2023-2024学年青海省西宁市城西区海湖中学九年级（上）第二次段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年青海省西宁市城西区海湖中学九年级（上）第二次段考数学试卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合1．（3分）下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0 B．2x+y2＝5 C． D．2x+1＝x3．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C的度数是（）A．100° B．110° C．120° D．130°4．（3分）如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（）A．120° B．90° C．60° D．30°5．（3分）已知一元二次方程x2+x﹣1＝0，下列判断正确的是（）A．该方程有两个相等的实数根 B．该方程有两个不相等的实数根 C．该方程无实数根 D．该方程根的情况不确定6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，OC＝2，则弦AB的长为（）A．2 B． C．2 D．7．（3分）下列关于抛物线y＝2x2﹣2x﹣3的说法正确的是（）A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点（2，3） C．抛物线的对称轴是直线x＝1 D．抛物线与x轴有两个交点8．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径为（）A． B．2 C． D．4二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，）9．（2分）二次函数的解析式为y＝﹣2（x+1）2+3，顶点坐标是．10．（2分）若α，β分别是方程x2﹣3x﹣6＝0的两实根，则α+β的值是．11．（2分）把方程（x+2）（x﹣3）＝﹣4化成一般形式是．12．（2分）点A（﹣2，a）与点A'（b，3）关于原点对称，则a+b＝．13．（2分）某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为．14．（2分）如果m是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，那么2m2﹣6m+2的值是．15．（2分）如图，抛物线y1＝（x﹣2）2﹣1与直线y2＝﹣x﹣1交于A（1，0）、B（4，3）两点，则当y2＞y1时，x的取值范围为．16．（2分）半径为2，圆心角为120°的扇形的面积为（结果保留π）．17．（2分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为．18．（2分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣4）2+3，由此可知铅球推出的距离是m．三、解答题：（本大题共9小题，第19、20、21、22题每小题7分、第23、24题每小题7分，第25、19．（7分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．20．（7分）解方程：（x+2）2﹣4＝0．21．（7分）二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示．（1）求该二次函数的解析式；（2）根据图象直接回答：当x为何值时，y＞0？22．（7分）如图，△ABC放置于平面直角坐标系中，按下面要求画图：（1）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A1B1C1；（2）求点A在旋转过程中的路径长度．23．（8分）如图，正△ABC外接圆的半径为2，求正△ABC的边长，边心距，周长和面积．24．（8分）某商场经营某种玩具，购进时单价是30元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，销售单价每涨价1元，就会少售出10件玩具．（1）该玩具销售单价为多少元时，商场能获得12000元的销售利润？（2）该玩具销售单价为多少元时，商场能获得的销售利润为最大？并求最大利润是多少？25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2．（1）求OE和CD的长；（2）求图中阴影部分的面积．26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC．（1）求证：；（2）求证：CD是⊙O的切线．27．（12分）如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．（1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．

2023-2024学年青海省西宁市城西区海湖中学九年级（上）第二次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合1．（3分）下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是中心对称图形．故错误；B、不是中心对称图形．故正确；C、是中心对称图形．故错误；D、是中心对称图形．故错误．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0 B．2x+y2＝5 C． D．2x+1＝x【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：A、该方程是是一元二次方程，故该选项符合题意；B、有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意；C、该方程不是整式方程，故该选项不符合题意；D、该方程是一元一次方程，该选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．3．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C的度数是（）A．100° B．110° C．120° D．130°【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠A＝180°，∴∠A＝180°﹣70°＝110°．故选：B．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．4．（3分）如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（）A．120° B．90° C．60° D．30°【分析】利用旋转的性质计算．【解答】解：∵∠ABC＝60°，∴旋转角∠CBC1＝180°﹣60°＝120°．∴这个旋转角度等于120°．故选：A．【点评】本题考查了旋转的定义，明确三角尺的度数的常识并熟记旋转角的定义是解题的关键．5．（3分）已知一元二次方程x2+x﹣1＝0，下列判断正确的是（）A．该方程有两个相等的实数根 B．该方程有两个不相等的实数根 C．该方程无实数根 D．该方程根的情况不确定【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴方程有两个不相等实数根．故选：B．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，OC＝2，则弦AB的长为（）A．2 B． C．2 D．【分析】连接OA，根据勾股定理求出AD，根据垂径定理得到AB＝2AD，得到答案．【解答】解：连接OA，在Rt△AOD中，AD＝＝＝，∵OD⊥AB，∴AB＝2AD＝2，故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．7．（3分）下列关于抛物线y＝2x2﹣2x﹣3的说法正确的是（）A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点（2，3） C．抛物线的对称轴是直线x＝1 D．抛物线与x轴有两个交点【分析】A．由a＝2＞0，即可求解；B．当x＝2时，y＝2×22﹣2×2﹣3＝1，即可求解；C．由函数表达式知，抛物线的对称轴为直线x＝，即可求解；D．由Δ＝b2﹣4ac＞0，即可求解．【解答】解：A．∵抛物线y＝2x2﹣2x﹣3＝2（x﹣）2﹣，a＝2＞0，∴抛物线开口向上，故选项A错误；B．当x＝2时，y＝2×22﹣2×2﹣3＝1，故选项B错误；C．由函数表达式知，抛物线的对称轴为直线x＝，故选项C错误；D．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣3）＞0，故抛物线与x轴有两个交点，故正确．故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径为（）A． B．2 C． D．4【分析】先利用圆周角定理求出∠AOB，再根据等边三角形的判定得到△AOB是等边三角形，从而得解．【解答】解：连接OA，OB，则∠AOB＝2∠C＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，有OA＝AB＝2．故选：B．【点评】本题利用了圆周角定理和等边三角形的判定和性质求解．二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，）9．（2分）二次函数的解析式为y＝﹣2（x+1）2+3，顶点坐标是（﹣1，3）．【分析】由已知和抛物线的顶点式，直接判断顶点坐标．【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝﹣2（x+1）2+3，∴二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．【点评】本题考查了抛物线的顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k）．10．（2分）若α，β分别是方程x2﹣3x﹣6＝0的两实根，则α+β的值是3．【分析】由α，β分别是方程x2﹣3x﹣6＝0的两实根，根据根与系数的关系即可得α+β＝3，即可求得答案．【解答】解：∵α，β分别是方程x2﹣3x﹣6＝0的两实根，∴α+β＝3．故答案为：3．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系以及分式的加减运算．此题比较简单，注意掌握若二次项系数为1，x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q是解此题的关键．11．（2分）把方程（x+2）（x﹣3）＝﹣4化成一般形式是x2﹣x﹣2＝0．【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），可得答案．【解答】解：（x+2）（x﹣3）＝﹣4，去括号，得x2﹣x﹣6＝﹣4，移项，合并同类项，得x2﹣x﹣2＝0，故答案为：x2﹣x﹣2＝0．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．12．（2分）点A（﹣2，a）与点A'（b，3）关于原点对称，则a+b＝﹣1．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，进而可得答案．【解答】解：∵点A（﹣2，a）与点A'（b，3）关于原点对称，∴a＝﹣3，b＝2，∴a+b＝﹣3＝2＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握：点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．13．（2分）某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为10%．【分析】设该厂四、五月份的月平均增长率为x，利用五月份的产量＝三月份的产量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该厂四、五月份的月平均增长率为x，依题意得：1000（1+x）2＝1210，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．故答案为：10%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．（2分）如果m是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，那么2m2﹣6m+2的值是6．【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m2﹣3m＝2，再把2m2﹣6m+2变形为2（m2﹣3m）+2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m为一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根．∴m2﹣3m﹣2＝0，即m2﹣3m＝2，∴2m2﹣6m+2＝2（m2﹣3m）+2＝2×2+2＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15．（2分）如图，抛物线y1＝（x﹣2）2﹣1与直线y2＝﹣x﹣1交于A（1，0）、B（4，3）两点，则当y2＞y1时，x的取值范围为1＜x＜4．【分析】根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的x的取值范围即可．【解答】解：抛物线y1＝（x﹣2）2﹣1与直线y2＝﹣x﹣1交点为A（1，0）B（4，3），由图象知，当y2＞y1时，x的取值范围1＜x＜4，故答案为：1＜x＜4．【点评】本题考查了二次函数图象与一次函数函数值比较，解决的办法是首先求出交点坐标，然后根据图象找到上方部分，即可解答．16．（2分）半径为2，圆心角为120°的扇形的面积为π（结果保留π）．【分析】根据扇形的面积公式S＝求解即可．【解答】解：S＝＝＝π．故答案为：π．【点评】本题考查了扇形的面积计算，难度一般，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式S＝．17．（2分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为10．【分析】由于CA、CE，DE、DB都是⊙O的切线，可由切线长定理将△PCD的周长转换为PA、PB的长．【解答】解：∵PA、PB切⊙O于A、B，∴PA＝PB＝5；同理，可得：EC＝CA，DE＝DB；∴△PDC的周长＝PC+CE+DE+DP＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝2PA＝10．即△PCD的周长是10．【点评】此题主要考查的是切线长定理的应用．能够将△PCD的周长转换为切线PA、PB的长是解答此题的关键．18．（2分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣4）2+3，由此可知铅球推出的距离是10m．【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．【解答】解：令函数式y＝﹣（x﹣4）2+3中，y＝0，0＝﹣（x﹣4）2+3，解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），即铅球推出的距离是10m．故答案为：10．【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．三、解答题：（本大题共9小题，第19、20、21、22题每小题7分、第23、24题每小题7分，第25、19．（7分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x﹣2）2＝5，∴x＝2±，∴x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．20．（7分）解方程：（x+2）2﹣4＝0．【分析】先移项，然后由直接开平方法解方程即可．【解答】解：（x+2）2﹣4＝0（x+2）2＝4x+2＝±2，解得x1＝﹣4，x2＝0．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．21．（7分）二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示．（1）求该二次函数的解析式；（2）根据图象直接回答：当x为何值时，y＞0？【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）令y＝0，得到关于x的一元二次方程，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标，接着结合图形即可求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）令y＝0，得x2+2x﹣3＝0，解这个方程，得x1＝﹣3，x2＝1，∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点B的坐标为（1，0），∴观察图象可知，当x＞1或x＜﹣3，y＞0．【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法、一次函数的应用等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用图象法确定两个函数值的大小，属于中考常考题型．22．（7分）如图，△ABC放置于平面直角坐标系中，按下面要求画图：（1）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A1B1C1；（2）求点A在旋转过程中的路径长度．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；（2）先计算出OA的长，然后利用弧长公式求解．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1；为所作；（2）OA＝＝2，所以点A在旋转过程中的路径长度＝＝π．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．23．（8分）如图，正△ABC外接圆的半径为2，求正△ABC的边长，边心距，周长和面积．【分析】连接OB，OA，延长AO交BC于D，根据等边三角形性质得出AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∠OBD＝30°，求出OD，根据勾股定理求出BD，即可求出BC，BC的三倍即为周长，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：连接OB，OA，延长AO交BC于D，∵正△ABC外接圆是⊙O，∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∠OBD＝∠ABC＝×60°＝30°，即边心距OD＝OB＝×2＝1，由勾股定理得：BD＝＝＝，即三角形边长为BC＝2BD＝2，AD＝AO+OD＝2+1＝3，则△ABC的周长是3BC＝3×2＝6；则△ABC的面积是BC×AD＝×2×3＝3．【点评】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形的面积等知识点的应用，关键是能正确作辅助线后求出BD的长，题目具有一定的代表性，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．24．（8分）某商场经营某种玩具，购进时单价是30元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，销售单价每涨价1元，就会少售出10件玩具．（1）该玩具销售单价为多少元时，商场能获得12000元的销售利润？（2）该玩具销售单价为多少元时，商场能获得的销售利润为最大？并求最大利润是多少？【分析】（1）设该玩具销售单价定为x元时，商场能获得1200元的销售利润，根据题意列方程即可得到结论；（2）设销售单价为x元时，获得的利润时w元，根据题意得到函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）设该玩具销售单价定为x元时，商场能获得1200元的销售利润，由题意得：（x﹣30）[600﹣（x﹣40）×10]＝12000，即﹣10（x﹣100）（x﹣30）＝12000，解得：x＝60或70，答：销售单价定为60或70元时，商场能获得12000元的销售利润；（2）设销售单价为x元时，获得的利润时w元，由题意得：w＝﹣10（x﹣100）（x﹣30）＝﹣10（x﹣65）2+12250，∵﹣10＜0，故w有最大值，当x＝65时，w的最大值为：12250，答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是12250元．【点评】本题考查了二次函数的应用，根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质，特别是二次函数的最值问题解决实际中的最大或最小值问题．25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2．（1）求OE和CD的长；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）在△OCE中，利用三角函数即可求得CE，OE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长；（2）根据半圆的面积减去△ABC的面积，即可求解．【解答】解：（1）在△OCE中，∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，OC＝2，∴OE＝OC＝1，∴CE＝OC＝，∵OA⊥CD，∴CE＝DE，∴CD＝；（2）∵S△ABC＝AB•EC＝×4×＝2，∴．【点评】本题主要考查了垂径定理以及三角函数，一些不规则的图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或差求解．26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC．（1）求证：；（2）求证：CD是⊙O的切线．【分析】（1）连接OD，由平行可得∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠DOC；再由OA＝OD，