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文档简介

六年级数学上册典型例题系列之第八单元数学广角——数与形(原卷版)编者的话:《六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结和编辑而成的,其优点在于选题典型,考点丰富,变式多样。本专题是第八单元数学广角——数与形。本部分内容主要是数、形规律的类题型,以数字、数列、图形、算式等形式为主,进行规律探索。考试多以填空、选择等题型为主,题目具有一定的探索性和抽象性,其中自主探索类题目难度稍大,综合性较强,建议作为重点部分进行讲解,共划分为十三个考点,欢迎使用。【考点一】整数列规律。【方法点拨】数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律,得出数变大或变小的趋势,再分析这个数具体变化了多少,最后综合分析得出结论。【典型例题】根据规律在下面的括号里填上合适的数。(1)1,3,5,7,(),(),13,15。(2)2,5,8,11,(),(),20。(3)50,44,38,(),(),20。【对应练习1】找规律:(1)1、4、7、10、13、16、19、();(2)1、2、4、7、11、16、22、29、();(3)2、3、5、8、13、21、34、55、();(4)5、5、7、10、9、15、11、20、()、();(5)1、4、9、16、25、36、49、64、()。【对应练习2】找规律(1)2、6、10、14、18、22、26、();(2)0.5、1.6、2.7、3.8、4.9、6、();(3)0、2、2、4、6、10、16、26、();(4)1、2、4、8、16、32、64、();(5)70、71、72、61、74、51、76、41、()、();(6)1、8、27、64、125、();(7)1、6、16、31、51、76、();(8)1、4、5、9、14、23、37、60、();(9)67、66777、66677777、66667777777、();(10)7.7、77.07、777.007、7777.0007、()。【考点二】分数列规律。【方法点拨】数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律,得出数变大或变小的趋势,再分析这个数具体变化了多少,最后综合分析得出结论。【典型例题1】一列分数的前5个是12、25、310、4【典型例题2】11,12,A.

12

B.

13

C.

14

D.

17【对应练习1】在,,,,这列分数中,第10个分数是()。【对应练习2】找规律:、、、、、、【考点三】等差数列基本题型。【方法点拨】1.等差数列:在数列中,人们把如1、2、3、4、5、6、7、8、9这样的一串数叫做“等差数列”。2.公差:等差数列是指在一串数中,从第二项开始,后面一项与前面一项的差相等的数列,这个相等的差叫做“公差”。3.首项:这数列的第一项叫首项。4.末项:最后一项叫末项。5.等差数列通用公式:(1)等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2(2)项数=(末项-首项)÷公差+1(3)末项=首项+公差×(项数-1)【典型例题1】判断等差数列。在下面的括号填写适当的数。(1)1、4、7、10、()、()、19(2)2、3、5、()、12、()、23(3)0、2、4、()、8、10、()判断上面的数列是不是等差数列,如果是,请直接说出首项、末项、项数及公差;如果不是,说明为什么。【典型例题2】求末项。有一个数列1、5、9、13…,问这个数列的第30项是多少?【对应练习】一个等差数列:4、7、10、13…,求此数列第81项。【典型例题3】求项数。有一个数列2、5、8、11…2003、2006。这个数列共有多少项?【对应练习】请你求出数列2、6、10…2006、2010。这个数列有多少项?【典型例题4】求和。1+5+9+13+17+21+25+29+33【对应练习】1+2+3+4+…+120【考点四】等差数列在生活实际中的应用。【方法点拨】等差数列通用公式:(1)等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2(2)项数=(末项-首项)÷公差+1(3)末项=首项+公差×(项数-1)【典型例题】一堆粗细均匀的圆木堆放在一起,最上面有1根,下面每一层都比上一层多1根,最下层有53根。这堆圆木一共有多少根?【对应练习1】屋子里有50个人,每两个人都要握一次手,那么所有人一共握多少次手?【对应练习2】A城与B城之间有10座车站(包括A城与B城这两站),每两座车站之间的距离都不相同,车票也不相同,那么往返于A城与B城之间的火车,有多少种不同的票价?有多少种不同的车票?【考点五】等差数列在图形中的应用。【方法点拨】等差数列通用公式:(1)等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2(2)项数=(末项-首项)÷公差+1(3)末项=首项+公差×(项数-1)【典型例题】如下图,摆1个正方形需4根火柴棒,摆2个正方形需7根火柴棒,摆3个正方形需10根火柴棒……照这样摆下去,摆4个正方形需()根火柴棒;摆10个正方形需()根火柴棒;摆n个正方形需要()根火柴棒。【对应练习1】如图,如果正方形每个端点各摆一个花盆,n个正方形端点可摆放多少个花盆?【对应练习2】按下列规律摆放☆,则第⑤堆☆有多少个?第⑨堆☆有多少个?第n堆☆有多少个?【对应练习3】明明用小棒搭了3间房子(如下图所示),像这样搭下去,搭5间房子要用_____根小棒;搭n间房子要用_________根小棒。【考点六】等差数列在较复杂图形中的应用。【方法点拨】等差数列通用公式:(1)等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2(2)项数=(末项-首项)÷公差+1(3)末项=首项+公差×(项数-1)【典型例题】用边长为1cm的小正方形搭如下的塔状图形,则第n次所搭图形的周长是()cm(用含n的代数式表示)。【对应练习1】下面每个三角形图都是由一些相同的小三角形组成的。如果小三角形的边长是1,每个三角形的周长分别是多少?如果摆成一个n层的大三角形,它的周长又是多少?【对应练习2】下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的。(1)观察图形,填写下表:(2)推测第n个图形中,正方形的个数为______,周长为_____(用含n的代数式表示)。【对应练习3】观察下面的点阵图和相应的等式,探究其中的规律:(1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式。(2)通过猜想,写出第n个点阵相对应的等式。【考点七】图形规律一:数形结合。【方法点拨】图形中寻找规律,还是要把图形转变成数,再寻找数字之间的规律。【典型例题1】根据上面图形与数的规律,接着这样排列下去,如果不画,你知道第10个数是多少吗?第n个数呢?【典型例题2】准备若干个边长为1厘米的等边三角形,并按下图所示一个接一个地拼接起来,然后填下表。三角形个数123456…n拼成图形的周长(厘米)回答:(1)当三角形的个数是10时,所拼成图形的周长是()厘米。(2)当三角形的个数是100时,所拼成图形的周长是()厘米。【典型例题3】我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》,他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图,我们把它称为“杨辉三角”。根据“杨辉三角”每行的和与所在行的关系列表如下,请将表格填写完整。行数第1行第2行第3行第4行第5行第6行……和12()()()()……规律后一行的和是前一行和的()倍。【典型例题4】王鹏用小棒摆了四幅树状图,以下是树状图变化的规律:王鹏按照这个规律继续往下摆,第五幅树状图要摆(

)根小棒。A.

23

B.

31

C.

35

D.

45【典型例题5】下图中的数是“三角形数”。先观察图形,再完成练习。(1)照样子画一画,并在括号里写出这个“三角形数”。(2)第1个“三角形数”:1;第2个“三角形数”:1+2;第3个“三角形数”:1+2+3;……第n个“三角形数”:________。【典型例题6】填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,m的值是(

)。A.

86

B.

52

C.

38

D.

74【对应练习】若=1,=2,=3,则=________.【考点八】图形规律二:位置变换。【方法点拨】图形位置变换的规律比较简单,注意观察位置的变化就能快速找出规律。【典型例题】找规律,接下来涂色正确的是()。A. B. C.【对应练习1】根据下面图形的排列规律,在下面四个图形中选一个填在横线上。_________

A. B. C. D.【对应练习2】找出下面图形变化的规律,在方框中画出第四幅图。【考点九】图形规律三:图形的数字含义。【方法点拨】该类题型注意观察数字与图形的联系,找出图形与数字的相似点,再把图形转换为数字。【典型例题】下面每个图形都是由△、○、□中的两个(可以相同)构成的。观察各图形与它下面的数之间的关系,猜猜最右面图形下面的“?”表示(

)。A.

23

B.

31

C.

13

D.

32解析:B。

观察对比图形可得:这组图形的规律是外面图形表示个位数字,里面图形是十位数字,由此可以推出:△代表2,○代表3,□代表1,据此得到最右面图形表示的数字。【对应练习】下面的每一个图形都是由△、口、O中的两个组成的。观察各个图形,根据图形下面的数找出规律,画出表示“23”和“12”的图形。【考点十】图形规律四:稍复杂的图形探索。【方法点拨】图形中寻找规律,还是要把图形转变成数,再寻找数字之间的规律。【典型例题】自主探索。仔细观察上面的点子图,根据每个图中点子的排列规律,想一想,可以怎样计算每个图中点子的总个数?请你把下表填写完整。序号1234…表示点子数的算式11+4________________…点子的总个数15________________…观察表中数据,如果用A表示第n个图形中点子的个数,A和n之间的关系可以表示成:A=________。【对应练习】小华用边长是1厘米的小正方形摆出了下面的图形,并依次写出了每个图形的周长的算式,请你根据规律将表格填写完整。正方形/个149(

)49周长/厘米44+64+6×24+6×3(

)【考点十一】图形规律五:图形与算式的结合。【方法点拨】该类型题注意算式规律的变化,可先找出算式的规律,再通过图形的变化来验证算式的变化。【典型例题】根据下图的规律,第8个图形的正确列式是()。A.82-62 B.92-72 C.102-82【对应练习】妙算正方形的个数。(1)完成上面的填空.(2)照这样画下去,第6个图形有多少个正方形?【考点十二】周期规律。【方法点拨】周期问题关键在于找到一个周期是多少,然后再利用周期作除法求出问题。【典型例题】运动场上插了五颜六色的彩旗,按照两面黄旗、三面红旗、一面绿旗的顺序排列,那么第100面彩旗是什么颜色?前100面彩旗中,一共有多少面红旗?解析:这是一道典型的余数周期问题,每6面彩旗为一组(也称为一个周期),可以求出100面彩旗中一共有多少组,余数是多少,就可以知道第100面彩旗是什么颜色了,余几,那么就是一组中的第几面。再求每组有多少面红旗,余下部分有几面红旗,就能求出红旗总数了。100÷6=16(组)……4(面)16×3+2=50(面)答:第100面彩旗是红颜色的,前100面彩旗中,一共有50面红旗。【对应练习1】节日的夜景真漂亮,街上的彩灯按照5盏红灯,再接4盏蓝灯,再接3盏黄灯,然后又是5盏红灯,4盏蓝灯,3盏黄灯……这样排下去。问:(1)第108盏灯是什么颜色?(2)前150盏彩灯中有多少盏蓝灯?【对应练习2】下面图形是按规律排列的,根据规律可以判断第125个图形是(),前125个图形中这个图形共有()个。【对应练习3】循环小数的小数部分第2012位上的数字是多少?这2012位数字的总和是多少?【考点十三】算式规律。【方法点拨】周期问题关键在于找到一个周期是多少,然后再利用周期作除法求出问题。【典型例题1】找规律,写得数。

=1-,,据上面等式,则:________【对应练习1】简便计算。1【对应练习2】计算:++++++++。【典型例题2】找规律,写结果。根据:,,那么:=________=________【典型例题3】(2019•防城港模拟)①,;②,;③,;通过观察发现:()(填得数)。【对应练习1】(1)通过计算,探索规律:可写成;可写成;可写成;可写成

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