苏科版九年级数学下册《第七章锐角三角函数》单元测试卷-附答案

苏科版九年级数学下册第七章锐角三角函数单元测试卷

一、单选题（共10题；共29分）

1.在AABC中，ZA,/B都是锐角，tanA=l,sinB=立，你认为^ABC最确切的判断是（）

2

A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.锐角三角形

【考点】三角形内角和定理，特殊角的三角函数值

解：由题意得：ZA=45°,NB=45。，AZC=180--ZA-ZB=90".故B.

【分析】由特殊角的锐角三角函数值可得NA=45。，NB=45。，再由三角形内角和定理可得NC=180。-NA

-ZB=90°o

2.如图，在Rt/XABC中，ZC=90°,BC=4,AC=3,则sinB=*=（）

【考点】锐角三角函数的定义

解：：/C=90°,BC=4,AC=3,

；.AB=5,

..AC3

..smnB=—=-,

AB5

故A.

【分析】根据勾股定理算出AB,再根据正弦函数的定义即可直接得出答案。

3.游客上歌乐山山有两种方式：一种是如图，先从A沿登山步道走到B,再沿索道乘座缆车到C,另一种

是沿着盘山公路开车上山到C,已知在A处观锄到C,得仰角/CAD=3I。，且A、B的水平距离AE=430米,

A、B的竖直距离BE=210米，索道BC的坡度i=l：1.5,CD_LAD于D,BF_LCD于F,则山篙CD为（）

米；（参考数据：tan31°=0.6.cos3l°=0.9）

E

C.686

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解直角三角形的应用-仰角俯角问题

解:「索道BC的坡度i=l：1.5,ACF：BF=1：1.5,

设CF=x,则BF=1.5x,

/CAD=3I°,且A、B的水平距离AE=430米，A、B的竖直距离BE=210米,

・4/「ACCDx+210

..tanZCAD=—=---------

AD430+1.5X

Vtan31°=0.6,

・x+210(

・・--------=n0.6,

430+1.5x

解得,x=480,

.,.CD=CF+DF=480+210=690,

故选B.

【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数可以求得CD的长，从而可以解答本题.

4.若a是锐角，tana»tan50°=l,则a的值为()

A.20°B.30°C.40°D.50°

C

【考点】互余两角三角函数的关系

解：Vtana»tan50°=l.,.a+50°=90°

；.a=40°.

故选C.

【分析】互为余角的两个角的正切值互为倒数.

5.某地区准备修建一座高A8=6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角ZACB的余弦值为右

则坡面AC的长度为()

A.8B.9C.10D.12

C

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【分析】在RtZ^ABC中，通过已知边和已知角的余弦值，即可计算出未知边AC的长度.

A

由在RtdABC中,cos/ACB吟=三

AC5

设BC=4x,AC=5x,

则AB=3x,

则sin/ACB岑=&

AC5

又•.,AB=6m,

AC=10m.

故选c.

6.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6,AB±BC,AD±CD,NBAD=60°,点M,N分别在AB,AD边上，若

AM：MB=AN：ND=1：2,贝sinNMCN=(

A.速B.逋

1314

B

【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形

解：；AB=AD=6,AM：MB=AN：ND=1：2,；.AM=AN=2,BM=DN=4,

连接MN,连接AC,

VAB1BC,ADXCD,ZBAD=60"

在RtZ\ABC与RtZ!\ADC中，

(AB=AD

^AC=AC'

ARtAABC^RtAADC(HL)，

...NBAC=NDAC=iNBAD=3。。，MC=NC,

.•.BC=1AC,

.*.AC2=BC2+AB2,即(2BC)2=BC2+AB2,

3BC2=AB2,

；.BC=2V3,

在RtABMC中，CM=y/BM2+BC2=2币,

VAN=AM,ZMAN=60",

」.△MAN是等边三角形，

；.MN=AM=AN=2,

过M点作MEJ_CN于E,设NE=x,则CE=2V7-x,

AMN2-NE2=MC2-EC2，即4-x2=(2近)2-(2-x)2

解得：-m

:.EC=2S二驾,

由勾股定理得：ME=VMC2-CE2J(2夕)2—(军)2

7

MF3旧

AsinZMCN=^-=ZzZ=—

CM2y/714

故选B.

【分析】连接AC,通过三角形全等，求得/BAC=30。，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长,

连接MN,过M点作ME_LCN于E,则AMNA是等边三角形求得MN=2,设NE=x,表示出CE,根据勾股

定理即可求得ME,然后求得sinZMCN的值即可.

7.在RSABC中，ZC=90°,若cosB=|,则sinB的值得是（）

A

【考点】同角三角函数的关系

3

Vsin2B+cos2B=l,cosB=",

Asin2B=l-(|)2=||,

2NB为锐角,

..D4

故选A.

【分析】根据siMB+cos2B=l和COSB]即可求出答案.

8.如图，在反比例函数y=*的图象上有一动点A,连接A0并延长交图象的另一支于点B,在第二象限内

有一点C,满足AC=BC,当点A运动时，点C始终在函数y=:的图象上运动，若tan/CAB=2,则k的值

【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征

解：如图，连接0C,过点A作AELy轴于点E,过点C作CFd_y轴于点F,二•由直线AB与反比例函数

y=/的对称性可知A、B点关于0点对称，

；.AO=BO.

又：AC=BC,

Z.C01AB.

VZAOE+ZAOF=90°,ZAOF+ZCOF=90°,

.*.ZAOE=ZCOF,

又；NAEO=90°,ZCFO=90°,

.,.△AOE^ACOF,

,AEOEAO

,•—————

CFOFCO

VtanZCAB=三=2,

OA

ACF=2AE,OF=2OE.

又：AE・OE=|,CF*OF=|k|,

k=±6.

・・,点C在第二象限，

k=-6,

故选：B.

【分析】连接0C,过点A作AEj_x轴于点E,过点C作CFJ_y轴于点F,通过角的计算找出/AOE=NCOF,

结合"NAEO=90。，NCFO=90。"可得出△AOEsacOF,根据相似三角形的性质得出比例式，再由tan/CAB=2,

可得出CF.OF的值，进而得到k的值.

9.如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶，测得仰角为30。，再往大树的方向前

进4m,测得仰角为60。，已知小敏同学身高（AB）为1.6m,则这棵树的高度为（）（结果精

确到0.1m,4=1.73）.

A.3.5mB.3.6mC.4.3mD.5.1m.

D

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

设CD=x,

在Rt/XACD中，CD=x，ZCAD=30°,

则tan300=CD：AD=x：AD

故AD=羸

在Rt/XCED中，CD=x,ZCED=60°,

贝Utan60°=CD：ED=x：ED

则这棵树的高度=2图+1.6=5.1m.

故选D.

【分析】设CD=x,在Rt/XACD中求出AD,在Rt^CED中求出ED,再由AE=4m,可求出X

的值，再由树高=CD+FD即可得出答案.

10.如图，在平面直角坐标系中Rt/XABC的斜边BC在X轴上，点B坐标为（1,0）,AC=2,ZABC=30°,

把Rtz^ABC先绕B点顺时针旋转180。，然后再向下平移2个单位，则A点的对应点A，的坐标为（）

【考点】锐角三角函数的定义，作图-旋转

解：作AD_LBC,并作出把RtZ\ABC先绕B点顺时针旋转180。后所得aAiBCi,如图所示.

A

VAC=2,NABC=30°,；.BC=4,；.AB=2百，.\AD==^2=痘,；.BD=—=迎士=3.:

BC4BC4

点B坐标为（1,0）,；.A点的坐标为（4,V3）.VBD=3,/.BDi=3,...Di坐标为（-2,0）,AAi

坐标为（-2,-g）再向下平移2个单位，；.A，的坐标为（-2,-百-2）.故D.

【分析】因本题要求点A，的坐标，所以要求出AiDi和ODi的长度，那我们求出AD和OD的长度即可。首

先，根据已知题意作出旋转图形△AiBCi,然后根据面积相等法求出AD的长度，再根据勾股定理求出BD

的长度，即可得到Ai的坐标：最后再根据题意向下平移2个单位即可。

二、填空题（共10题；共33分）

11.已知a、|3均为锐角，且满足|sina-||+'（tan什~1*=0,则a+B=.

75°

【考点】特殊角的三角函数值，非负数的性质：算术平方根，绝对值的非负性

由已知sina-=。，tanB-l=O,...01=30。，0=45。，；.a+B=75。.【分析】根据两个非负数的和等于0可得这

两个非负数都等于0可得，sina-1=0,tanP-l=O,sinaj,tangl,由特殊角的三角函数值可得a=30。，0=45。,

故，a+B=75。.

12.在RtZXABC中，ZC=90",a,b分别是NA、NB的对边，如果sinA：sinB=2：3,那么a：b等于.

2：3

【考点】互余两角三角函数的关系

解：在RtZXABC中，NC=90。，a,b分别是/A、/B的对边，c为ZC对的边，.,.sinA=-,sinB=-,

cc

VsinA：sinB=2：3,

・ab今]

••C:7=2：3,

/.a：b=2：3.

故答案为2：3.

【分析】根据正弦的定义得到sinA=-,sinB=P，再由sinA：sinB=2：3得至U-：-=2：3,然后利用比

cccC

例性质化简即可.

13.如图，。。的直径AB与弦CD相交于点E,AB=5,AC=3,则tan/ADC=.

【考点】圆周角定理，解直角三角形

,ArO*2

解：；AB是直径，AB=5,AC=3,Z.BC=y/AB2-AC2=4，AtanZADC=tanZB=槐=；故；

BC44

【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得NACB=90,在直角三角形ABC中，由勾股定理可得

BCR/1B2-462=4,所以tanZADC=tanZB=—

BC4

14.在AABC中，已知NC=90°,sinA=1,则cosA=,tanB=.

出2V2

【考点】同角三角函数的关系，互余两角三角函数的关系

解：如图，：^^=90°,sinA=,，sinC="=_二，

3AD-3

设BC=x,则AB=3x,

.".AC=y/AB2-BC2=2V2x,

2&x_2V2

-3xF

7=黑=2企.

故答案为缗2夜.

【分析】根据正弦的定义得到sinC=Q3则可设BC=x,则AB=3x,再利用勾股定理计算出AC,然后

根据余弦和正切的定义求解.

15.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，

同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校

旗杆的高度为米.

10

【考点】相似三角形的应用，解直角三角形的应用

解：1米长的标杆测得其影长为1.2米，即某一时刻实际高度和影长之比为定值上，所以墙上的2米投

射到地面上实际为2.4米，即旗杆影长为12米，因此旗杆总高度为10米.

【分析】根据同一时刻物高与影长成正比.过点D作DELAB于点E,由题意可得出AE:DE=1：1.2,即可求

出旗杆的总高AB的长。

16.已知一条长度为10米的斜坡两端的垂直高度差为6米，那么该斜坡的坡角度数约为（备用数

据：tan31°=cot59°~0.6,sin37°=cos53°-0.6）

37°

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

解：斜坡的坡角的正弦值为：卷=0.6,

则斜坡的坡角度数约为37。,

故37°.

【分析】根据解直角三角形求出斜坡的坡角的正弦值，得到斜坡的坡角度数.

17.已知菱形的边长为3,一个内角为60。，则该菱形的面积是.

9V3

【考点】等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义

解：如图所示：连接AC,过点A作AMLBC于点M,

•••菱形的边长为3,

；.AB=BC=3,

•••有一个内角是60。，

.*.ZABC=60°,

「♦△ABC是等边三角形，

.*.AM=ABsin60"=—.

2

此菱形的面积为：3x逋=些.

22

【分析】如图所示：连接AC,过点A作AMLBC于点M,首先根据菱形的性质及等边三角形的判定判断

出AABC是等边三角形，根据正弦函数的定义由AM=ABsin60。得出AM的长，再根据菱形的面积等于底乘

以高即可得出答案。

18.小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米，则他下降的高度为米.

50

【考点】解直角三角形的应用

解：；坡比为1：2.4,

ABC：AC=1：2.4,

设BC=x,AC=2.4x,

则AB=V4C2+8c2=+（2.4X）2=2.6X,

VAB=130米,

.*.x=50,

则BC=x=50（米）.

故50.

B

【分析】根据斜坡的坡比为1：2.4,可得BC：AC=1：2.4,设BC=x,AC=2.4x,根据勾股定理求出AB,然

后根据题意可知AB=130米，求出X的值，继而可求得BC的值.

19.如图，若AABC内一点P满足/PAC=/PCB=NPBA,则称点P为aABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡

尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他

的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何"的热潮.已知4ABC中，CA=CB,NACB=120。,

P为4ABC的布罗卡尔点，若PA=b，则PB+PC=.

1+9

3

【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义

作CH1AB于H.

；CA=CB,CH1AB,ZACB=120°,

；.AH=BH,ZACH=ZBCH=60°,ZCAB=ZCBA=30°,

.,.AB=2BH=2*BC«cos300=V3BC,

VZPAC=ZPCB=ZPBA,

；./PAB=/PBC,

.".△PAB^APBC,

••~PB~~PC~~BC~V'

VPA=V3，

.\PB=1,PC=—,

3

:.PB+PC=1+@・

3

故答案为1+—・

3

【分析】作CH_LAB于H.根据等腰三角形的性质得出AH二BH,ZACH=ZBCH=60°,ZCAB=ZCBA=30°,根

据余弦函数的定义，BH=BC<cos30°,故AB=2BH=2・BC・cos3(r=bBC,根据布罗卡尔点的定义及等腰三角

形的性质得出NPAB=NPBC,从而判断出△PABs^PBC,根据相似三角形对应边成比例得出粤=普=格=

rDrCoC

百,根据比例式即可算出PB,PC的长，从而得出答案。

20.（贵港）如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6,PA=8,PB=10,将线段PC绕点C顺时针旋转60。

得到P'C,连接APT则sinNPAP，的值为.

3

5

【考点】等边三角形的性质，解直角三角形，旋转的性质

解：连接PP',如图，•.•线段PC绕点C顺时针旋转60。得到PC

；.CP=CP，=6,NPCP，=60。，

••.△CPP，为等边三角形，

.•.PP'=PC=6,

•••△ABC为等边三角形，

；.CB=CA,ZACB=60°,

.*.ZPCB=ZP,CA,

在APCB^IJAPXA中

PC=P'C

{ZPCB=ZP'CA,

CB=CA

/.△PCB^APXA,

.,.PB=P'A=10,

,/62+82=102,

pp-z+AP^P/A2,

.♦.△APP'为直角三角形，NAPP'=90°,

PP'6_3

...sinNPAP'=-

10~5

故答案为I-

【分析】连接PP'，如图,先利用旋转的性质得CP=CP，=6,NPCP，=60。，则可判定4CPP为等边三角形得到

PP，=PC=6,再证明4PCB丝ZXP'CA得到PB=P，A=10,接着利用勾股定理的逆定理证明△APP，为直角三角形，

NAPP，=90。，然后根据正弦的定义求解.

三、解答题（共8题；共58分）

21.(深圳)计算|V2-2|-2cos45°4-(-1)-2+V8•

解:原式=2-夜-2、乎+：1+2夜.

=3.

【考点】实数的运算，负整数指数基的运算性质，二次根式的性质与化简，特殊角的三角函数值，实数的

绝对值

【分析】根据二次根式，负指数基，绝对值，特殊角的三角函数值等性质计算即可得出答案.

22.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60。方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行

一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45。方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离.（参考

数据：76=2.449,结果保留整数）

由题意可得NAPC=30°,ZBPC=45°,AP=80（海里）.

在RtZ\APC中，PC=PA»cosZAPC=40V3（海里）.

在RtZ\PCB中，PB=—上一=*2=40布=98（海里）.

cosNBPCcos45

答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里.

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

【分析】构造直角三角形，作PCJ_AB交于C点；由方位角易知ZAPC=30。，/BPC=45。，则根据解直角三

角形的知识解答即可.

23.（恩施州）如图，小明家在学校。的北偏东60。方向，距离学校80米的A处，小华家在学校。的南偏

东45。方向的B处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离.（结果精确到1米，参考数据:

V2=1.41,V3=1.73,V6=2.45)

北

在RtAACO中，

VZACO=90°,ZAOC=30°,

；.AC=jA0=40m,OC=V3AC=40V3m.

在RtABOC中，

VZBCO=90°,ZBOC=45°,

ABC=OC=40V3m.

AOB=70c2+BC2=40V6=40x2.45=82（米）.

答：小华家到学校的距离大约为82米.

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

【分析】作OC_LAB于C,由已知可得AAB。中NA=60。，NB=45。且OA=80m,要求0B的长，可以先求出

0C和BC的长.

24.如图，某湖心岛上有一亭子A,在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B,在这个湖心岛的湖边C

处测得亭子A在北偏西45°方向上，测得树B在北偏东36°方向上，又测得B、C之间的距离

等于200米，求4、B之间的距离（结果精确到1米）.

（参考数据：V2«1.414，sin36°«0.588,cos36°«0.809,tan36"«0.727,

cot36°®1.376）

解：过点C作CHJL4B,垂足为点H,

,BC=200,

在RtABHC中，sinNBCH=萼:

BC

BH

：.sin36°

200

Vsin36°«0.588,

:.BH«117.6

又cos/BCH=答

BC

・・cos36=——

200

'/cos36°x0.809,

HCx161.8

在RQ4HC中，tan/4cH=粤

HC

,/ZACH=45°

AH=HC

AHx161.8

又AB^AH+BH

：.ABx279.4

AAB®279（米）

答：A、B之间的距离为279米.

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

【分析】过点C作CH1AB，垂足为点H,在RtaBHC中，根据正弦函数的定义得出BH

的值，由余弦函数得出HC的值，在RtZXAHC中，根据正切函数得出AH=HC,从而根据线段的和差得

出AB的值，即A、B之间的距离。

25.某海船以(2V3+2)海里/小时的速度向北偏东70。方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东40。

方向，5小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西65。方向，求此时灯塔B到C处的距离。

因为NMAB=40°,NMAC=70°,

所以NBAC=70°-40°=30°,

又因为NNCB=65°,ZNCA=180o-70o=110",

所以NACB=45°,

所以DB=CD,AD=y/3BD.

设CD=x,贝IJBD=x,AD=V3x.

所以V3x+x=5x(273+2),解得x=10.

所以BC=10V2.

此时灯塔B到C处的距离是10V2海里.

【考点】特殊角的三角函数值

【分析】过点B作BDLAC于点D,根据特殊角的函数值，表示出边长，然后根据BD+AD=路程，求出BC

的长度。

26.(泰州)如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN

方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内.当该飞行器飞行至村庄C的正上方A处时，测得

ZNAD=60°；该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得NABD=75。.求村庄C、D间的距离（悔取1.73,

结果精确到0.11米）

解：过B作BE1AD于E,VZNAD=60°,/ABD=75°,

；.NADB=45°,

..40

.AB=6x一=4,

60

；.AE=2.BE=25

；.DE=BE=2上,

；.AD=2+2枢,

VZC=90,ZCAD=30°,

CD=-AD=1+石=2.7千米.

2N

【考点】解直角三角形的应用

【分析】过B作BELAD于E,三角形的内角和得到NADB=45。,根据直角三角形的性质得到AE=2.BE=2V3,

求得AD=2+2