(人教A版2019选择性必修第一册)高二数学上册数学同步精讲 2.1.2两条直线平行和垂直的判断（精讲）（原卷版+解析）

2.1.2两条直线平行和垂直的判断（精讲）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析重点题型一：两直线平行关系的判定重点题型二：两直线平行关系的应用重点题型三：两直线垂直的判定及应用重点题型四：直线平行、垂直的综合应用第一部分：思第一部分：思维导图总览全局第二部分：知识点精准记忆第二部分：知识点精准记忆知识点一：两条直线平行对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有.对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.知识点二：两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即.对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．第三部分：课前自我评估测试第三部分：课前自我评估测试1．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．()2．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．()3．若l1∥l2，则k1＝k2．()4．判断正误（1）若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．()（2）若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等．()5．已知直线的斜率，直线的斜率，则与()A．平行

B．垂直

C．重合

D．非以上情况第四部分：第四部分：典型例题剖析重点题型一：两直线平行关系的判定典型例题例题1．判断下列不同的直线与是否平行.（1）的斜率为2，经过，两点；（2）经过，两点，平行于x轴，但不经过，两点；（3）经过，两点，经过，两点．例题2．已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是______．同类题型归类练1．“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要2．分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行：(1)，，，；(2)，，，；(3)，，，；(4)，，，．3．根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行.（1）经过点，，经过点，；（2）的倾斜角为60°，经过点，；（3）平行于轴，经过点，.重点题型二：两直线平行关系的应用典型例题例题1．若过点，的直线与过点，的直线平行，则的值为（

）A．-1 B．- C．2 D．例题2．若过点和点的直线与过点和点的直线平行，则的值是______.同类题型归类练1．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点D的坐标为（

）A． B． C． D．2．已知直线经过两点､，直线经过两点､，且，则（

）A． B． C． D．3．已知，，，，且直线与平行，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．0或1重点题型三：两直线垂直的判定及应用典型例题例题1．已知的点，，．判断的形状；例题2．判断下列各小题中的每对直线是否垂直(1)的斜率为，经过点，(2)的倾斜角为，经过点，(3)经过点，，经过点，同类题型归类练1．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为45°，则直线l2的倾斜角为（

）A．45° B．135° C．－45° D．120°2．下列命题错误的是（

）A．斜率互为负倒数的两条直线一定互相垂直B．互相垂直的两条直线的斜率一定互为负倒数C．两条平行直线的倾斜角相等D．倾斜角相等的两条直线平行或重合3．已知直线与过点，的直线垂直，则直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．4．判断下列各对直线平行还是垂直：(1)经过两点A（2，3），B（﹣1，0）的直线l1，与经过点P（1，0）且斜率为1的直线l2；(2)经过两点C（3，1），D（﹣2，0）的直线l3，与经过点M（1，﹣4）且斜率为﹣5的直线l4.重点题型四：直线平行、垂直的综合应用典型例题例题1．下列命题：①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们的斜率之积为.其中正确的为A．①②③④ B．①③ C．②④ D．以上全错例题2．已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为A． B． C． D．同类题型归类练1．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（

）A．平行四边形 B．直角梯形C．等腰梯形 D．以上都不对2．在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明．3．已知点，，，，试判定四边形ABCD的形状．2.1.2两条直线平行和垂直的判断（精讲）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析重点题型一：两直线平行关系的判定重点题型二：两直线平行关系的应用重点题型三：两直线垂直的判定及应用重点题型四：直线平行、垂直的综合应用第一部分：思第一部分：思维导图总览全局第二部分：知识点精准记忆第二部分：知识点精准记忆知识点一：两条直线平行对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有.对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.知识点二：两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即.对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．第三部分：课前自我评估测试第三部分：课前自我评估测试1．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．()【答案】错误2．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．()【答案】正确3．若l1∥l2，则k1＝k2．()【答案】错误4．判断正误（1）若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．()（2）若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等．()【答案】

√

√（1）两条不重合的直线的倾斜角相等，可知两条直线平行，正确；（2）两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等.5．已知直线的斜率，直线的斜率，则与()A．平行

B．垂直

C．重合

D．非以上情况【答案】B根据斜率乘积为-1，可知两条直线垂直故选：B第四部分：典型例题剖析第四部分：典型例题剖析重点题型一：两直线平行关系的判定典型例题例题1．判断下列不同的直线与是否平行.（1）的斜率为2，经过，两点；（2）经过，两点，平行于x轴，但不经过，两点；（3）经过，两点，经过，两点．【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.（1）经过，两点，则，则，可得两直线平行.（2）经过，两点，可得平行于x轴，平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以；（3）经过，两点，，经过，两点，则，所以.例题2．已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是______．【答案】平行或重合，，，但直线在y轴上的截距不确定，直线与的位置关系是平行或重合．故答案为：平行或重合．同类题型归类练1．“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【答案】B充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立；必要性：直线与的斜率相等，则必有直线与平行，故必要性成立；综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的必要非充分条件.故选：B2．分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行：(1)，，，；(2)，，，；(3)，，，；(4)，，，．【答案】(1)平行(2)平行(3)平行(4)不平行(1)，，，不共线，因此与平行．(2)，，又两直线不重合，直线与平行，(3)直线，的斜率都不存在，且不重合，因此平行；(4),，直线与不平行，3．根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行.（1）经过点，，经过点，；（2）的倾斜角为60°，经过点，；（3）平行于轴，经过点，.【答案】（1）；（2）或与重合；（3）.（1）由题意，知直线的斜率，直线的斜率.因为，且，，，四点不共线，所以.（2）由题意，知直线的斜率，直线的斜率，所以，所以或与重合.（3）由题意，知是轴，所以.重点题型二：两直线平行关系的应用典型例题例题1．若过点，的直线与过点，的直线平行，则的值为（

）A．-1 B．- C．2 D．【答案】B由题意知：，解得.故选：B.例题2．若过点和点的直线与过点和点的直线平行，则的值是______.【答案】由kPQ＝kMN，即＝，得.经检验知，符合题意.故答案为：同类题型归类练1．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点D的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A设顶点D的坐标为，由题意得，则有，所以解得所以顶点D的坐标为．故选：A2．已知直线经过两点､，直线经过两点､，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D由题意，直线经过两点､，可得直线的斜率为，直线经过两点､，可得直线的斜率为因为，可得，解得.故选：D.3．已知，，，，且直线与平行，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．0或1【答案】D当直线与的斜率不存在，即时，直线AB的方程为：，直线CD的方程为：，显然，满足题意.②当直线与的斜率存在，即时，直线AB的斜率，直线CD的斜率要使直线与平行，须，即，解得：或（舍）当时，直线AB的方程为：，直线CD的方程为：，显然，满足题意.故.综上所述，或.故选：D.重点题型三：两直线垂直的判定及应用典型例题例题1．已知的点，，．判断的形状；【答案】是等腰直角三角形；（2）.，，，，，．设F为BC的中点，则，．由于，，是等腰直角三角形；例题2．判断下列各小题中的每对直线是否垂直(1)的斜率为，经过点，(2)的倾斜角为，经过点，(3)经过点，，经过点，【答案】(1)垂直(2)不垂直(3)垂直(1)∵l2经过点A（1，1），B（0，），∴l2的斜率为，又∵l1的斜率为，且，∴l1与l2垂直.(2)∵l1的倾斜角为45°，∴l1的斜率为，∵l2经过点P（﹣2，﹣1），Q（3，﹣6），∴l2的斜率为，而，∴l1与l2不垂直.(3)∵l1经过点M（1，0），N（4，﹣5），∴l1的斜率为，∵l2经过点R（﹣6，0），S（﹣1，3），∴l2的斜率为，又∵，∴l1与l2垂直.同类题型归类练1．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为45°，则直线l2的倾斜角为（

）A．45° B．135° C．－45° D．120°【答案】B由l1⊥l2及k1＝tan45°＝1，知l2的斜率k2＝－1，∴l2的倾斜角为135°.故选：B.2．下列命题错误的是（

）A．斜率互为负倒数的两条直线一定互相垂直B．互相垂直的两条直线的斜率一定互为负倒数C．两条平行直线的倾斜角相等D．倾斜角相等的两条直线平行或重合【答案】B对于A，若两条直线的斜率互为负倒数，则它们的斜率之积为-1，故这两条直线一定互相垂直，故A正确；对于B，若两条垂直的直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则这两条直线的斜率不互为负倒数，故B错误；对于C，若两条直线平行，则它们的倾斜角一定相等，故C正确；对于D，倾斜角相等的两条直线一定平行或重合，故D正确.故选：B.3．已知直线与过点，的直线垂直，则直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】C解：设直线与直线的斜率分别为，直线过点，直线的斜率，由得，，直线的倾斜角满足.故选：C.4．判断下列各对直线平行还是垂直：(1)经过两点A（2，3），B（﹣1，0）的直线l1，与经过点P（1，0）且斜率为1的直线l2；(2)经过两点C（3，1），D（﹣2，0）的直线l3，与经过点M（1，﹣4）且斜率为﹣5的直线l4.【答案】(1)平行(2)垂直(1)由题意和斜率公式可得l1的斜率k11，l2斜率k2＝1，k1＝k2，又直线l1，l2不重合，所以两直线平行；(2)由题意和斜率公式可得l1的斜率k1，l2斜率k2＝﹣5，k1•k2＝﹣1，故两直线垂直.重点题型四：直线平行、垂直的综合应用典型例题例题1．下列命题：①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们