全等三角形中的动点问题专题练习

全等三角形中的动点问题专题练习1、在等腰三角形ABC中，AC=BC=5，AB=8，D为底边AB上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F。求证：DE+DF=5。2、在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为4㎝。3、将边长为1的等边三角形OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2011次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2007的位置。P1(-1,0)，P3(1,0)，P50(0,1)，P2011(1,0)。4、在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE。连接DE、DF、EF。（1）求证：△ADF≌△CEF；（2）证明△DFE是等腰直角三角形。5、在等边三角形ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1个单位的速度向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处。（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中CQE的大小条件不变，证明：CQE=60°；（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确？6、如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M、N分别为EB、CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形。（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE仍然成立。证明：旋转不改变线段长度，故CD=BE；（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN不再是等边三角形。证明：当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比为4:3:2，由此可知△AMN不是等边三角形。7、在△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，D为AB的中点。（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以2厘米/秒的速度由C点向A点运动，则当PQ=4时，点P的速度为4/3厘米/秒。1.若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP全等。因为△BPD与△CQP的两边分别平行，且所夹角相等，根据运动速度相等的条件，两个三角形的对应边长也相等，所以全等。若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则需要满足△BPD与△CQP的两边分别平行，且所夹角相等，以及对应边长相等的条件。根据这些条件，可以列出方程求解点Q的运动速度。2.假设点Q以速度v从点C出发，则点P以原来的速度从点B出发。两点第一次相遇时，它们在三角形的一个顶点处相遇。因此，可以计算出点P和点Q到达三角形顶点的时间，然后比较它们的时间，取较小值即可。3.(1)当m=n时，矩形AOBC是一个正方形，因此AE=AB=EF。(2)当m≠n时，边OB上不存在点E，使得EF=AE。因为如果EF=AE，则△AEF和△ABC的三个角分别相等，但是△AEF的两个锐角之和为90度，而△ABC的两个锐角之和大于90度，矛盾。4.在△ABC中，由于AB=AC，所以角BAC为等角。因此，△ADE和△ABC相似，所以角DAE=角ACB。又因为角BCE为外角，所以角BCE=角ACB+角ABC=2角ACB=2角DAE，即角BCE为角DAE的两倍。5.(1)由于点P和点Q同时出发，所以它们到达点M的时间相同，即t=8/(2+1)=8/3秒。此时，四边形MNPQ为梯形，上底为8，下底为8-t，高为6-t，根据梯形面积公式，可以得到S=(8+8-t)*(6-t)/2=36-7t+t^2。(2)当PQ与l平行时，△MNP和△MQO全等，因此MN=OQ=2t。又因为MN=8-t，所以2t=8-t，解得t=2秒。6.(1)因为AC为正方形的对角线，所以BH=BC=BG。(2)因为BF=BC，所以角BFC=角BCF。又因为△BFC和△AKC相似，所以角AKC=角BCF。因此，角BKH=角AKC，所以△BKH和△AKB相似。根据相似三角形的性质，可以得到BE/BK=BK/AB，即BK^2=BE*AB。又因为BH=BG，所以△BHG和△BKH全等，因此BH=BG=BK/2，代入上式得到BE=BG+AE。12、已知等边三角形ABC的边长为3厘米，动点P、Q分别从A、B两点出发，以1厘米/秒的速度沿AB、BC方向匀速移动，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动。设点P的运动时间为t（秒）。（1）求解△PBQ为直角三角形的t值；（2）设四边形APQC的面积为y（cm²），求y与t的函数关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由。13、已知等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒。（1）求解线段MN在运动的过程中，四边形MNQP恰为矩形的t值，并求该矩形的面积；（2）设四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t，求解S随t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围。14、在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动。P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ。设运动时间为t（秒）。（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；（2）求解四边形PQBA是梯形的t值；（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在哪个时间段内；若不存在，请简要说明理由。15、在三角形ABC中，∠C为直角角，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm。现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ。设动点运动时间为x秒。（1）求AE、DE的长度的代数式为：AE=4x/5，DE=3x/5；（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设∆EDQ的面积为y(cm²)，则y=3x²/40-x/8，x的取值范围为0≤x≤6；（3）当x=6/5时，∆EDQ为直角三角形。EPABQDC16、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6cm，点P从A开始沿