2024年全国初中数学竞赛试题含答案

“《数学周报》杯"2024年全国初中数学竞赛试题

班级学号姓名得分

一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为4B,

C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号

里.不填、多填或错填都得0分)

424

1.已知实数x,y满意：———=3,y+/=3,则「+"的值为()

XXX

(A)7⑻/©?(D)5

2.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地匀称的正方体骰子先后投掷2次，若

两个正面朝上的编号分别为勿，n,则二次函数〃的图象与x轴有两个不同交

点的概率是()

54171

(A)—(B)-(C)—(D)~

1293b2

3.有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确

定的不同直线最少有()

(A)6条(B)8条(C)10条(D)12

4.已知N8是半径为1的圆。的一条弦，且N6=aVl.以48为一边在圆。内作正△力8C,

点。为圆。上不同于点A的一点，且DB=AB=a,%的延长线交圆。于点E,则力£的长

为()

(A)(B)1(C)(D)a

5.将1,2,3,4,5这五个数字排成一排，最终一个数是奇数，且使得其中随意连续三个

数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满意要求的排法有()

(A)2种(B)3种(C)4种(D)5种

二、填空题(共5小题，每小题6分，满分30分)

6.对于实数u,7,定义一种运算"*"为：u^v=uv+V.若关于X的方程淤(a*x)=—；有

两个不同的实数根，则满意条件的实数a的取值范围是.

7.小王沿街匀速行走，发觉每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶

来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固

定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟.

8.如图，在△［欧中，AB=1,AC=11,点〃是8C的中点，”是N

掰。的平分线，MF//AD,则bC的长为_____.个人

9.△4?。中，AB=1,BC=8,CA=9,过△力8。的内切圆圆心/作"/\\\

//BC,分别与N8,相交于点〃E,则庞的长为______.J_D_\

BDMC

10.关于x,y的方程f+/=208(x—力的全部正整数解为.

三、解答题(共4题，每题15分，满分60分)

11.在直角坐标系xOy中，一次函数y=Ax+6(AW0)的图象与x轴、y轴的正半轴分别交

于力，8两点，且使得△力8的面积值等于I如1+1如1+3.(1)用6表示左(2)求4

如8面积的最小值.

12.是否存在质数Dq,使得关于x的一元二次方程/加一/+0=0有有理数根?

13.是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△

ABC2证明你的结论.

14.从1,2,…，9中任取〃个数，其中肯定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部),

它们的和能被10整除，求〃的最小值.

简答：

一.选择题ACBBD-,

-

二.填空题6.a>0或a<—1；7.4；8.9{9,16r10.x=48,x—

160,

y=32；y=32.

2A—A2

三.解答题：n.(1)A=2(6+3)，b>2；(2)当6=2+，I5,k=-\时，△

如8面积的最小值为7+2如；12,存在满意题设条件的质数"q.当夕=2,g=5时，

方程2V—5x+2=0的两根为否=；,苞=2.它们都是有理数；13.存在满意条件的三

角形.△月8。的边a=6,6=4,c=5,且/月=2N8,证明略.14.n的最小值是5,证明

略.

中国教化学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯"2024年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题(共5小题，每小题7分，共35分.以下每道小题均给出了代号为A,B,C,

D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，

不填、多填或错填都得0分)

1.已知非零实数a,6满意|2«-4|++2|+^(«-3)&2+4=2a,则a+Z?等于().

(A)-1(B)0(C)1(D)2

【答】C.

解：由题设知aN3,所以，题设的等式为,+2|+J(a—3)t=0,于是。=3,b=—2,从

而a+b=1.

2.如图，菱形力皿的边长为a,点。是对角线力。上的一点，且以=a,OB=OC=OD

=L则a等于().

(A)(B)(C)1(D)2

(第2题)

【答】A.

解：因为△80Cs^ABC,所以，即

所以,ci—a—1—0.

由a>0,解得.

3.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地匀称的正方体骰子先

后投掷两次，记第一次掷出的点数为。，其次次掷出的点数为6,则使关于x,y的方程组只

有正数解的概率为（）.

12513

（A）—（B）-（C）—（D）—

1291836

【答】D.

解：当2a-8=0时，方程组无解.

当2a-时，方程组的解为

由已知，得即或

由。，〃的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得

共有5X2=10种状况；或共3种状况.

又掷两次骰子出现的基本领件共6X6=36种状况，故所求的概率为U.

36

4.如图1所示，在直角梯形四切中，AB//DC,ZB=90°.动点P从点

8动身，沿梯形的边由A。一运动.设点尸运动的路程为x,△月郎的面积为卜把y看

作x的函数，函数的图像如图2所示，则△N8C的面积为（）.

(A)10(B)16(C)18(D)32

解：依据图像可得反=4,CD=5,DA=5,进而求得力8=8,故

=

S/\ABC~—X8X416.

2

5.关于x,y的方程必+肛+2^=29的整数解（x,y）的组数为（）.

(A)2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组

【答】c.

解：可将原方程视为关于X的二次方程，将其变形为

x2+yx+（2y2—29）=0.

由于该方程有整数根，则判别式AN0,且是完全平方数.

由△=9-4（2/一29）=-7丁+11620,

解得尸w.于是

9014916

A11610988534

明显，只有V=16时，4=4是完全平方数，符合要求.

当y=4时，原方程为+4x+3=0,此时石=—1,4=—3；

当y=—4时，原方程为/一4%+3=0,止匕时退=1,%4=3.

所以，原方程的整数解为

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6.一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在

后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶肯定路程后可以交换前、后轮胎.假如交换前、

后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km.

【答】3750.

解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为人则安装在前轮的轮胎每行驶1km

磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm,

交换位置后走了ykm,分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有

两式相加，得左(x+y)+左(x+y)=2k,

50003000

则x+y=--——-~~--=3750.

-----1-----

50003000

7.已知线段48的中点为C,以点力为圆心，N8的长为半径作圆，在线段48的延长线上

取点〃使得刖=4。;再以点。为圆心，力的长为半径作圆，与。力分别相交于凡G两点,

AH

连接挖交加于点〃,则商的值为

解：如图，延长力。与。。交于点£,连接加；EF.

由题设知，，在△，的和中,

/EFA=NFHA=90°,/FAH=/FAF

所以Rt△加sRtaN,

AHAF

AHi

AF=AB,所以-^=_，(第7题)

AB3

8.已知&a2,%,a4,%是满意条件%+“2+%+%+%=9的五个不同的整数，若》是关

于x的方程(1-01)(X-4)(%-4)(］一。4)(x一。5)=2。。9的整数根，则方的值为.

【答】10.

解：因为(Z?-q)(6-0,)(〃一生)仅一%)伍—%)=2009,且如a2,a3,a4,%是五个不同的

整数，全部b-a2,b-a3,b-a4,6一生也是五个不同的整数.

又因为2009=1x(-l)x7x(-7)x41,所以

b—q+b—%+b—CI3+b—&+b—%=41.

由％+g+。3+。4+%=9，可'《导Z?=10.

9.如图，在△力比■中，。是高，"为NACB的平分线.若47=15,BC=2Q,CD=12,

则四的长等于.

【答】.

解：如图，由勾股定理知力。=9,劭=16,所以居=四+劭=25.

故由勾股定理逆定理知△4力为直角三角形，且NACB=90。.

忤EF工BC,垂足为少&EF=x,由/氏阴=工乙4。5=45。，得CF=X,于是即=20—

2

x.由于EF//AC,所以

即

解得.所以.

10.10个人围成一个圆圈做嬉戏.嬉戏的规则是:12每个人心里都

想好一个数，并把自己想好的数照实地告知他两旁的两3个人，然后每

个人将他两旁的两个人告知他的数的平均数报出来.若报出来的数如

4

图所示，则报3的人心里想的数是.

65

—2.

【答】(第10题)

解：设报3的人心里想的数是x,则报5的人心里想的数应是8-

于是报7的人心里想的数是12-(8-x)=4+x,报9的人心里想的数是

16—(4+x)=12—%,报1的人心里想的数是20—(12—x)=8+%,报3的人心里想的数是

4—(8+x)=-4—x.所以

x=—4—x9

解得X——2.

三、解答题(共4题，每题20分，共80分)

11.已知抛物线y=%2与动直线丁=(2f—l)x—c有公共点a，%),(程为)，

且x；+%2=厂+2t—3.

(1)求实数力的取值范围；

(2)当力为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.

解：(1)联立>=必与丁=(2/—l)x—c,消去y得二次方程

x?-(2/-l)x+c=0Q)

有实数根X],x2,则X+工2=2/-1,=C.所以

C=%々—~[(%1+羽)2—(X；+X；)]

=^[(2t-l)2-(t2+2t-3)]=.②

............5分

把②式代入方程①得

/―⑵―l)x+；(3/—6f+4)=0.(3)

............10分

t的取值应满意

/+2%-3=x；+%；20,(4)

且使方程③有实数根，即

A=(2Z-1)2-2(3Z2-6?+4)=-2t2+8/-7NO,⑤

解不等式④得fW-3或解不等式⑤得W/W.

所以，力的取值范围为

WtW.⑥

...........15分

(2)由②式知c=]1(3?2-6?+4)=!Q(?-1)2+11.

由于在W/W时是递增的，所以，当

2

时，cmin=|(2-^-l)+|=^^............20分

12.已知正整数a满意1921a3+191,且a<2009,求满意条件的全部可能的正整数a的和.

解：由1921a3+191可得1921a3—1.192=3x2%且

d_]=(a_1)[a(a+1)+1]=(a—l)a(a+1)+(a—1).

...........5分

因为a(a+l)+l是奇数，所以261as等价于261a—1,又因为3|(a-l)a(a+l),所以31a—1

等价于因此有于是可得a=192左+1.

...........15分

又0<a<2009,所以左=0,1,,10.因此，满意条件的全部可能的正整数a的和为

11+192(1+24---卜10)=10571............20分

13.如图，给定锐角三角形NBC,BC<CA,AD,龙是它的两条高，过点。作△力理的

外接圆的切线/,过点〃£分别作/的垂线，垂足分别为几G.试比较线段%'和比的大小,

并证明你的结论.

解法1：结论是DF=EG.下面给出证明............5分

因为NFCD=NE4B,所以Rt^/OsRt△用A于是可得

同理可得

10分

（第13A题）

又因为，所以有3E-CD=AZ)-CE,于是可得

DF=EG........................20分

解法2：结论是DF=EG.下面给出证明.

.........................5分

连接DE,因为==所以力，B,D,£四点共圆，故

NCED=ZABC.......(第13A题)》

又/是。。的过点。的切线，所以NACG=NABC........................15分

所以，NCED=ZACG,千是DE〃FG,故DF=EG.

.......................20分

14.〃个正整数q,a2,,a.满意如下条件:l=al<a2<---<an=2009；

且％,%,,可中随意〃一1个不同的数的算术平均数都是正整数.求〃的最大值.

解：设％,出，，。〃中去掉％后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数2,

z,=l,2,,〃.即2=(/+a2++♦")，.

n—1

于是，对于随意的1WJW/7,都有

从而〃-1|(%-4)・.......................5分

由于人2=上以=也些是正整数，故

1"77-1n-1

H-1|23X251........................10分

由于4-1=(4一4-1)+(。”-1-%-2)++(。2一%)

三(八一1)+(〃—1)++(«—1)=(n—1)2,

所以，(n-1)2^2024,于是〃W45.

结合〃一1|2?义251,所以，nW9........................15分

另一方面，令q=8x0+1,%=8x1+1,%=8义2+1,…，as=8x7+1,

%=8x251+1,则这9个数满意题设要求.

综上所述，〃的最大值为9........................20分

中国教化学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯"2024年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题(共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的.请将正确

选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分)

1.若，则*的值为().

b+c

11

(A)(B)—(C)no

2111IT

ar

—+l

20+l_2l0

解：D由题设得a+b_b

u

b+cl、+-cll

b10

代数式变形，同除b

2.若实数a,6满意,则a的取值范围是().

(A)a<-2(B)a>4(C)2或a24(D)-2WaW4

解.C

因为力是实数，所以关于力的一元二次方程

的判别式△=(—a)?—4*1*(5。+2)>0,解得aW—2或a>4.

方程思想，未达定理；要解一元二次不等式

3.如图，在四边形被力中，Z^=135°，Z<7=120°，N户2省，除4—2后，CD=,

则助边的长为().

(A)2屈(B)4V6

(C)4+V6(D)2+2新

解：D

如图，过点4。分别作力£,以垂直于直线8C,垂足分别

为E,F.

由已知可得

B/A后质,CF=2垃,DF=2y/6,

于是J5F=4+\/6.

过点力作力如；垂足为G.在Rt△力的中，依据勾股定理得

AD=J(4+府+(府=J(2+扃y=2+276.

勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法

4.在一列数石，X],x3,..中，已知/=1,且当AN2时，xk=xk_1+1-4-^―jj

(取整符号同表示不超过实数a的最大整数，例如[2.6]=2,[0.2]=0),则%刈。等于().

(A)1(B)2(C)3(D)4

解：B

k-1k-2

由$=1和4=+1-4可得

X]=1,%2=2,元3=3,X4=4,

%5=1,%6=2,Xj=3,Xg—4,

因为2024=4X502+2,所以％01()=2.

高斯函数；找规律。

5.如图，在平面直角坐标系x分中，等腰梯形4腼的顶点坐标分别为4(1,1),8(2,-

1),。(-2,-1),〃(-1,1).y轴上一点夕(0,2)绕点4旋转180°得点R,点月绕点

8旋转180°得点2点£绕点。旋转180°得点心点R绕点。

旋转180°得点％……，重复操作依次得到点%…，F则点为%的

坐标是().；

(A)(2024,2)(B)(2024,-2)

(C)(2024,-2)(D)(0,2)…小

(第5题)

解：B由已知可以得到，点4，鸟的坐标分别为(2,0),(2,-2).

记P2(a2,b2),其中%=2,仇=-2.

依据对称关系，依次可以求得：

G(—4-6?2,—2一人2)，4(2+，4+4),g(―4，-2-4)，稣(4+。2，“2)・

令《(4，d)，同样可以求得，点儿的坐标为(4+4也)，即几(4x2+4也)，

由于2024=4x502+2,所以点鸟。]。的坐标为(2024,-2).

二、填空题

6.已知&=君一1,则2a之十7才一2a—12的值等于.

解：0

由已知得(a+l)2=5,所以a?+2a=4,于是

2a'+71—2a—12=2才+4才+34—2a—12=3/+6a—12=0.

7.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的马路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻,

客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间.过了10分钟，小轿车追上了货车;

又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过1分钟，货车追上了客车，则t=.

解：15

设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分

别为a,b,c(千米/分)，并设货车经x分钟追上客车，由题意得

10(«-/?)=5,①

15(a-c)=2S,②x(b-c)=S.③

由①②，得300-c）=S,所以，尸30.故Z=30-10-5=15（分）.

8.如图，在平面直角坐标系也"中，多边形如阅物的顶点坐标分别是0(0,0),A(0,6),

8(4,6),。(4,4),D(6,4),£(6,0).若直线1经过点〃(2,3),且将多边形物比我

解:(第8题)

如图，延长a1交x轴于点a连接如，AF-,连接阳DF,且相交于点儿

由已知得点〃(2,3)是OB,力厂的中点，即点〃为矩形力加9的中心，所以直线/把矩形

分成面积相等的两部分.又因为点N(5,2)是矩形功露的中心，所以，

过点N(5,2)的直线把矩形切罚分成面积相等的两部分.

于是，直线即为所求的直线/.

设直线/的函数表达式为y=H+8,则

解得，故所求直线/的函数表达式为.

9.如图，射线血/；脚都垂直于线段48点£为加上一点，过点4作座的垂线4c分别交

BE,BN于点、F,C,过点。作加的垂线切，垂足为〃.若CD=CF,则

解：

见题图，^FC=m,AF=n.

因为忒△〃/sRtZ^49C,所以AB2=AFAC.

又因为FC=DC=AB,所以加2=〃（〃+根），即（第9题）

解得，或（舍去）.

AE

又RMAFEsRSCFB,所以"=出="='=,即

ADBCFCm~AD

10.对于7=2,3,k,正整数n除以i所得的余数为7-1.若“的最小值〃。满意

2000<%<3000,则正整数k的最小值为

解：9因为〃+1为2,3,,左的倍数，所以”的最小值”。满意

%+1=[2,3,,左],

其中[2,3,,同表示2,3,,左的最小公倍数.

由于[2,3,,8]=840,[2,3,,9]=2520,

[2,3,,10]=2520,[2,3,,11]=27720,

因此满意2000<n0<3000的正整数k的最小值为9.

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11.如图，比为等腰三角形，"是底边比'上的高，点。是线段尸C上的一点，龙和

少分别是切和切的外接圆直径，连接酬求证：.

（第11题）

证明：如图，连接被FD.因为应'和CF都是直径,

所以

EDLBC,FDLBC,

因此〃E,b三点共线........（5分）

连接AF,则

ZAEF=ZABC=ZACB^ZAFD,

所以，AABCs4AEF.....（10分）（第11题）

作/〃，露垂足为〃则力庐阳由△力即可得

从而

PF)FF

所以tanZPAD=——=—（20分）

APBC

12.如图，抛物线>=以2+法生>0）与双曲线相交于点4B.已知点4的坐标为（1,4）,

点8在第三象限内，且加的面积为3（。为坐标原点）.

（1）求实数a,b,4的值；

（2）过抛物线上点A作直线ZC〃x轴，交抛物线于另

一点C,求全部满意△608加的点£的坐标.

解：（1）因为点/（1,4）在双曲线上，

所以AN.故双曲线的函数表达式为.

4

设点8（3-）,t<Q,N8所在直线的函数表达式为y=〃四+〃，则有

t

解得，.

于是，直线N8与y轴的交点坐标为，故

=x

SM0B—————(1—?)=3,整理得2『+3f—2=0,

解得/=-2,或1=工(舍去).所以点8的坐标为(-2,-2).

2

因为点46都在抛物线丁=以2+法（a>0）上，所以解得.......（10分）

（2）如图，因为力C〃x轴，所以。（T,4）,

=4-\/2.又832^/^,所以.

设抛物线丁二依之+法（a>0）与x轴负半轴相交

则点。的坐标为（-3,0）.

因为N6W=N6如=45。，所以NC吩90。.

（i）将△及M绕点。顺时针旋转90。，得到△B'OA,.这

时，点9（-2,2）是CO的中点，点&的坐标为（4,-1）.

延长。4到点耳，使得。4=2。4，这时点4（8,-2）是符合条件的点.

（ii）作△BQ4关于x轴的对称图形得到点4（1,-4）；延长到点后2,

使得。62=2。4,这时点反（2,-8）是符合条件的点.

所以，点E的坐标是（8,-2）,或（2,-8）........（20分）

13.求满意2/+°+8=根2一2根的全部素数p和正整数m.

.解：由题设得°(20+1)=(〃Z-4)(7W,+2),

所以p|(加一4)(m+2),由于0是素数，故p[(加一4),或p|(»i+2)....(5分)

(1)若夕|(加一4),令m-4=kp,N是正整数，于是m+2>切，

3P2>p(2p+V)=(m-4)(m+2)>k2p2,

故左2<3,从而k=1.

所以解得.......(10分)

(2)若p|(»i+2),令m+2=切，N是正整数.

当°〉5时，m-4—kp-6>kp-p—p(k-l),

3p2>p(2p+1)-(m-4)(/n+2)>k(k-1)/72,

故左（左—1）＜3,从而％=1,或2.

由于p（2p+l）=（〃?-4）（〃7+2）是奇数，所以左w2,从而左=1.

于是

这不行能.

当p=5时，m2-2m-63,m=9；当p=3,nr-2m=29,无正整数解；当p=2时,

nr-2m-IS,无正整数解.

综上所述，所求素数尸5,正整数历9........（20分）

14.从1,2,2024这2024个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中随

意三个数之和都能被33整除？

解：首先，如下61个数：H,11+33,11+2x33,…，11+60x33（即1991）满意题设条

件........（5分）

另一方面，设。1＜的＜是从1，2,…，2024中取出的满意题设条件的数，对于这

〃个数中的随意4个数a,,%,ak,am,因为

33\（ai+ak+am）,33回+4+%”），

所以331（«y

因此，所取的数中随意两数之差都是33的倍数........（10分）

设4=41+334，7=1,2,3,…，/?.

由33|（4+4+4），得33|（3%+33d2+334）,

所以33|3%,11|%,即%211........（15分）

W,

故d“W60.所以，AW61.

综上所述，〃的最大值为61.（20分）

2024年全国初中数学竞赛试题及答案

二三

题号总分

1~56-1011121314

得分

评卷人

复查人

答题时留意：

1.用圆珠笔或钢笔作答；

2.解答书写时不要超过装订线；

3.草稿纸不上交.

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A,B,C,D

的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不

填、多填或错填都得0分）

1.设。=占-1,则代数式。2+2o-12的值为（）.

(A)-6(B)24(C)477+10(D)4近+12

2.在同始终角坐标系中，函数（左W0）与丁=-+左（左W0）的图象大致是

（A）（B）（C）（D）

3、在等边三角形ABC所在的平面内存在点P,使力PAB、/PBC、/PAC都是等腰三角形.请

指出具有这种性质的点P的个数（）

(A)1(B)7(C)10(D)15

4.若x>l,y>0,且满意，则x+y的值为().

9

(A)1(B)2(C)-(D)—

22

5.设S=』+3+[+.+上，则4s的整数部分等于（）.

I32333993

（A）4（B）5（C）6（D）7

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6.若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是.

7.若关于x的方程（了-2）（炉-4%+相）=0有三个根，且这三个根恰好可

以作为一个三角形的三条边的长，则加的取值范围是.

8.一枚质地匀称的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4；另一枚质地匀

称的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8.同时掷这两枚骰子，则其朝上

的面两数字之和为奇数5的概率是.

9.如图，点48为直线y=x上的两点，过48两点分别作y轴的平行线交双曲线y

X

（x>0）于C,。两点.若BD=2AC,则40c2—o02的值为.

（第9题）

（第10题）

10.如图，在Rt△力8C中，斜边N8的长为35,正方形切切内接于△N8C,且其边长为

12,则△力8。的周长为.

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11.已知：不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x=l,试求a、b

的值。

12.已知关于x的一元二次方程/+5+。=0的两个整数根恰好比方程无2+依+匕=0的

两个根都大1,求a+5+c的值.

13.如图，点A为y轴正半轴上一点，45两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物

线于P，Q两点.

（1）求证：ZABP=ZABQ；

（2）若点A的坐标为（0,1）,且NP6Q=60°,试求全部

满意条件的直线PQ的函数解析式.

(第13题)

14如图，中，4L4c=60°,AB=2AC.点户在△力比'内，且PA=G，PB=5,PC=2,

求的面积.

2024年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1.A.2.C.3.C.4.C.5.A

二、填空题

6.(a+l)27.3<ffl<4.8.9.6.10.84

9

三、解答题

11.解：把x=l代入原方程并整理得(b+4)k=7-2a

要使等式(b+4)k=7—2a不论k取什么实数均成立，只有

解之得，A=-4

12.解：设方程为2+依+匕=0的两个根为/3,其中a,，为整数，且aWQ,则方程

x?+cx+a=O的两根为tz+1,/3+\,由题意得

ex+)3=—a,+1)(/7+1)=a>

两式相加得〃+2a+2尸+1=0,

即(a+2)(，+2)=3,

所以或

解得或

又因为a=-(tz+/?),b—a/3,c--[(+1)+(/7+1)],所以

a=0,b=—Lc=—2；或者a=8,b=15;c=6,

故a+Z?+c=—3,或29.

13.解：（1）如图，分别过点P,Q作y轴的垂线，垂足分别为C,D.

设点A的坐标为（0,7）,则点3的坐标为（0,.

设直线PQ的函数解析式为了=履+乙并设产，。的坐

别为（xp,yp）,CxQ,yQ）.由

得，

于是，即.

222..

2XX

~^PQ铲命厂初X

于是p

=222；

XQ

铲。一§XpX°-Xe(Xe-Xp)

又因为，所以.

因为/BCP=NBOQ=90。，所以△BCPS^BDQ,

故NABP=NA3Q.

(2)设PC=a,DQ=b,不妨设aNZ?〉0,由(1)可知

ZABP=ZABQ=30°,BC=A,BD=®,

所以ACfa-2,AD=2-y/3b.

因为尸C〃DQ,所以△ACPS^ADQ.

于是，即，

所以a+b=y/3ab.

由⑴中,即，所以次4,"b=w，

于是可求得a=2b=百.

将代入，得到点。的坐标（3，-）.

22

再将点。的坐标代入了=丘+1,求得

所以直线PQ的函数解析式为.

依据对称性知，所求直线尸。的函数解析式为，或.

14.解：如图，作△/制，使得

NQAB=ZPAC,ZABQ=ZACP,则AACP.

由于AB=2AC,所以相像比为2.

于是

AQ=2AP=2A/3,BQ=2CP=4.（第14题）

ZQAP=ZQAB+NBAP=ZPAC+NBAP=ABAC=60°.

由AQ:AP=2:1知，ZAPQ=90。，于是PQ=0AP=3.

所以BP?=25=BQ~PQ2,从而N3QP=90。.

于是

AB-=PQ2+(AP+BQf=28+8A/3.

26+7

故SAABC--Afi-ACsin60°-—AB=^.

AABC282

2024年全国初中数学竞赛试题（正题）

—*二三

题号总分

1~56-1011121314

得分

评卷人

复查人

答题时留意：

1.用圆珠笔或钢笔作答；

2.解答书写时不要超过装订线;

3.草稿纸不上交.

一、选择题(共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A,B,C,D

的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不

填、多填或错填都得0分)

1(甲).假照实数a,在数轴上的位置如图所示，那么代数式G-|a+b|+也-a)'+B+c|

可以化简为().

_____IIII_____>

b_a____0___c

(第1(甲)题)

(A)2ca(B)2a2b(C)a(D)a

1(乙).假如那么的值为().

(A)->{2(B)6(C)2(D)2j2

b_

2(甲).假如正比例函数y=ax(aW0)与反比例函数y=(力#0