人教版六年级数学上册第八单元数学广角-数与形（原卷版）

六年级数学上册典型例题系列之第八单元数学广角——数与形（原卷版）编者的话：《六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结和编辑而成的，其优点在于选题典型，考点丰富，变式多样。本专题是第八单元数学广角——数与形。本部分内容主要是数、形规律的类题型，以数字、数列、图形、算式等形式为主，进行规律探索。考试多以填空、选择等题型为主，题目具有一定的探索性和抽象性，其中自主探索类题目难度稍大，综合性较强，建议作为重点部分进行讲解，共划分为十三个考点，欢迎使用。【考点一】整数列规律。【方法点拨】数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。【典型例题】根据规律在下面的括号里填上合适的数。（1）1，3，5，7，（），（），13，15。（2）2，5，8，11，（），（），20。（3）50，44，38，（），（），20。【对应练习1】找规律：（1）1、4、7、10、13、16、19、（）；（2）1、2、4、7、11、16、22、29、（）；（3）2、3、5、8、13、21、34、55、（）；（4）5、5、7、10、9、15、11、20、（）、（）；（5）1、4、9、16、25、36、49、64、（）。【对应练习2】找规律（1）2、6、10、14、18、22、26、（）；（2）0.5、1.6、2.7、3.8、4.9、6、（）；（3）0、2、2、4、6、10、16、26、（）；（4）1、2、4、8、16、32、64、（）；（5）70、71、72、61、74、51、76、41、（）、（）；（6）1、8、27、64、125、（）；（7）1、6、16、31、51、76、（）；（8）1、4、5、9、14、23、37、60、（）；（9）67、66777、66677777、66667777777、（）；（10）7.7、77.07、777.007、7777.0007、（）。【考点二】分数列规律。【方法点拨】数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。【典型例题1】一列分数的前5个是12、25、310、4【典型例题2】11，12，A.

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B.

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C.

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D.

17【对应练习1】在，，，，这列分数中，第10个分数是（）。【对应练习2】找规律：、、、、、、【考点三】等差数列基本题型。【方法点拨】1.等差数列：在数列中，人们把如1、2、3、4、5、6、7、8、9这样的一串数叫做“等差数列”。2.公差：等差数列是指在一串数中，从第二项开始，后面一项与前面一项的差相等的数列，这个相等的差叫做“公差”。3.首项：这数列的第一项叫首项。4.末项：最后一项叫末项。5.等差数列通用公式：（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）【典型例题1】判断等差数列。在下面的括号填写适当的数。（1）1、4、7、10、()、()、19（2）2、3、5、()、12、()、23（3）0、2、4、()、8、10、()判断上面的数列是不是等差数列，如果是，请直接说出首项、末项、项数及公差；如果不是，说明为什么。【典型例题2】求末项。有一个数列1、5、9、13…，问这个数列的第30项是多少？【对应练习】一个等差数列：4、7、10、13…，求此数列第81项。【典型例题3】求项数。有一个数列2、5、8、11…2003、2006。这个数列共有多少项？【对应练习】请你求出数列2、6、10…2006、2010。这个数列有多少项？【典型例题4】求和。1＋5＋9＋13＋17＋21＋25＋29＋33【对应练习】1＋2＋3＋4＋…＋120【考点四】等差数列在生活实际中的应用。【方法点拨】等差数列通用公式：（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）【典型例题】一堆粗细均匀的圆木堆放在一起，最上面有1根，下面每一层都比上一层多1根，最下层有53根。这堆圆木一共有多少根？【对应练习1】屋子里有50个人，每两个人都要握一次手，那么所有人一共握多少次手？【对应练习2】A城与B城之间有10座车站（包括A城与B城这两站），每两座车站之间的距离都不相同，车票也不相同，那么往返于A城与B城之间的火车，有多少种不同的票价？有多少种不同的车票？【考点五】等差数列在图形中的应用。【方法点拨】等差数列通用公式：（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）【典型例题】如下图，摆1个正方形需4根火柴棒，摆2个正方形需7根火柴棒，摆3个正方形需10根火柴棒……照这样摆下去，摆4个正方形需（）根火柴棒；摆10个正方形需（）根火柴棒；摆n个正方形需要（）根火柴棒。【对应练习1】如图，如果正方形每个端点各摆一个花盆，n个正方形端点可摆放多少个花盆？【对应练习2】按下列规律摆放☆，则第⑤堆☆有多少个？第⑨堆☆有多少个？第n堆☆有多少个？【对应练习3】明明用小棒搭了3间房子(如下图所示)，像这样搭下去，搭5间房子要用_____根小棒；搭n间房子要用_________根小棒。【考点六】等差数列在较复杂图形中的应用。【方法点拨】等差数列通用公式：（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）【典型例题】用边长为1cm的小正方形搭如下的塔状图形，则第n次所搭图形的周长是（）cm（用含n的代数式表示）。【对应练习1】下面每个三角形图都是由一些相同的小三角形组成的。如果小三角形的边长是1，每个三角形的周长分别是多少？如果摆成一个n层的大三角形，它的周长又是多少？【对应练习2】下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的。(1)观察图形，填写下表：(2)推测第n个图形中，正方形的个数为______，周长为_____(用含n的代数式表示)。【对应练习3】观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式。（2）通过猜想，写出第n个点阵相对应的等式。【考点七】图形规律一：数形结合。【方法点拨】图形中寻找规律，还是要把图形转变成数，再寻找数字之间的规律。【典型例题1】根据上面图形与数的规律，接着这样排列下去，如果不画，你知道第10个数是多少吗？第n个数呢？【典型例题2】准备若干个边长为1厘米的等边三角形，并按下图所示一个接一个地拼接起来，然后填下表。三角形个数123456…n拼成图形的周长（厘米）回答：（1）当三角形的个数是10时，所拼成图形的周长是（）厘米。（2）当三角形的个数是100时，所拼成图形的周长是（）厘米。【典型例题3】我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。根据“杨辉三角”每行的和与所在行的关系列表如下，请将表格填写完整。行数第1行第2行第3行第4行第5行第6行……和12（）（）（）（）……规律后一行的和是前一行和的（）倍。【典型例题4】王鹏用小棒摆了四幅树状图，以下是树状图变化的规律：王鹏按照这个规律继续往下摆，第五幅树状图要摆（

）根小棒。A.

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B.

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C.

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D.

45【典型例题5】下图中的数是“三角形数”。先观察图形，再完成练习。（1）照样子画一画，并在括号里写出这个“三角形数”。（2）第1个“三角形数”：1；第2个“三角形数”：1+2；第3个“三角形数”：1+2+3；……第n个“三角形数”：________。【典型例题6】填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（

）。A.

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B.

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C.

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D.

74【对应练习】若=1，=2，=3，则=________.【考点八】图形规律二：位置变换。【方法点拨】图形位置变换的规律比较简单，注意观察位置的变化就能快速找出规律。【典型例题】找规律，接下来涂色正确的是（）。A． B． C．【对应练习1】根据下面图形的排列规律，在下面四个图形中选一个填在横线上。_________

A． B． C． D．【对应练习2】找出下面图形变化的规律，在方框中画出第四幅图。【考点九】图形规律三：图形的数字含义。【方法点拨】该类题型注意观察数字与图形的联系，找出图形与数字的相似点，再把图形转换为数字。【典型例题】下面每个图形都是由△、○、□中的两个（可以相同）构成的。观察各图形与它下面的数之间的关系，猜猜最右面图形下面的“？”表示（

）。A.

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B.

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C.

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D.

32解析：B。

观察对比图形可得：这组图形的规律是外面图形表示个位数字，里面图形是十位数字，由此可以推出：△代表2，○代表3，□代表1，据此得到最右面图形表示的数字。【对应练习】下面的每一个图形都是由△、口、O中的两个组成的。观察各个图形，根据图形下面的数找出规律，画出表示“23”和“12”的图形。【考点十】图形规律四：稍复杂的图形探索。【方法点拨】图形中寻找规律，还是要把图形转变成数，再寻找数字之间的规律。【典型例题】自主探索。仔细观察上面的点子图，根据每个图中点子的排列规律，想一想，可以怎样计算每个图中点子的总个数?请你把下表填写完整。序号1234…表示点子数的算式11+4________________…点子的总个数15________________…观察表中数据，如果用A表示第n个图形中点子的个数，A和n之间的关系可以表示成：A=________。【对应练习】小华用边长是1厘米的小正方形摆出了下面的图形，并依次写出了每个图形的周长的算式，请你根据规律将表格填写完整。正方形/个149（

）49周长/厘米44＋64＋6×24＋6×3（

）【考点十一】图形规律五：图形与算式的结合。【方法点拨】该类型题注意算式规律的变化，可先找出算式的规律，再通过图形的变化来验证算式的变化。【典型例题】根据下图的规律，第8个图形的正确列式是()。A．82－62 B．92－72 C．102－82【对应练习】妙算正方形的个数。(1)完成上面的填空．(2)照这样画下去，第6个图形有多少个正方形？【考点十二】周期规律。【方法点拨】周期问题关键在于找到一个周期是多少，然后再利用周期作除法求出问题。【典型例题】运动场上插了五颜六色的彩旗，按照两面黄旗、三面红旗、一面绿旗的顺序排列，那么第100面彩旗是什么颜色？前100面彩旗中，一共有多少面红旗？解析：这是一道典型的余数周期问题，每6面彩旗为一组（也称为一个周期），可以求出100面彩旗中一共有多少组，余数是多少，就可以知道第100面彩旗是什么颜色了，余几，那么就是一组中的第几面。再求每组有多少面红旗，余下部分有几面红旗，就能求出红旗总数了。100÷6=16(组)……4（面）16×3+2=50(面)答：第100面彩旗是红颜色的，前100面彩旗中，一共有50面红旗。【对应练习1】节日的夜景真漂亮,街上的彩灯按照5盏红灯，再接4盏蓝灯，再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯，4盏蓝灯，3盏黄灯……这样排下去。问:（1）第108盏灯是什么颜色?（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯?【对应练习2】下面图形是按规律排列的，根据规律可以判断第125个图形是（），前125个图形中这个图形共有（）个。【对应练习3】循环小数的小数部分第2012位上的数字是多少？这2012位数字的总和是多少？【考点十三】算式规律。【方法点拨】周期问题关键在于找到一个周期是多少，然后再利用周期作除法求出问题。【典型例题1】找规律，写得数。

=1-，，据上面等式，则：________【对应练习1】简便计算。1【对应练习2】计算：++++++++。【典型例题2】找规律，写结果。根据：，，那么：=________=________【典型例题3】（2019•防城港模拟）①，；②，；③，；通过观察发现：（）（填得数）。【对应练习1】（1）通过计算，探索规律：可写成；可写成；可写成；可写成