2023届高三下学期开学摸底考数学试卷（江苏专用）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12023届高三下学期开学摸底考试卷（江苏专用）数学一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，所给四个选项中只有一个正确选项）1．设复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班有40名同学成绩恰在内，绘成频率分布直方图（如图所示），从中任抽2人的测试成绩，恰有一人的成绩在内的概率是（

）A． B． C． D．3．展开式中含项的系数为（

）A． B． C． D．4．已知向量，满足，，，则等于（

）A． B． C． D．5．已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为弦的中点，P为C上一点，则的最小值为（

）A． B．8 C． D．56．已知定义在上的函数满足为偶函数，且当，有，若，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．7．是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．问质点走完的第2021段与第1段所在的直线所成的角是（

）A．0° B．30° C．60° D．90°8．数列满足，且则的值为（）A．B．C．2D．1二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分，所给四个选项中有多个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，不选错选得0分）9．下列说法正确的有（

）A．对任意的事件A，都有P（A）>0B．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值C．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0D．若事件事件B，则10．函数的图像可能是（

）A． B．C． D．11．已知函数，则下列说法中正确的有（

）A．函数的图象关于点对称B．函数图象的一条对称轴是C．若，则函数的最小值为D．若，，则的最小值为12．已知为双曲线上一点，，，令，，下列为定值的是（

）A． B.C． D．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．过点作圆圆的切线，则的方程是___________.14．在锐角中，内角A､B､C所对的边分别是，若，，，则____15．如图，在中，已知，，，，，线段AM，BN相交于点P，则的余弦值为___________.16．已知关于x的一元二次不等式的解集为，且，，，，则的最小值为_______．四、解答题（共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数的定义域为A，集合.（1）求集合A；（2）设，若，求实数a的取值范围.18．已知数列中，是其前项和，并且，.(1)设，求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，说明理由.19．如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点．（1）求证：；（2）线段AD上是否存在点N，使平面平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明．20．新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召，开展了网课学习.为了检查网课学习的效果，某机构对2000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有.将这2000名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如下表所示：成绩上升成绩没有上升合计有家长督促的学生500300800没有家长督促的学生7005001200合计12008002000（1）是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联？（2）从有家长督促的800名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出8人，再从这8人中随机抽取3人做进一步调查，记抽到一名成绩上升的学生得1分，抽到一名成绩没有上升的学生得分，抽取3名学生的总得分用表示，求的分布列和数学期望.附：，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于x的方程有实数解，求实数t的取值范围.22．已知椭圆，其离心率为，若，分别为C的左、右焦点，x轴上方一点P在椭圆C上，且满足，．(1)求C的方程及点P的坐标；(2)过点P的直线l交C于另一点Q，点M与点Q关于x轴对称，直线PM交x轴于点N，若的面积是的面积的2倍，求直线l的方程．23．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若且，求证：.——★参考答案★——一、单选题1．D〖解析〗，则∴在复平面内对应的点为，位于第四象限故选：D.2．B〖解析〗由频率分布直方图知内有2人，不妨记为a，b；在内有4人，不妨记为1，2，3，4.从6人中任取2人的基本事件为，共15个，事件“恰有一人的成绩在内”的基本事件有8个，所以所求的概率为.故选：B.3．D〖解析〗因，于是得展开式中的二次为，所以展开式中含项的系数为9.故选：D4．A〖解析〗因为向量，满足，，，所以，所以，所以，故选：A．5．B〖解析〗抛物线，焦点，准线，直线AB的方程为，由消去y并整理得：，设，，则，弦中点Q的横坐标，过点作准线l的垂线，垂足为点，如图，令交抛物线于点P，在抛物线上任取点，过作于点，连接，即有，，当且仅当点与P重合时取等号，所以的最小值为.故选：B6．A〖解析〗因为定义在上的函数满足为偶函数，所以函数关于直线对称，即.因为当，有，即，故令，则在上单调递增，因为，所以关于点对称，所以在上单调递增，因为，所以所以，当时，，所以.当时，，所以且，即无解.所以，不等式的解集是故选：A7．A〖解析〗依题意可得质点运行路线为，或，或，或，或，或，即走过4段后又回到起点，可以看作以4为周期，不妨令第1段走且按照，则第5段一定是，若为（），此时与第3段共线，矛盾；，则质点走完的第2020段恰好回到起点，则第段只能是，即第段为，此时与第段重合，此时两直线所成角为；质点走完的第段与第1段所在的直线所成的角是．故选：A8．C〖解析〗由题意，数列满足，且，可得，可得数列是以三项为周期的周期数列，所以.故选：C.二、多选题9．BCD〖解析〗对任意的事件A，都有，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故A错误，C正确；对于，随机事件发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，正确，对于D，若事件事件B，则，故D正确；故选：BCD10．ABC〖解析〗由题可知，函数，若时，则，定义域为：，选项C可能；若，取时，则函数定义域为，且是奇函数；时函数可化为选项B可能；若时，如取，，定义域为：且是奇函数，选项A可能，故不可能是选项D，故选：.11．BCD〖解析〗在的图象上取一点，其关于点对称的点不在的图象上，所以函数的图象不关于点对称，故A不正确；因为，所以函数图象的一条对称轴是，故B正确；若，则，所以，故C正确；因为，所以，所以，故D正确.故选：BCD12．AC〖解析〗不妨设在第二象限，可得，即，而，，∴为定值，A正确；由倍角正切公式及，可得，，∴不为定值，B排除；，而，故为定值，C正确；由C知：不为定值，D排除；故选：AC.三、填空题13．〖解析〗当直线无斜率时，方程为：，显然与圆不相切，故直线有斜率，设斜率为，则直线方程为：，由是圆的切线，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，故直线方程为：故〖答案〗为：14．〖解析〗由正弦定理可得，，∴.故〖答案〗为：.15．〖解析〗由已知，，，，得，又由得，因为，所以所以故〖答案〗为：16．〖解析〗由题意，关于x的一元二次不等式的解集为，可得，且，所以且，所以，又由不等式的解集为，所以，令，则，所以，当且仅当时取等号．所以的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题17．解：（1）令，∴，∴，∴集合.（2）集合，∴，∵，∴，∴实数a的取值范围.18．（1）证明：因，，则当时，，因此，即，而，则，又，，即，有，所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列.（2）解：由（1）知，则有，因此数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以数列的通项公式是.（3）解：由（2）知，，于是得是递增数列，所以数列存在最小项，不存在最大项.19．（1）证明：因为平面，平面，平面平面，所以；（2）解：存在，且当点是的中点时，平面平面.下面给出证明：因为、分别是、的中点，所以，又平面，平面，所以平面.由（1）知，，又是的中点，，所以，所以四边形是平行四边形，从而，又平面，平面，所以平面.又因为，所以，平面平面20．解：（1），因为，所以有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联.（2）由题意知，从有家长督促的800名学生中按分层抽样法抽出8人，其中成绩上升的有5人，成绩没有上升的有3人，再从这8人中随机抽取3人，随机变量所有可能取的值为，，1，3，则，，，.所以的分布列为13所以.21．解：（1）原不等式等价于或或，解得或，所以原不等式的解集为.（2）因为，所以.因为，所以，要使方程有实数解，则需，即，解得，所以实数t的取值范围为.22．解：（1）因为，所以，且．又，所以，即，即，所以，又离心率，所以，，所以，所以椭圆方程为．∵，又∵，∴，∴P点的坐标为．（2）依题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为，由消去y整理，解得或，所以Q点坐标为，从而M点坐标为，所以直线PM的方程为，则N点的坐标为，因为的面积是的面积的2倍，所以或，当时，点M为线段PN的中点，∴，即，解得，所以直线l的方程为，当时，同理：，解得，所以直线l的方程为，所以满足条件的直线l的方程为，，即：或．23．（1）解：函数的定义域为，．若，则，在上单调递减．若，当时，；当时，；当时，，故在上，单调递减；在上，单调递增．若，当时，；当时，；当时，，故在上，单调递减；在上，单调递增．（2）证明：若且，则．欲证，只需证．设函数，则．当时，，函数在上单调递增，所以．设函数，则．设函数，则．当时，，故存在，使得，从而函数在上单调递增；在上单调递减，所以，且，故存在，使得，即当时，，当时，，从而函数在上单调递增；在上单调递减．因为，，所以当时，，所以，，即，．一题多解

（2）另解一

若且，则，欲证，只需证．设函数，则．当时，，函数在上单调递增．所以．设函数，，因为，所以，所以，又，所以，所以，即原不等式成立．另解二

若且，则．欲证，只需证，由于，，则只需证明，只需证明，令，，则，则函数在上单调递减，则，所以成立，即原不等式成立．2023届高三下学期开学摸底考试卷（江苏专用）数学一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，所给四个选项中只有一个正确选项）1．设复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班有40名同学成绩恰在内，绘成频率分布直方图（如图所示），从中任抽2人的测试成绩，恰有一人的成绩在内的概率是（

）A． B． C． D．3．展开式中含项的系数为（

）A． B． C． D．4．已知向量，满足，，，则等于（

）A． B． C． D．5．已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为弦的中点，P为C上一点，则的最小值为（

）A． B．8 C． D．56．已知定义在上的函数满足为偶函数，且当，有，若，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．7．是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．问质点走完的第2021段与第1段所在的直线所成的角是（

）A．0° B．30° C．60° D．90°8．数列满足，且则的值为（）A．B．C．2D．1二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分，所给四个选项中有多个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，不选错选得0分）9．下列说法正确的有（

）A．对任意的事件A，都有P（A）>0B．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值C．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0D．若事件事件B，则10．函数的图像可能是（

）A． B．C． D．11．已知函数，则下列说法中正确的有（

）A．函数的图象关于点对称B．函数图象的一条对称轴是C．若，则函数的最小值为D．若，，则的最小值为12．已知为双曲线上一点，，，令，，下列为定值的是（

）A． B.C． D．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．过点作圆圆的切线，则的方程是___________.14．在锐角中，内角A､B､C所对的边分别是，若，，，则____15．如图，在中，已知，，，，，线段AM，BN相交于点P，则的余弦值为___________.16．已知关于x的一元二次不等式的解集为，且，，，，则的最小值为_______．四、解答题（共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数的定义域为A，集合.（1）求集合A；（2）设，若，求实数a的取值范围.18．已知数列中，是其前项和，并且，.(1)设，求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，说明理由.19．如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点．（1）求证：；（2）线段AD上是否存在点N，使平面平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明．20．新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召，开展了网课学习.为了检查网课学习的效果，某机构对2000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有.将这2000名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如下表所示：成绩上升成绩没有上升合计有家长督促的学生500300800没有家长督促的学生7005001200合计12008002000（1）是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联？（2）从有家长督促的800名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出8人，再从这8人中随机抽取3人做进一步调查，记抽到一名成绩上升的学生得1分，抽到一名成绩没有上升的学生得分，抽取3名学生的总得分用表示，求的分布列和数学期望.附：，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于x的方程有实数解，求实数t的取值范围.22．已知椭圆，其离心率为，若，分别为C的左、右焦点，x轴上方一点P在椭圆C上，且满足，．(1)求C的方程及点P的坐标；(2)过点P的直线l交C于另一点Q，点M与点Q关于x轴对称，直线PM交x轴于点N，若的面积是的面积的2倍，求直线l的方程．23．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若且，求证：.——★参考答案★——一、单选题1．D〖解析〗，则∴在复平面内对应的点为，位于第四象限故选：D.2．B〖解析〗由频率分布直方图知内有2人，不妨记为a，b；在内有4人，不妨记为1，2，3，4.从6人中任取2人的基本事件为，共15个，事件“恰有一人的成绩在内”的基本事件有8个，所以所求的概率为.故选：B.3．D〖解析〗因，于是得展开式中的二次为，所以展开式中含项的系数为9.故选：D4．A〖解析〗因为向量，满足，，，所以，所以，所以，故选：A．5．B〖解析〗抛物线，焦点，准线，直线AB的方程为，由消去y并整理得：，设，，则，弦中点Q的横坐标，过点作准线l的垂线，垂足为点，如图，令交抛物线于点P，在抛物线上任取点，过作于点，连接，即有，，当且仅当点与P重合时取等号，所以的最小值为.故选：B6．A〖解析〗因为定义在上的函数满足为偶函数，所以函数关于直线对称，即.因为当，有，即，故令，则在上单调递增，因为，所以关于点对称，所以在上单调递增，因为，所以所以，当时，，所以.当时，，所以且，即无解.所以，不等式的解集是故选：A7．A〖解析〗依题意可得质点运行路线为，或，或，或，或，或，即走过4段后又回到起点，可以看作以4为周期，不妨令第1段走且按照，则第5段一定是，若为（），此时与第3段共线，矛盾；，则质点走完的第2020段恰好回到起点，则第段只能是，即第段为，此时与第段重合，此时两直线所成角为；质点走完的第段与第1段所在的直线所成的角是．故选：A8．C〖解析〗由题意，数列满足，且，可得，可得数列是以三项为周期的周期数列，所以.故选：C.二、多选题9．BCD〖解析〗对任意的事件A，都有，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故A错误，C正确；对于，随机事件发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，正确，对于D，若事件事件B，则，故D正确；故选：BCD10．ABC〖解析〗由题可知，函数，若时，则，定义域为：，选项C可能；若，取时，则函数定义域为，且是奇函数；时函数可化为选项B可能；若时，如取，，定义域为：且是奇函数，选项A可能，故不可能是选项D，故选：.11．BCD〖解析〗在的图象上取一点，其关于点对称的点不在的图象上，所以函数的图象不关于点对称，故A不正确；因为，所以函数图象的一条对称轴是，故B正确；若，则，所以，故C正确；因为，所以，所以，故D正确.故选：BCD12．AC〖解析〗不妨设在第二象限，可得，即，而，，∴为定值，A正确；由倍角正切公式及，可得，，∴不为定值，B排除；，而，故为定值，C正确；由C知：不为定值，D排除；故选：AC.三、填空题13．〖解析〗当直线无斜率时，方程为：，显然与圆不相切，故直线有斜率，设斜率为，则直线方程为：，由是圆的切线，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，故直线方程为：故〖答案〗为：14．〖解析〗由正弦定理可得，，∴.故〖答案〗为：.15．〖解析〗由已知，，，，得，又由得，因为，所以所以故〖答案〗为：16．〖解析〗由题意，关于x的一元二次不等式的解集为，可得，且，所以且，所以，又由不等式的解集为，所以，令，则，所以，当且仅当时取等号．所以的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题17．解：（1）令，∴，∴，∴集合.（2）集合，∴，∵，∴，∴实数a的取值范围.18．（1）证明：因，，则当时，，因此，即，而，则，又，，即，有，所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列.（2）解：由（1）知，则有，因此数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以数列的通项公式是.（3）解：由（2）知，，于是得是递增数列，所以数列存在最小项，不存在最大项.19．（1）证明：因为平面，平面，平面平面，所以；（2）解：存在，且当点是的中点时，平面平面.下面给