提高课堂效率的有效途径之一谈数学教师的基本功市公开课一等奖百校联赛特等奖课件

提升课堂效率有效路径之一谈数学教师“基本功”刘国强（.10.16）第1页辽宁省孙燕鹏小学数学名师

工作室启示前瞻性示范性研究性专业性实效性延续性第2页数学教师“三项基本功”1.善于举例；2.善于提问；3.善于比较与优化。第3页一、“善于举例”与数学教学从“什么是数学”谈起？一个基本论点：“数学：模式科学”（mathematics：thescienceofpatterns）数学所反应并不是某一特定事物或现象量性特征，而是一类事物或现象在量方面共同性质。

第4页深入分析数学基本特征：抽象性。学生思维特点：详细性与直观形象性；不但缺乏抽象能力，而且往往也不含有作为抽象必要基础详细事例。第5页详细结论“善于举例”两个涵义：（1）怎样能为抽象数学概念举出适当实例？（2）怎样能够帮助学生由详细实例抽象出对应数学概念？第6页1.什么是“适当例子”？标准之一：相对于学生可接收性；标准之二：经典性，即是能为对应数学抽象提供必要基础。这方面一个基本事实：举例并非一件易事。第7页[例1]“范例教学法”（R.Davis)为了帮助学生掌握负数概念，尤其是有理数运算（如4-10=?），教师采取了一个装有豆子口袋，再在桌上摆上一些豆子。教师先在口袋中装入4棵豆子，同时在黑板上记下“4”这么一个数字；然后从口袋中拿出10棵豆子，这时黑板上就出现了“4-10”这么一个算式。教师接着提问：（1）现在口袋里豆子与一开始相比是变多还是变少了？（2）少了多少？…第8页相关分析这些实物和动作对于学生来说都是十分熟悉。与纯粹“推门砖”不一样，这一实例在此并可说起到了“认知基础”作用：它能“自动地”指明相关概念基本性质或相关运算法则。这也就是指，借助于这一实例学生即可顺利地作出对应发觉。如借助所说实例学生显然就可顺利地实施4-10、5–8等运算，而无须依赖对对应法则机械记忆。第9页2.怎样帮助学生由实例抽象出对应数学概念？关键：去情境。这方面一个主要伎俩：比较。这实际上也可被看成数学中“分类”一个基本意义。第10页[例2]自然数认识我们应该怎样对这么一些图片进行分类：它们分别是摆在一起2个苹果、3个苹果、2个橘子、3个橘子，2个梨、3个梨，……第11页[例3]“圆认识”教学教师在教学中是否有必要同时提及各种不一样画圆方法，如圆规画圆、体育教师以自己为中心绕圈画圆、以及利用绳子在黑板上画圆，等等。第12页[例4]“认识分数”与变式引入：“分蛋糕”。教师并经过简短讨论引出了这么一个结论：“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它1/2。”问题：怎样以“变式理论”为指导设计教学从而帮助学生很好掌握分数本质？第13页（1）分割对象显然未必一定要是蛋糕，而也能够是纸片或别什么东西；对于分割对象外形我们也不应作任何限制：它们既能够是圆形，也可是方形或任何其它形状。第14页（2）对分割方法也可作出一定改变。如就长方形纸片分割而言，能够横着折，也能够竖着折，还可钭着折；另外，除去各个“正例”以外，我们也应引入一定“反例”，如按照中位线分割梯形等。第15页（3）作为深入抽象，我们又应由1/2逐步扩展到1/3，1/4，……乃至2/3，3/4，……。假如依然集中于“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它1/2”这一叙述，这也就是指，除去分割对象与方法以外，我们也应对“平均分成两份”中“两份”以及所说“每份”作出适当改变。第16页（4）这实际上也可被看成“非标准变式”一个实例，即分配对象也能够是2个蛋糕、3个蛋糕，而未必一定要是1个蛋糕——轻易看出，这一改变实际上就意味着我们已经将分析着眼点由“（平均）分配”这一实际活动转移到了部分与整体之间关系，后者并就意味着对于分数本质更为深入认识。第17页[例5]“认识方程”与变式理论教学中常态：人们已经普遍地认识到了这么一点，即在“认识方程”教学中我们必须同时引入一定正例和反例，从而帮助学生很好掌握方程概念，尤其是这么两个要素：（1）含有求知数；（2）是一个等式。第18页相关练习详细判断以下一些式子是否为方程：

6+x=14,x÷3=20,60-48=12,8+x,y-28=35,5y+3>20……第19页应有思索不过，我们在此是否也应有意识地去引入一些“非标准变式”？就方程认识而言，我们又应引入哪些“非标准变式”？第20页（1）我们不但应该将4x+7=35变形为4y+7=35，而且也可使用一些更为复杂符号表示式、乃至基本些特殊符号：如将4x+7=35变形为4（2r+1）+7=35，以及4*+7=35，等等。第21页一些相关问题“学生能顺利识别方程就是认识方程了吗？”“学生能流利地说出方程定义就是了解方程了吗？”（引自吴正宪老师相关汇报）关键：“淡化形式，重视实质。”（陈重穆）第22页（2）除去上面所提到各个例子以外，我们还应有意识地引入另外一些“变式”，如6=14-3x，6+x=14-7x，25+x=y-28，等等。关键：借此即可促进学生由“程序性观点”向“结构性观念”转变，后者正是“方程方法”关键。第23页一个相关事实学生在实际求解方程过程中何以会经常出现以下“规律性错误”：如在求解3x-13=5时，学生往往会写出以下算式：

3x-13=5=5+13=18=18÷3=6，

……第24页小结：怎样帮助学生由详细实例抽象出对应数学概念？关键：经过适当改变与比较帮助学生掌握相关概念本质。第25页新主要发展：由“变式理论”到“多元表征理论”传统研究：主要集中于怎样帮助学生很好地掌握概念本质（单一性）。新认识：愈加强调概念内在表征多元性，以及各方面必要互补与思维灵活性第26页一些相关提法布鲁纳（1964）三种形式：动作、图像，和符号；Lesh&Laudan（1983）“五个维度”：实物操作，图像，日常语言，符号语言、现实情景。

第27页3.详细教学提议（1）形象化描述与符号表征必要互补：我们在教学中不但应该高度重视学生实际操作与情境设置，还应重视适当举例，语言说明（表述，比喻，感受，给出自己定义等）与图象表示（概念视觉化）等多个方面。第28页（2）日常语言与数学语言必要互补教学中不应停留于严格数学语言，而应高度重视怎样能用日常语言对相关内容作出解释，包含要求学生用自己语言说出对数学概念了解，甚至是感受。关键：我们既应对学生非正规解释持接收与了解态度，同时又应注意维护数学正式意义。

第29页[例6]正方形认识教师：“什么是正方形？”学生：“方方正正就是正方形。”教师：“什么是方方正正？”学生：“就是四边相等。”教师在黑板上画出菱形，问：“这个图形是否是正方形？”学生：“不是，因为它不正。”第30页教师又在黑板上画一个长方形，问：“这是否正方形？”学生：“不是！因为这个图形不方。”………教师将学生回答得正确结论写在黑板上，回答不正确不写，最终加以补充总结，抽象出正方形定义。第31页（3）操作性认识与结构性认识必要互补当前应该尤其加强步骤：由“操作性认识”向“结构性认识”必要过渡。相关叙述：“对概念教学，课改以后更为强调概念生成，这是正确。但不能忽略对概念本身分析，这可是基本功。”（陈永明，）第32页更为普通分析概念教学不一样步骤：（概念）生成、分析与组织。相关叙述：“为了了解一个概念，普通说，一是正反举例；二是扣住定义关键词语；三是注意特殊情况；四是与相关概念进行比较，找出概念区分和联络。”（陈永明，）第33页相关经验“我提倡‘一题一课，一课多题’——一节数学课做一道题目，以一道题为例子讲解、改变、延伸、拓展，经过师生互动、探讨、尝试、修正，最终真正学到是很多题知识。”（李成良，）第34页小结：更为普通主张“双基教学”必要发展：

基本技能，不应求全，而应求变； 基础知识，不应求全，而应求联。第35页二、“善于提问”与数学教学1.“问题”对于数学和数学教学特殊主要性。（1）“问题”能够被看成数学研究活动实际出发点。数学发展基本模式： 问题—问题处理—新研究问题—……第36页每个数学分支并都含有自己特殊基本问题，对应理论正是围绕这些问题得到建立。结论：对于问题很好掌握实际上即应被看成数学学习一项主要内涵。“问题”正确了解：这不应被等同于现实问题，而且，即使就后者而言，也应对此作出必要抽象，从而使之成为“数学问题”。第37页（2）从教学角度看这也是教学活动能否实现“双中心”关键。中国数学教学一项优异传统：“教师试图取得一个平衡，教学也就变得既以学生为中心又以教师为中心。”（马飞龙，“什么是好教学？”，《人民教育》，第8期）第38页国际上相关研究“那些自认为绝对真理提议，不论认为教学应该完全‘以学生为中心’，还是认为教学应该完全‘由教师主导’，都得不到研究支持，所以不应该遵照。采取何种教学方法应该依据详细情况来决定。”（美国《数学咨询委员会最终汇报》）第39页深入思索教学中怎样才能真正做到既尊重学生在学习活动中主体作用，同时又能充分发挥教师主导作用？第40页新实践“学校想了个方法：让教师写‘教学内容问题化教案’。”“‘教学内容问题化教案’是让老师知道自己该教什么，让学生知道自己想学什么。……老师和学生都应以问题为中心进行双向互动，实现双主体双互动。”

第41页思索与启示终究什么是真正实现“双主体双互动”关键所在？可能结论：问题引领！第42页问题严重性和紧迫性这正是我国数学教育尤其微弱一个步骤，即学生提出问题能力较差。应该必定做法：“《课标》”中由“双能”到“四能”发展。第43页应有认识与“处理问题能力”培养一样，学生“提出问题能力”提升主要地也依赖于后天学习，教师更应在这首先发展主要示范作用，这也就是指，假如教师本身不善于提出问题，我们显然就极难期望学生在这方面能有较大提升。

第44页小结“善于提问”确应被看成数学教师又一项主要基本功。第45页2.现实状况与对策现实中问题：重视课堂提问是中国数学教学一个主要特色；但在现实中却又普遍存在“问题”多而不精弊病。问题：我们应该怎样去加以改进？第46页一项相关研究（黄爱华）“即使在提倡以学生为主体‘以学定教’、‘先学后教’理念引领下课堂，问题繁、杂、小、碎现象依然没有改变，……中小学课堂，必须改变当前课堂教学‘满堂灌’、‘满堂问’教学模式。”（“以‘大问题’为导向小学数学课堂教学实践与探索”，《小学数学教师》，第1-2期）第47页判断问题“好坏”标准之一我们终究应该怎样去判别问题“好”与“坏”？（1）“好问题”应该含有显著“引领作用”，这也就是指，我们在教学中不应面面俱到，而应一直突出对应主要问题和基本问题第48页详细分析（1）所谓“主要问题”，在此主要是针对教学内容进行分析。相关叙述：“找准了‘大问题’，就意味着教者抓住了课堂‘课眼’，纲举目必张。”（黄爱华等，同前）第49页[例7]“百分数意义”教学

（黄爱华）教学中教师首先要求学生自由地提出各种与百分数直接相关问题；但与“放任自流”不一样，教师经过对学生提出问题进行梳理归纳出了以下几个问题：第50页

问题1：什么是百分数意义？ 问题2：百分数有什么好处？ 问题3：在什么情况下用百分数？ 问题4：百分数与分数比较有什么不一样？第51页深入提议我们并应跳出每一节课详细内容束缚，从更大范围去进行思索。回顾：每个数学分支都有自己特殊基本问题，对应理论正是围绕这些问题得到建立。结论：只有视角大，才能真正找准“大问题”。第52页详细分析（2）相对于教学内容把握而言，这里所说“基本问题”更为直接地包括到了数学教育长久目标，这也就是指，为了实现对应目标，我们在教学中终究应该一直突出哪些问题？第53页从教学角度看对应基本问题：（1）什么？（what）“现在在干什么？”或“准备干什么？”）（2）为何？？”（why）（“为何要这么作？”）“（3）怎样？？”（how）（“这么作了实际效果怎样？”）

第54页从教学角度看对应基本问题：（1）怎样能对所得出结论进行证实，包含作出必要推广？（2）我们能否使用不一样方法去处理问题？所使用方法是否又有改进余地？（3）这一结论与其它已得出结论有什么联络，我们又能否对此进行合并？第55页判断问题“好坏”标准之二“好问题”应含有较大“启发性”。这也就是指，尽管应该含有一定引导作用，但这又不应成为学生必须恪守硬性规范，另外，给学生一定启示也不应成为“包办代替”，而应促使学生主动地去进行思索和探究，也即含有较大开放性和自由度。第56页[例8]“处理问题策略——

画图”教学问题1：小明和小芳同时从两地沿一条公路相对走来。小明每分钟走70米，小芳每分钟走65米，经过6分钟两人相遇。两地相距多少米？问题2：小华和小丽同时从同一地点出发。小华向东走，每分钟走60米；小丽向西走，每分钟走55米，经过3分钟，两人相距多少米？问题3：小刚和小星同时从学校出发去少年宫。小刚每分钟走64米，小星每分钟走60米。经过6分钟，小刚到了少年宫，这时小星距少年宫还有多少米？第57页课前“小研究”教师在上课前首先安排学生对上述三个问题进行了“小研究”，在发给每个学生“研究表”中教师并尤其强调了这么一点：“你能先画图，再解答下面问题吗？”进而，教师希望学生在实际从事了上述三个问题研究之后又能深入去思索：“你以为画图对于处理问题有什么帮助？”第58页判断问题“好坏”标准之三教学中问题设计应该十分重视对于学生恰当性，这也就是指，“好问题”对于学生而言应该是可接收。更为详细提法：问题“自然性”。

第59页相关叙述“大问题一个关键追求是让学生不教而自会学、不提而自会问。要做到这一点，一个很关键原因就是教师必须让学生感到问题提出是自然，而不是神秘，是有迹可循，而不是无章可依。”（黄爱华等）第60页结论数学教学中“好问题”应该满足这么几点要求：主要性和基本性（引领性）、启发性、以及对于学生适当性。

第61页3.关于“问题引领”几点提议（1）尽管“问题引领”这一做法在现今数学教材编写中已经得到了广泛应用，但我们又应愈加重视怎样能够依据详细教学内容、对象与环境去进行“再创造”，从而真正做到“用教材去教”，而不是“机械地去教教材”。第62页[例9]关于“处理问题策略——画图”又一教学设计教材中问题：“梅山小学有一块长方形花圃，长8米，在修建校园时，花圃长增加了3米，这么花圃面积就增加了18平方米。原来花圃面积是多少平方米？”教师采取问题：学校里有一块长方形花坛，假如将它宽增加3米，就变成了一个正方形，这时花坛面积增加了24平方米。原来长方形花坛面积是多少平方米？第63页思索与分析显然，教师所用问题相对于教材中“问题”是更为复杂。也正所以，在没有进行预习情况下，“就有不少同学面露难色，……”；但恰又能够被看成为我们在教学中怎样能够帮助学生很好体会“问题处理”与“解题策略”创设了一个较为理想情境。第64页更为普通提议教学工作创造性一个主要表现：教学内容“问题化”；第65页（2）这方面工作重点与难点：我们怎样能够使得教师所预设问题真正成为学生自己问题，包含很好地去处理“预设性”与“生成性”关系，也即怎样能够针对学生真实情况与现实教学情境对所预设问题作出必要调整。第66页（3）更高追求这时，学生所关注已不只是原来问题，他们所寻求也不再是单纯意义上解答。”（M.Lampert）显然，这也就意味着学生已经真正成为了学习主人，提出问题能力也有了很大提升，并已在学会数学地思维这方面取得了切实进展。第67页小结“善于提问”一个基本意义即是有利于学生学会数学地思维。这并直接关系到了教学中怎样能够很好地调动学生学习主动性，真正实现教学活动“双中心”。

第68页三、“善于优化”与数学教学

1.“优化”对于数学学习特殊主要性。第69页[例10]

算术方法到代数方法比较“四则难题制造了许许多多奇招怪招。不过你跑不远、走不远，更不能腾飞……可是你要一引进代数方法，这些东西就都变成了无须要、平平淡淡。你就能够做了，而且每个人都能够做，用不着天才人物想出许多招来才能做，而且他能够腾飞。（吴文俊）第70页[例11]（自然数）加法几个不一样水平第一，从头数起（countall）；第二，“简化计数程序”：（从第一个加数）“继续往后数”（counton）；第三，已知事实应用。 比如，9+7=（9+1）+6=10+6=16第71页深入发展（1）计算方法主要进步：由经过计数来完成计算过渡到竖式计算。（2）心理图象主要改变：由“组合式多重单位”向“序列式多重单位”转变。在前一个情况，各个单位，如十、百、千等，都被看成是由最基本单位（“个”）依次组合而成，也正所以，与任一多位数相对应就都是一个“组合式”心理图像；在后一个情况下，所说十、百、千等则已组成了相对独立认识单位。第72页从数学思维角度看数学家们总是不满足于一些详细结果或结论取得，而是希望能够取得更为深入了解，后者不但造成了对于严格逻辑证实寻求，也促使数学家主动地去从事深入研究，如在这些看上去并无联络事实背后是否隐藏着某种普遍理论？这些事实能否被纳入某个统一数学结构等等；数学家们也总是希望能到达更大简单性和精巧性，如是否存在更为简单证实？能否对对应表述方式（包含符号等）作出改进？等等。

第73页结论应该明确必定“优化”对于数学学习特殊主要性，这就是数学思维十分主要一个特征。第74页关键：对于“优化”涵义全方面认识显性层面：方法改进；结论推广；更加好表述方法引入；……隐性层面，观念更新，新品格养成；……第75页更为深入分析数学中所谓“语言”优化，又不但是指由“非数学语言”向纯粹“数学语言”过渡，还包含有更为广泛涵义，即如词语扩展、功效强化（愈加准确、强大，以及由单纯交流过渡到论证功效），乃至语言基本性质改变：语言“非个性化”、“客观化”与“标准化”（欧内斯特语）等。第76页另一相关思索什么是学生数学思维发展过程主要形式，是“同化”还是“顺应”？应有认识：数学思维发展同时包含了“水平方向”上发展与“垂直方向”上发展。第77页相关叙述

“数学学习不是一个连续过程，它必须重新组织、重新认识，有时甚至要与以前知识和思索模式真正决裂。”（M.Artique，）由此可见，观念必要更新也是数学中“优化”又一主要涵义。第78页相关历史事实从发觉负数到普遍地接收负数，也即将此真正看成数来使用，其间差不多经过了5；从发觉虚数到它得到普通认可，中间也经历了250年。结论：观念更新并不轻易。第79页结论数学学习主要是一个文化继承过程，我们更应清楚地看到数学思维与对应“情感、态度与价值”后天取得性，教师并应在这一过程中发挥主要作用。应该全方面和深入地认识数学中“优化”详细涵义。第80页2.教学中怎样实现“优化”？关键：怎样能够使得“优化”真正成为学生自觉行为，而不是外部强制规范。第81页[例12]“问题处理”教学（解题策略：画图）问题：动物车展，第一天卖了65辆车，第二天销量增加了1/5，问：第二天卖了多少？教学重点：画图策略第82页教学中常态首先要求各个学生相对独立地经过画图去求解问题其次，为了实现学生间主动互动，教师通常又会要求一些学生向全班展示自己画图方法。问题：我们在课堂上是否应该让尽可能多学生向其它学生展示自己画法，如直接画65个小圈，画5个圈去代表65辆车，等等？第83页[例13]用2-6乘法口诀求商教师出示问题：12个桃子，每只小猴分3个，能够分给几只小猴？几个不一样处理方法：（1）实物操作；（2）用乘法口诀求商；（3）采取“连减”方法；（4）采取“连加”方法。……第84页教学实录（片段）师：请儿童看黑黑板，现在有这么各种方法来算12÷3，你最喜欢哪种方法？ 生：我喜欢减法，因为它最特殊。 师：不以为它很麻烦吗？ 生：不麻烦！ 师：谁再来说说，你最喜欢哪种方法？ 生：我最喜欢加法。 师：为何？ 生：因为我喜欢做加法，不喜欢做乘法。第85页师：（无奈地指着用乘法口诀求商方法）有没有喜欢用这种方法？有少部分学生响应。师：其实，用乘法口诀求商是最简便方法。以后我们做除法时，就用这种方法来做。第86页回顾：教学中怎样实现“优化”？关键与难点：怎样能够使得“优化”真正成为学生自觉行为，而不是外部强制规范。一些尤其主要步骤：（1）多元化；（2）比较；（3）反思。

第87页深入分析多元化显然应该被看成优化、尤其是比较必要前提，从而，我们在教学中就不应为了“多元化”而多元化，更不是越多越好！比较主要功效：诱发反思与总结，从而就能自觉地去实现优化。

第88页[例14]“‘估算’教学实录”（吴正宪）

引入（1）：“青青和妈妈一起到超市购物，一共买了五种商品，……妈妈带了200元钱，不知够不够？”。引入（2）：“曹冲称象：六次称石头所得出重量分别为328、346、307、377、398和352斤。大象大约重多少？”第89页教学实录教师以实例为背景并经过实际估算和交流总结清楚地展示了估算方法多样性。几个不一样估算方法：生1采取了所谓“小估”、即是往小里估方法300×6=1800；生2采取了‘大估’、也即往大里估方法：400×6=2400：也有学生（生3）坚持认为准确计算要比估算好。第90页教学实录师：“我们继续研究，准确值是2108千克。同学们，看着这个准确计算结果，再看看同学们估结果：2400，2100，2080，1800……此时此刻，你想对刚才自己估算结果作一点评价或思索吗？”第91页生1：“我估是1800。我以为我估得太少了，那些数当中有一个是398，我把它估成300了，与实际结果差就远些了，现在我以为应该估成400就更加好了，我估少了。”师：“你很善于思索，其实你估结果已经能够了，不过你还能在与他人比较中发觉问题，进行调整，老师为你这种精神而感动。”第92页师：“‘大估’在哪呢？你一定由感而发，说说看。”生：“我感觉我估大了。我把307这么数看成400了，估得有些远了。假如缩小一点，可能就估得准一点。我很佩服‘凑调估’，人家在估算中还能调整调整，这么估比较靠近准确值。”第93页师：“其实你已经很不错了，你不但主动地反思自己结果离得远了点，更让我感动是你还在反思中发自内心地去观赏他人，发觉同学们好方法，这么学习进步会更加快。”师：“好了，同学们，你们做出了很好自我评价。那么，用精算那两个同学你们算对了吗？”第94页生3：“我以为这些数相加确实不是很好算，再说求大象体重，没有必要精算。我那样一个数一个数算太麻烦了，太慢了。这时用估算还是比我方法好。”师：“你发觉这里就问你大象大约重多少不需要精算，估算就得了呗，是吧？（生1点头）感激你！”第95页一个详细提议教师在必要时并可经过适当举例与提问以促进学生总结与反思。“三项基本功”辩证关系：优化是目标；适当举例与提问则是实现这一目标有效伎俩。第96页必要提醒应该预防强制统一；恰恰相反，我们教学中应该允许一定“路径差”与“时间差”，但同时又应坚持“优化”这么一个目标。一些相关提法：“教师不要太聪明”；“道法自然”；“不着痕迹引导”……。教学工作艺术性又一主要表达。第97页小