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文档简介
20232024学年浙江省杭州市高三(上)期末数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合,再由交集的定义求解即可.【详解】由可得:,解得:,由可得,即,即,解得:或,故,,所以.故选:D.2.已知复数满足(为虚数单位),且,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设,结合共轭复数的定义和复数的模公式求出即可.【详解】设,,则,因为,则,又,则,解得或,所以或,所以或,故选:B.3.已知随机变量,分别满足二项分布,,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由二项分布的方差公式求出,再由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】因为,,所以,所以,则,若,则.所以“”是“”的充要条件.故选:C.4.若,则的最小值是()A. B.6 C. D.9【答案】A【解析】【分析】由,得到,结合基本不等式,即可求解.【详解】因为,可得,且,则,当且仅当时,即时,等号成立,所以的最小值是.故选:A.5.冬季是流行病的高发季节,大部分流行病是由病毒或细菌引起的,已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖,在适宜的条件下分裂一次(1个变为2个)需要23分钟,那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要(参考数据:)()A.3小时 B.4小时 C.5小时 D.6小时【答案】C【解析】【分析】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要分钟,则,两边同时取对数得,结合对数的运算性质求解即可.【详解】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要分钟,则,两边同时取对数得,,所以,所以大约需要小时.故选:C.6.已知定义在上的函数满足,则()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数,,求导得到其单调性,从而得到,化简后得到答案.【详解】令,,故恒成立,故在上单调递增,故,即.故选:B7.已知数列,满足,,,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据递推关系,归纳出数列的奇数项与偶数项分别为公比为的等比数列,进而可得数列的通项公式.【详解】因为,,则,又,则,所以数列的奇数项与偶数项分别为公比为的等比数列,由可得,则数列的各项为,其中奇数项的通项公式为,偶数项的通项公式为,所以数列的通项公式为.故选:D8.已知四面体,是边长为6的正三角形,,二面角的大小为,则四面体的外接球的表面积为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】画出图形,找出外接球球心的位置,利用以及图形几何关系表示出相应的线段长度,结合勾股定理列方程求出外接球半径即可得解.【详解】如图,取中点,连接,因为是边长为6的正三角形,,则由三线合一可知,所以二面角的平面角为,取三角形的外心,设外接球的球心为,则平面,且,其中为四面体外接球的半径,过点作垂直平面,垂足为点,由对称性可知点必定落在的延长线上面,由几何关系,设,而由正弦定理边角互换得,进而,由勾股定理得,从而,,所以,,所以由得,,解得,所以四面体的外接球的表面积为.故选:B.【点睛】关键点点睛:关键是合理转换二面角的大小为,并求出外接球半径,由此即可顺利得解.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知平面向量,,则下列命题正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则【答案】ABD【解析】【分析】A.由共线向量定理求解判断;B.利用向量的数量积运算求解判断;C.利用向量的模公式求解判断;D.由向量的夹角公式求解判断.【详解】A.若,则,解得,故正确;B若,则,解得,故正确;C.若,或,故错误;D.若,则,解得,故正确,故选:ABD10.已知四棱柱的底面为菱形,且,,,为的中点,为线段上的动点,则下列命题正确的是()A.可作为一组空间向量的基底B.可作为一组空间向量的基底C.直线平面D.向量在平面上的投影向量为【答案】BCD【解析】【分析】选项A,找到,容易判断共面,从而做出判断即可;选项B,先找到含有两个向量的平面,判断与平面的关系即可;选项C,证明平面平面即可;选项D,证明垂直平面即可.【详解】如图所示,四棱柱,对于选项A,,三个向量都在平面,即三个向量共面,则也共面,不可作为一组空间向量的基底,选项A错误;对于选项B,两个向量都在平面,显然直线与平面是相交关系,不与平面平行,故三个向量不共面,可作为一组空间向量的基底,选项B正确;对于选项C,由于,,易得平面,平面,从而有平面平面,且平面,所以直线平面,选项C正确;对于选项D,取作为一组空间向量的基底,,,,其中,因为底面为菱形,且,,,得,,所以,即,,其中,显然,,所以,即,,因为,,且平面,平面,,所以平面,所以向量在平面上的投影向量为,选项D正确;故选:BCD.11.已知函数,,则()A.将函数的图象右移个单位可得到函数的图象B.将函数的图象右移个单位可得到函数的图象C.函数与的图象关于直线对称D.函数与的图象关于点对称【答案】ACD【解析】【分析】由三角函数的平移变换可判断A,B;由可判断C;由可判断D.【详解】因为,将函数的图象右移个单位可得到,将函数的图象右移个单位可得到,故A正确,B错误;由A选项可知,,所以函数与的图象关于直线对称,故C正确;若函数与的图象关于点对称,则在上取点关于的对称点必在上,所以,所以,故D正确.故选:ACD.12.(多选)已知数据,若去掉后剩余6个数的平均数比7个数的平均数大,记,,,的平均数与方差为,,记,,,的平均数与方差为,,则()A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据平均数的大小列出不等式变形即可判断AB,根据方差公式作差后变形,利用,即可判断CD.【详解】因为,所以,所以,所以,故A正确,B错误;,故C正确,D错误.故选:AC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.直线的倾斜角是___________.【答案】0【解析】【分析】根据斜率得到倾斜角.【详解】的斜率为0,设倾斜角为,则,解得,故倾斜角0故答案为:014.已知二项式的展开式中含的项的系数为84,则___________.【答案】【解析】【分析】应用二项展开式的通项公式求解即可.【详解】二项式中含的项为:,该项的系数为,由于该项的系数为84,得方程,即,解得或(舍去),故答案为:.15.位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元,总建筑面积约53万平方米,由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成,外形为杭州的拼音首字母“H”,被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图,为测量杭州世纪中心塔高,可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得,,米,在点C测得塔顶A的仰角为80°,则塔高为___________米.(结果保留整数,参考数据:)【答案】310【解析】【分析】设米,进而可得,在中由正弦定理求出,求解即可得出答案.【详解】设米,因为在点C测得塔顶A的仰角为80°,所以,在中,,所以,在中,因为,,所以,由正弦定理得,所以,则,所以米.故答案为:310.16.已知点P是双曲线C:与圆在第一象限的公共点,若点P关于双曲线C其中一条渐近线的对称点恰好在y轴负半轴上,则双曲线C的离心率___________.【答案】【解析】【分析】根据题意,联立双曲线与圆的方程,求得点的坐标,再求得其对称点的坐标,再由,化简即可得到的关系,再由离心率公式,即可得到结果.【详解】联立,取,解得,即,设点P关于双曲线C的渐近线的对称点为,则恰好在轴负半轴上,且,所以,由点与点关于渐近线对称,所以直线的斜率为,所以,即,化简可得,所以.故答案为:四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,,角C为锐角,已知的面积为.(1)求c;(2)若为上的中线,求的余弦值.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)由三角形的面积公式和余弦定理求解即可;(2)因为为上的中线,所以,对其两边同时平方可求出,再由余弦定理求解即可.【小问1详解】由的面积为可得:,因为,,解得:得,由角为锐角得,故,解得.【小问2详解】因为为上的中线,所以,所以,,解得:.故.18.已知为公差为2的等差数列的前项和,若数列为等差数列.(1)求;(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)由等差中项的性质可得,再由等差数列的通项公式和前项和公式代入化简可求得,即可求出答案;(2)由(1)得,则,再由等比数列的前项和公式和分组求和法求解即可.【小问1详解】因为数列为等差数列,所以,因为为公差为2的等差数列的前项和,则,解得.故.【小问2详解】由(1)得,故,故数列的前项和为.19.已知直三棱柱,,,D,E分别为线段,上的点,.(1)证明:平面平面;(2)若点到平面的距离为,求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2).【解析】【分析】(1)建系,分别求出平面和平面法向量,利用两法向量垂直,两面垂直即可证明;(2)设出点坐标,由已知点面距离利用向量法解出点坐标,再代入线面角的向量公式求出即可.【小问1详解】证明:在直三棱柱中,,平面,所以以为原点,,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点,,,,,则,,,设,则,设平面和平面的法向量分别为,则,取,则;,取,则,因为,所以平面平面.【小问2详解】设点,由,得平面的法向量,由得点到平面的距离,解得,由,得,直线与平面所成的角的正弦值为.20.已知点,为椭圆C:的左,右焦点,椭圆C上的点P,Q满足,且P,Q在x轴上方,直线,交于点G.已知直线的斜率为.(1)当时,求值;(2)记,的面积分别为,,求的最大值.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)由椭圆的性质可得,再利用弦长公式求解即可;(2)利用已知条件将表示出来,在利用基本不等式即可求解.【小问1详解】设直线与椭圆的另一个交点为,由椭圆的对称性得,关于原点对称.设点,.因为C:中,所以,所以当时,直线的方程为:,联立直线与椭圆的方程得,所以,所以,所以.【小问2详解】由题可设直线的方程为:,联立直线与椭圆得:,所以,,,所以当即时等号成立,取到最大值.【点睛】思路点睛:本题考查直线与椭圆综合应用中的面积问题的求解,求解此类问题的基本思路如下:①假设直线方程,与椭圆方程联立,整理为关于y的一元二次方程的形式,得到韦达定理;②表示出的面积,将韦达定理代入,再借助基本不等式即可求出面积的最大值.21.我国有天气谚语“八月十五云遮月,正月十五雪打灯”,说的是如果中秋节有降水,则来年的元宵节亦会有降水.某同学想验证该谚语的正确性,统计了40地5年共200组中秋节与来年元宵节的降水状况,整理如下:中秋天气元宵天气合计降水无降水降水194160无降水5090140合计69131200(1)依据的独立性检验,能否认为元宵节的降水与前一年的中秋节降水有关?(2)从以上200组数据中随机选择2组,记随机事件A为二组数据中中秋节的降水状况为一降水一无降水,记随机事件B为二组数据中元宵节的降水状况为一降水一无降水,求.参考公式与数据:.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)无关(2)【解析】【分析】(1)计算的值,与临界值比较得出结论;(2)利用条件概率公式求解.【小问1详解】零假设为:元宵节的降水与中秋节的降水无关.,因为,所以没有充分证据推断不成立,故元宵节的降水与中秋节的降水无关.【小问2详解】中秋节的降水状况为一降水一无降水概率为,中秋节、元宵节的降水状况均为一降水一无降水概率为,故.22.定义满足的实数为函数的然点.已知.(1)证明:对于,函数必有然点;(2)设为函
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