2024-2025学年广东省高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省高三(上)开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知M={x|—s讥x《9}，N={-2-巳。,勺，则MCN=()

ZZ4。3

A.{-=,0}B.{-J,0}C.{Y，05}D.{-p-^,0)

2.某公司购入了400根钢管拟切割打磨为其他产品，统计钢管口径后得以下频数分布表:

钢管口径(cm)11.012.514.016.518.520.521.022.0

频数26741004046523824

则这批钢管口径的中位数为()

A.14.00cmB.15.25cmC.16.25cmD.16.50cm

3.已知直线k：-m2x+y-1=0,直线％：(2m-3)x+y-3=0,则租=-3是11〃12的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

4.已知向量3=(2,1),3=⑺一2,爪)，若日//九贝！)|三+方|=()

A.5B.3C.<5D.72

5.在平面直角坐标系中，将圆C：产+必=1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短为原来的

则得到的新曲线的曲线方程为()

A.1+4y2=1B.9/+1=iC.4/+t=1D.^+9y2=1

9J494〃

6.在AABC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且26(sin24-s讥BcosC)=cs讥2B,若点。在8c边

上，且力。平分NB4C,贝!)4。=()

b2+c2_be小y/~3bc八b2c2

AB.而c.诉D-^

7.在电子游戏中，若甲，乙，丙通关的概率分别是|,二',且三人通关与否相互独立，则在甲，乙，丙中

354

恰有两人通关的条件下，甲通关的概率为()

A-B1QAJ)—

入56313D13

8.当a>e时，方程e%+%+Inx=Ina+?在［L+8)上根的个数为()

A.0B.1C.2D.3

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.若z在复平面内对应的点为4,z+25=3+，币，则()

A.z的实部为1B.z的虚部为一，百

C.|z|=4D.直线02的倾斜角为目

10.已知。为坐标原点，点F(l,0)是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，过点F的直线交C于M,N两点，P

为C上的动点(与M,N均不重合)，且点P位于第一象限，过点P向y轴作垂线，垂足记为点Q,点4(2,5),

则()

A.C：y2=4xB.40PQ+4F0N<180°

C.\PA\+|PQ|的最小值为，右D.A0MN面积的最小值为2

11.已知函数/(%)的定义域为R,则()

A.若/(2)>/(I),则是R上的单调递增函数

B.若/(/)=则f(%)是奇函数

C.若/Q—x)=/(I+x),且“2—x)=f(2+x),则f(x+2)=/(%)

D.若|/。)|=|/(r)|，则/'(x)是奇函数或/(尤)是偶函数

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

1

12.若2nl+5n=5，则/。出的771X32n)=.

13.函数/(久)=cos((ox+9)(3>0,^<(P<y),若/'(久)的一个单调递增区间为［一|4，且/'(0)=~|»则

/⑴=-

14.已知圆台的上、下底半径分别为r和R,若圆台外接球的球心在圆台外，则圆台的高的取值范围是

若R=2r=2,圆台的高为h,且1则圆台外接球表面积的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

在△4BC中，已知内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且a,b,c依次为等比数列｛an｝的前3项，设其

公比为q,且a>1,q>1.

⑴若a=2,qeg,2｝,求｛曲｝的前n项和％;

(2)证明：当亍=根时，长度为国a,Igb,Ige的三条线段可以构成三角形.

16.(本小题15分)

已知函数/'(%)=1%3++2x+bsinx(a,bER).

(1)当b=0时，若存在极大值，且存在极小值，求a的取值范围；

(2)证明：当a=26=2时，VxGR,>0.

17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P—2BCD中，P4_L平面2BCD,AB//CD,CD=2AB=2口,PA=BC^AD=1.

(1)求证：平面P8C_L平面PAD；

(2)若就=3DE,求平面P4E与平面PBC的夹角.

18.(本小题17分)

已知双曲线最一，=l(a>0,b>0)的离心率为竽，焦距为2回

(1)求「的标准方程；

(2)若过点(0,-6)作直线，分别交r的左、右两支于4B两点，交r的渐近线于C,。两点，求器的取值范

围.

19.(本小题17分)

将4个面上分别写有数字1,2,3,4的一个正四面体在桌面上连续独立地抛n次(n为正整数)，设X为与桌

面接触的数字为偶数的次数，p为抛正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率.

(1)当n=5时，若正四面体的质地是均匀的，求X的数学期望和方差；

(2)若正四面体有瑕疵，即

①设外是抛掷正四面体n次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，求证：p“=p+(l-

2p)Pn_iO>2);

②求抛掷正四面体n次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率.

参考答案

1.X

2.B

32

4.C

5.D

6.C

1.D

8.B

9.AB

10.ABD

11.BC

12-

13一虫

2

14.(0,V/?2-r2)20兀

15.解：(1)因为所以0<a<b(c,

由题意可知，a+b>c,

所以a+aq>aq2,

所以q2—q—l<0,qN1,

解得，竽，

因为qeg,2},

所以q=|，

所以%=生岁=2矶初—

12

n

当a=2时，Sn=4x[(|)-1]；

(2)因为a>1,Q>1,

所以0VIga<Igb<Ige,

因为2=

q

所以(/ga+Igb)-Ige=Igy=1g学=lg^=lg72>0,

所以加a+Igb>Ige,

所以长度为匈a,Igb,仞c的三条线段可以构成三角形.

1

X3

16.解:(1)当6=0时,/(%)3-+^x2+2x,定义域为R,

所以f'Q)=x2+ax+2,

因为〃久)存在极大值，且存在极小值，

所以「(久)必须有两个不同的零点，

所以4=a2-4x2>0,

所以a>或a<

即a的取值范围是(―8,—2，E)U(2/2+8).

1

(2)证明：当a=2b=2时，/(x)=-%3+%2+2%+sinx,定义域为R,

所以/'(%)=/+2%+2+cosx=(%+I)2+(1+cos%),

当％ER时，(％+1)2之0,1+cosx>0,

所以/'(%)>0,

当且仅当仁荔+呼力时，取等号，

因为｛:二荔+呼ez)无解，

所以「(支)>0.

17.解：(1)证明：如图，取CD的中点为G,连结力G,

因为CD=24B=2所以4B=CG,因为4B〃CD,

所以四边形力BCG为平行四边形，

所以4G〃BC,

在三角形ZGD中，因为AG==1,AD=1,GD=芋=

所以AG2+4。2=DG2,所以aG_L4。，

所以BC1AD,因为P4_L平面ABGD,BCu平面力BCD,

所以PAIBC,因为P4CAD=4PAu平面PAD,ADu平面PAD,

所以BC，平面PAD,因为BCu平面PBC,

所以平面P8C1平面PAD.

(2)由AGJ.AD,PAI平面ABC。，得4G,AD,4P两两垂直,

分别以4G,AD,4P所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则G(1,O,O),£)(0,1,0),P(0,0,l),

C(2,-l,0),B(l,—1,0),

因为比=3庞,CD=2，2，所以=又所以E为DG的中点,

因为HD=4G,所以GD14E,又P2_L平面ABC。，GOu平面ABCD,

所以PAIGO,因为PACAE=4,PA,2Eu平面P2E,

所以GD1平面/ME,

所以平面P4E的法向量为旗=(-1,1,0).

又正=(2,-1,-1),而=(1,-1,-1),

设平面P8C的一个法向量为元=(x,y,z),

所以E屈=2x-y-z=0,取元=(o,i,_i),

in-PB=x—y—z=0

所以平面PAE与平面PBC夹角的余弦值为：

|cos<n,GD>\~而同-声成"5'

所以平面24E与平面PBC的夹角为泉

18.解：(1)因为T：>，=l(a>0,6>0)的离心率为半，焦距为2门，

c_V_6

所以z=彳，

2c=2y/~3,

解得Q=度，c=-/3,所以b=、-q2=1,

所以r的标准方程为4y2=1.

(2)由题意可设直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=kx—l,双曲线「的渐近线方程为y=士言

不妨设C,。分别在左、右位置，

XL

y一方，得见=釜

(y=kx—1,y/2k-l

联立?=一言，得”品，

iy=kx-1,y^2k+l

所以|CD|="+1比—四|="+k2*|m3—焉1|=号¥，

x__2_-1

联立1万-V=b得(1一2/)/+4"-4=0,

y—kx—1,

设4(乙，%)，3(久2，%)，

[71[|.4k—4

则》1+X2=—口，/右=口'

(1-2k2*0,

由卜=16k2-4x(1-2k2)x(-4)=16(1-fc2)>0,

r1%2=母<°,

得肥<1,

22

所以=V1+k\xr-x2\=V1+/cxJ(%1+%2)2—4%1%2

16(1-必)

V1+fc2x

\l-2k2\|1-2^|

所以甯=产珥=J2(lf2),

7

CD\xc-xD\*'

又。《好<H)e(1,72],

所以甯的取值范围为(1,JI].

19.解：(1)因为正四面体的质地是均匀的，p为抛掷正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率，

所以P=3=g，

进一步得，X〜B(5』)，

1E11E

所以E(X)=np=5X5=弓，D(X)=np(l-p)=5x-x---

ZZZN4;

(2)证明：①因为pn是抛正四面体n次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，

所以pn_