得．甲种礼盒最少可以购买60个．【小问2】解：设商家获得的利润为y元，根据题意，得．，，随x的增大而减小，，当时，y的最大值为．，当时，，利润最大为4500元．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，求一次函数的极值等，根据等量关系（不等关系）列出关系式（不等式）是解题的关键．25.已知．（1）如图1，点D在上（点D不与点B，C重合），且，连