浙江省杭州市2023-2024学年高三上学期期末数学试题

20232024学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.【详解】由可得：，解得：，由可得，即，即，解得：或，故，，所以.故选：D.2.已知复数满足（为虚数单位），且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，结合共轭复数的定义和复数的模公式求出即可.【详解】设，，则，因为，则，又，则，解得或，所以或，所以或，故选：B.3.已知随机变量，分别满足二项分布，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由二项分布的方差公式求出，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】因为，，所以，所以，则，若，则.所以“”是“”的充要条件.故选：C.4.若，则的最小值是（）A. B.6 C. D.9【答案】A【解析】【分析】由，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为，可得，且，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值是.故选：A.5.冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：）（）A.3小时 B.4小时 C.5小时 D.6小时【答案】C【解析】【分析】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要分钟，则，两边同时取对数得，结合对数的运算性质求解即可.【详解】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要分钟，则，两边同时取对数得，，所以，所以大约需要小时.故选：C.6.已知定义在上的函数满足，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，，求导得到其单调性，从而得到，化简后得到答案.【详解】令，，故恒成立，故在上单调递增，故，即.故选：B7.已知数列，满足，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据递推关系，归纳出数列的奇数项与偶数项分别为公比为的等比数列，进而可得数列的通项公式.【详解】因为，，则，又，则，所以数列的奇数项与偶数项分别为公比为的等比数列，由可得，则数列的各项为，其中奇数项的通项公式为，偶数项的通项公式为，所以数列的通项公式为.故选：D8.已知四面体，是边长为6的正三角形，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】画出图形，找出外接球球心的位置，利用以及图形几何关系表示出相应的线段长度，结合勾股定理列方程求出外接球半径即可得解.【详解】如图，取中点，连接，因为是边长为6的正三角形，，则由三线合一可知，所以二面角的平面角为，取三角形的外心，设外接球的球心为，则平面，且，其中为四面体外接球的半径，过点作垂直平面，垂足为点，由对称性可知点必定落在的延长线上面，由几何关系，设，而由正弦定理边角互换得，进而，由勾股定理得，从而，，所以，，所以由得，，解得，所以四面体的外接球的表面积为.故选：B.【点睛】关键点点睛：关键是合理转换二面角的大小为，并求出外接球半径，由此即可顺利得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知平面向量，，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】A.由共线向量定理求解判断；B.利用向量的数量积运算求解判断；C.利用向量的模公式求解判断；D.由向量的夹角公式求解判断.【详解】A.若，则，解得，故正确；B若，则，解得，故正确；C.若，或，故错误；D.若，则，解得，故正确，故选：ABD10.已知四棱柱的底面为菱形，且，，，为的中点，为线段上的动点，则下列命题正确的是（）A.可作为一组空间向量的基底B.可作为一组空间向量的基底C.直线平面D.向量在平面上的投影向量为【答案】BCD【解析】【分析】选项A，找到，容易判断共面，从而做出判断即可；选项B，先找到含有两个向量的平面，判断与平面的关系即可；选项C，证明平面平面即可；选项D，证明垂直平面即可.【详解】如图所示，四棱柱，对于选项A，，三个向量都在平面，即三个向量共面，则也共面，不可作为一组空间向量的基底，选项A错误；对于选项B，两个向量都在平面，显然直线与平面是相交关系，不与平面平行，故三个向量不共面，可作为一组空间向量的基底，选项B正确；对于选项C，由于，，易得平面，平面，从而有平面平面，且平面，所以直线平面，选项C正确；对于选项D，取作为一组空间向量的基底，，，，其中，因为底面为菱形，且，，，得，，所以，即，，其中，显然，，所以，即，，因为，，且平面，平面，，所以平面，所以向量在平面上的投影向量为，选项D正确；故选：BCD.11.已知函数，，则（）A.将函数的图象右移个单位可得到函数的图象B.将函数的图象右移个单位可得到函数的图象C.函数与的图象关于直线对称D.函数与的图象关于点对称【答案】ACD【解析】【分析】由三角函数的平移变换可判断A，B；由可判断C；由可判断D.【详解】因为，将函数的图象右移个单位可得到，将函数的图象右移个单位可得到，故A正确，B错误；由A选项可知，，所以函数与的图象关于直线对称，故C正确；若函数与的图象关于点对称，则在上取点关于的对称点必在上，所以，所以，故D正确.故选：ACD.12.（多选）已知数据，若去掉后剩余6个数的平均数比7个数的平均数大，记，，，的平均数与方差为，，记，，，的平均数与方差为，，则（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据平均数的大小列出不等式变形即可判断AB，根据方差公式作差后变形，利用，即可判断CD.【详解】因为，所以，所以，所以，故A正确，B错误；，故C正确，D错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线的倾斜角是___________.【答案】0【解析】【分析】根据斜率得到倾斜角.【详解】的斜率为0，设倾斜角为，则，解得，故倾斜角0故答案为：014.已知二项式的展开式中含的项的系数为84，则___________.【答案】【解析】【分析】应用二项展开式的通项公式求解即可.【详解】二项式中含的项为：，该项的系数为，由于该项的系数为84，得方程，即，解得或（舍去），故答案为：.15.位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高为___________米.（结果保留整数，参考数据：）【答案】310【解析】【分析】设米，进而可得，在中由正弦定理求出，求解即可得出答案.【详解】设米，因为在点C测得塔顶A的仰角为80°，所以，在中，，所以，在中，因为，，所以，由正弦定理得，所以，则，所以米.故答案为：310.16.已知点P是双曲线C：与圆在第一象限的公共点，若点P关于双曲线C其中一条渐近线的对称点恰好在y轴负半轴上，则双曲线C的离心率___________.【答案】【解析】【分析】根据题意，联立双曲线与圆的方程，求得点的坐标，再求得其对称点的坐标，再由，化简即可得到的关系，再由离心率公式，即可得到结果.【详解】联立，取，解得，即，设点P关于双曲线C的渐近线的对称点为，则恰好在轴负半轴上，且，所以，由点与点关于渐近线对称，所以直线的斜率为，所以，即，化简可得，所以.故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，角C为锐角，已知的面积为.（1）求c；（2）若为上的中线，求的余弦值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式和余弦定理求解即可；（2）因为为上的中线，所以，对其两边同时平方可求出，再由余弦定理求解即可.【小问1详解】由的面积为可得：，因为，，解得：得，由角为锐角得，故，解得.【小问2详解】因为为上的中线，所以，所以，，解得：.故.18.已知为公差为2的等差数列的前项和，若数列为等差数列.（1）求；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由等差中项的性质可得，再由等差数列的通项公式和前项和公式代入化简可求得，即可求出答案；（2）由（1）得，则，再由等比数列的前项和公式和分组求和法求解即可.【小问1详解】因为数列为等差数列，所以，因为为公差为2的等差数列的前项和，则，解得.故.【小问2详解】由（1）得，故，故数列的前项和为.19.已知直三棱柱，，，D，E分别为线段，上的点，.（1）证明：平面平面；（2）若点到平面的距离为，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）建系，分别求出平面和平面法向量，利用两法向量垂直，两面垂直即可证明；（2）设出点坐标，由已知点面距离利用向量法解出点坐标，再代入线面角的向量公式求出即可.【小问1详解】证明：在直三棱柱中，，平面，所以以为原点，，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点，，，，，则，，，设，则，设平面和平面的法向量分别为，则，取，则；，取，则，因为，所以平面平面.【小问2详解】设点，由，得平面的法向量，由得点到平面的距离，解得，由，得，直线与平面所成的角的正弦值为.20.已知点，为椭圆C：的左，右焦点，椭圆C上的点P，Q满足，且P，Q在x轴上方，直线，交于点G.已知直线的斜率为.（1）当时，求值；（2）记，的面积分别为，，求的最大值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由椭圆的性质可得，再利用弦长公式求解即可；（2）利用已知条件将表示出来，在利用基本不等式即可求解.【小问1详解】设直线与椭圆的另一个交点为，由椭圆的对称性得，关于原点对称.设点，.因为C：中，所以，所以当时，直线的方程为：，联立直线与椭圆的方程得，所以，所以，所以.【小问2详解】由题可设直线的方程为：，联立直线与椭圆得：，所以，，，所以当即时等号成立，取到最大值.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的面积问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于y的一元二次方程的形式,得到韦达定理；②表示出的面积，将韦达定理代入，再借助基本不等式即可求出面积的最大值.21.我国有天气谚语“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”，说的是如果中秋节有降水，则来年的元宵节亦会有降水.某同学想验证该谚语的正确性，统计了40地5年共200组中秋节与来年元宵节的降水状况，整理如下：中秋天气元宵天气合计降水无降水降水194160无降水5090140合计69131200（1）依据的独立性检验，能否认为元宵节的降水与前一年的中秋节降水有关？（2）从以上200组数据中随机选择2组，记随机事件A为二组数据中中秋节的降水状况为一降水一无降水，记随机事件B为二组数据中元宵节的降水状况为一降水一无降水，求.参考公式与数据：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）无关（2）【解析】【分析】（1）计算的值，与临界值比较得出结论；（2）利用条件概率公式求解.【小问1详解】零假设为：元宵节的降水与中秋节的降水无关.，因为，所以没有充分证据推断不成立，故元宵节的降水与中秋节的降水无关.【小问2详解】中秋节的降水状况为一降水一无降水概率为，中秋节、元宵节的降水状况均为一降水一无降水概率为，故.22.定义满足的实数为函数的然点.已知.（1）证明：对于，函数必有然点；（2）设为函