北京市某中学2023-2024学年高一年级上册期中检测数学试题

北京市第一六六中学2023〜2024学年度第一学期期中检测试卷

局一数学

一、选择题（每题5分，共10题.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

1.己知集合4={"''},若IwA,则％=（）.

A.1或-1B.1C.-1D.-1或0

【答案】C

【解析】

【分析】根据元素与集合的关系，结合元素的互异性，即可求解.

【详解】由于IwA,若x=l,则f=1，不合题意；

'%WX2

所以《，，解得x=—1，

[x2=l

故选：C

2.下列函数中，既是奇函数，又在区间（0,+。）上单调递增的是（）.

A.y=B.y=~—c.y=lgxD.y=x2+l

【答案】B

【解析】

【分析】根据基本函数的奇偶性，以及单调性即可逐一判断.

【详解】对于A,y=在R上单调递减，故不符合题意，

对于B,/（%）=—工定义域为（一”,0）U（0,+8）,

且/■（—%）=故=为奇函数,

XX

且〃x）=-4为（0,+"）上的单调递增函数，故B正确，

X

对于C,丁=坨工的定义域为（0,+8）,定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，不符合要求，

对于D,g(x)=*+1定义域为R,JLg(-%)=(-%)'+l=x2+l=g(x),

故g（x）=*+l为偶函数，不符合要求,

故选：B

3.下列函数中，满足“V%>0,都有/(7)=2/(%)”的是

A.y=2*B.y=lgxC.y=x2D.丁=%

【答案】B

【解析】

【分析】逐个代入判定是否相等即可.

【详解】对于A：/(/)=2,，2/(x)=2x+1,显然2『=2向不恒成立，A错误；

对于B：/(x2)=lgx2=21gx,2/(%)=21gx,所以恒成立，B正确;

对于C：/(X2)=(X2)2=X4,2/(X)=2X2,显然f=2/不恒成立，C错误；

对于D：f(x2)=x2,2/(%)=2x,显然*2=2x不恒成立，D错误，

故选：B

4.己知函数则函数/(无)(

A.具有奇偶性，且在定义域上是单调递增函数B.具有奇偶性，且在定义域上是单调递减函数

C.不具有奇偶性，且在定义域上是单调递增函数D.不具有奇偶性，且在定义域上是单调递减函数

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数奇偶性，根据单调性的性质判断单调性.

【详解】要使函数/(x)=f+log2X,则X>0,所以函数+k)g2］的定义域为(0,+81),

其定义域不关于原点对称，故函数/(%)不具有奇偶性;

又函数y=/在(0,+。)上单调递增，函数y=log2X在(0,+。)上单调递增，

根据单调性的性质(增函数加增函数为增函数)知，函数/(x)=d+log2X在(0,+e)上单调递增.

故选：C.

5.若od,则下列不等式中必然成立的一个是().

ab

A.a-d>b—cB.ac>bdC.—>—D.a2+c2>b2+d1

dc

【答案】A

【解析】

【分析】利用不等式性质和举反例逐一判断即可.

【详解】对于A,因为c>d,所有—d>—c,

又因。>匕，所以Q-d>Z?-c,故A正确；

对于B,当1=2,/?=0,。=一1,4=。时，ac=—2<0=bdf故B错误；

Hh

对于C,当。=03=-1,。=一Ld=—2时，一=0<1=—,故C错误；

dc

对于D,当。=0力=-L,c=-l,d=-2时，a2+c2=l<5=b2+d2,故D错误.

故选：A.

21

6.设0=2$b=4,c=log40.125,那么a,b,c的大小关系为().

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】

【分析】应用指数运算和对数运算，求出。的值，再应用指数函数的单调性，估计出5=4">42=16,

即可判断

【详解】a=2T=』=±,

216

5=42」”=16，

13

c=log0.125=log-=一一,则c<a<L.

4482

故选：D

7.已知函数/(兀)=加+~+c(a>0),“函数在上单调递增”是的().

A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据二次函数的单调性，即可作差比较/。)</(5)判断充分性；由/。)</(5)得—五<3,根

据对称轴与二次函数的单调性的关系即可判断必要性.

【详解】/(x)=G；2+6x+c(a>0)为开口向上的二次函数，

且/(5)=25a+5b+c,f(l)=a+b+c.

①若”可在［1,内)上单调递增，贝卜?41,

由〃〉0得，b>-2a,

此时/（5）-/（1）=24a+4b>24a-8a=16a>。，

所以/。）</（5）,

即"%）在[L同上单调递增n/⑴</（5）；

②若/⑴</⑸，则〃5）-/⑴=24a+41>。,

b

则〃>-6〃，所以——<3,

2a

当1<—2<3时，/（X）在1,一二单调递减，

2aL2aJ

故/（1）</（5）#>/（%）在[1,舟）单调递增，

综上可知，"函数”%）在口,内）上单调递增”是“/⑴</（5）”的充分不必要条件，

故选：A

犬2X〉0

8.已知函数/（x）=；—，若8』，都有/（X）,则实数m的取值范围是（）.

—X,x<0

A.[-1,+oo）B.[-2,+<x））C.（-co,-l]D.（-oo,-2]

【答案】D

【解析】

【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可.

【详解】当1目0,转）时，/（%）=炉之0且函数八%）为增函数，

当x>0时，则一％<0,贝！1/（—尤）=一（一无）一=一尤2=—/（尤），

当x（f。，。）时，/（X）=--<0且函数为增函数，

此时-X>0,则/（-尤）=（一元『=尤2=_/（无），

所以函数/（%）是R上的增函数，且/（%）为奇函数，

则+,即为,

所以x+mW—x对恒成立，

即m<-2x对Vxe（y。,日恒成立，

当时，（-2耳皿=-2,

所以加V-2,

所以实数加的取值范围是2］.

故选：D.

9.定义在R上奇函数了(尤)的图象是一条光滑连续的曲线，在区间(-<9-1］上单调递增，在区间

上单调递减，且/⑶=0,则不等式/(力/(X+5)<0的解集是().

A.(-8,-5)。(-3,3)B.(-8,-5)u(-3,-'2)D(0,3)

C.(-8,-2)o(0,3)D.(-8,-3)o(-3,-2)o(-2,3)

【答案】B

【解析】

【分析】先根据函数的奇偶性求出函数的单调区间，从而求出/(x)>0和/(x)<0时，x的范围，再由

小)小+5)<。可得储\)<。或］/+5)〉。’进而可得出答案

【详解】因为函数/(%)是定义在R上的奇函数，所以/(。)=0,

又函数八%)在区间(-8,-1］上单调递增,

所以函数八%)在区间［l,w)上单调递增,

又/⑶=0,所以/(—3)=0,

又因函数/(%)在区间［-1,1］上单调递减,

所以当/(x)>0时，—3<%<0或x>3,

当/(x)<0时，0(尤<3或大<—3,

〃x)〉°f/(x)<0

由/(%)/(%+5)<。，得《或《

/(x+5)<0^/(x+5)>0

-3<%(0或x)3、j0<%<3或％<-3

即0<_¥+5<3或¥+5<-3取］-3<*+5〈0或兀+5)3

解得一3<%V一2或一8<％<—5或0<xv3,

所以不等式/(力/(x+5)<0的解集是(—8,-5)5-3,—2)50，3).

故选：B.

10.全集U={1,2,3,•••,«},A^U,定义函数fA(x)=\'(xet/),

U,XeA

H=A(I)+A(2)+A(3)+L+人⑺.设全集为U,Ac。,则下列说法中正确的是().

①若\/x^U,都有fA(x)<fB(x),则AO3；

②若VxeU,都有/UB(X)=A(X)+%(X)，则AC6=0；

③若AD5=U,则VxeU,都有人(x)+%(x)=l；

④若网+同=〃，则=

A.①②B.①③C.①②④D.③④

【答案】A

【解析】

【分析】根据特征函数的定义，结合集合的运算以及特殊值，即可判断和选择.

【详解】若尤eACB,则以(x)=%(x),若xeAn许8,则以(x)>/(x),

若xeBngA,则以(x)<%(x),若xed(AUB)，则人(%)=/5(%).

对①，X/xeU,都有人(力4盒⑴，则不能存在xeAC距§的情形，所以得A。3,①正确；

对②若X/XGU,都有以产(%)=11(%)+力?(％)，当了€4。3时，x&A\JB,则简少(%)=1，

■A(x)+Z?(x)=1+1=2,

故其不能含有xwACB,即AcB=0,②正确；

对③若人°5=。，则X/xeU，当Ac5w0时，若xeACB,则以(力+人(力=1+1=2,③错

误；

对④，设4={1,2,3,...(九一1)},B={1},则—+恸=〃，但AuBwU,④错误.

故选：A

二、填空题(每题5分，共8题)

11.函数/(X)=J1-九+log2X的定义域是.

【答案】(0』

【解析】

【分析】根据开偶数次方根号里的数大于等于零和对数的真数大于零即可得解.

【详解】由/（x）=jl-x+log2龙,

,l-x>0

得〈c，解得0<%<1，

x>0

所以函数/（尤）=JT三+log2X的定义域是（0,1].

故答案为：（0,1].

12.命题0：“Vxe[—1,3],a20”的否定形式为

【答案】3%e[—1,3],x2—a<0

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.

【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，

2

所以命题”的否定形式为玉4―1,3],x-a<Q.

故答案为：3%e[—1,3],x2—a<0'

13.已知幕函数/（力=伍+2）/的图象经过点（2,8）,则a2=

【答案】一3

【解析】

【分析】根据塞函数的定义求出出。即可得解.

【详解】由基函数/（%）=e+2）£,

得0+2=1,所以b=」，

故〃x）=x",

又函数了（%）的图象经过点（2,8）,

所以2a=8，所以a=3,

所以。巧=—3.

故答案为：-3.

14.计算1限建5+21咤遥2-log拓5=------------

【答案】4

【解析】

【分析】根据对数运算法则进行计算得出结果.

【详解】原式=log&45+logn4-log&5=log&［号T=l°g庭36=log通(M=4.

故答案为：4.

15.己知a>0且awl,a"'=4，a"=3,贝UqT=,a2m-n=.

【答案】®.1##0.5②.—

23

【解析】

【分析】应用指数幕运算性质及根式和指数式的互化即可.

2mn

a^a=(a")+a"=宁

故答案为：y;—

23

16.小明说，对于一个定义在R上的函数/(九)，如果我证明了“VxeR,都有我就可以判

定函数了(%)有最小值.为了向小明说明他的结论是错误的，可以作为反例的一个函数是/(九)=

【答案】/(x)=2*-1(答案不唯一，满足条件即可)

【解析】

【分析】取/(x)=2，—1,利用y=2"的定义域为R,值域为(0,+“)，即可得出结果.

【详解】易知，/(x)=2，—1的定义域为R,

因为函数丁=2'是定义域上的增函数，值域为(0,+。)，所以/(x)=2,-1〉-1恒成立，

但函数/(%)=2*-1没有最小值，

故答案为：/(x)=2*-1(答案不唯一，满足条件即可)

r门丫1

17.设全集U=R,集合A={y|y=log2无,x>2},集合8=y=-,y>m\,若AuB=U,则实

数m的取值范围是.

【答案】［*一

【解析】

【分析】首先求解集合A3,再根据集合的运算结果求实数加的取值范围.

【详解】当X>2时，y=log2X为单调递增函数，所以y>l,即4={引丁>1},

y=为单调递减函数，当加时，即[g]2相时，解得即3=<%》<1081机),

若—5=。，

则解得：0<%vL

22

所以实数加的取值范围是[o,g.

故答案为：[o,g

,、[(2-4a)ax+a,x<l

18.已知函数〃x)=C),a>0且awl.

[inx,x>l

(1)a=；时，函数了(%)的最小值为；

(2)若函数/(%)值域为R,那么实数a的取值范围是.

13

【答案】①.0②.一<。<已

24

【解析】

1，/、(-r+-,x<i

【分析】⑴当a="〃力=’44,分别求出x<l和时，函数值的范围，即可求出

,[inx,x>l

结果；

(2)因为时，丁=1111：的值域为[0,+00),从而得出(一8,0)是函数y=(2-4a)4+a(x<l)值域

的子集，即可求出结果.

1,、(-)x+-,%<1

【详解】(1)当/(力=144,

[inx,x>l

由解析式易知，当尤<1时，/(无)单调递减，X21时，/(x)单调递增，

所以，当x<l时，/(%)>-+-=-,当X21时，/(%)>lnl=o,

442

故〃=；时，函数/(x)的最小值为0.

(2)因为时，y=lnx的值域为[0,+8),

所以(一8,0)是函数y=(2-4〃)优+a(x<1)值域的子集，

2-4(2<0

13

故,解得一<。工一，

24

(2-^a)a+a>0

13

所以实数，的取值范围是一<】V—,

24

13

故答案为：(1)0；(2)——.

24

三、解答题(共四小题，共60分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.)

19.设全集U=R,集合4=卜卜|«2},3=卜/一2取一3/<。}.

(1)当a=l时，求5c(电A)；

(2)若—6e3,求实数a的取值范围；

(3)若Au5=(—3,2],求实数a的值.

【答案】(1)Bn(d[/A)={%|2<%<3}

(2)(-OO,-2)<J(6,-HK)

⑶-1

【解析】

【分析】(1)根据绝对值不等式求解集合4进而求出A的补集，再根据交集运算求解即可；

(2)根据元素与集合的关系列不等式求解即可；

(3)根据并集结果，对集合B分类讨论求解即可.

【小问1详解】

集合A={x[,W2}={H—2<X<2},所以加力={x\x<—2或x>2},

当a=1时，B=-2x-3<oj={尤|一1<x<3},

所以BC(VL)={H2<X<3}；

【小问2详解】

因为—6e5,所以(―6『—2a・(—6)—3/<0,化简得片一44_12>0,

所以(a—6)-(a+2)>0,所以a>6或a<—2,经检验符合题意，

所以实数a的取值范围为(-8,—2)D(6,+8)；

【小问3详解】

由(1)知A={闻-2K2}=[―2,2],

因为Au5=(—3,2],所以一3是集合B中的一个端点，即—3是方程V—2℃—34的一个根,

所以(一3)2—2ax(—3)—3a?=0,即/一2a—3=0,解得<2=—1或°=3,

当。=_]时，B+2x-3<oj=1%|-3<%<1}=(-3,1),

此时AD5=(—3,2],符合题意，

当a=3时，B={x,-6x-27<()}=1x|-3<x<9}=(-3,9),

此时Au5=(—3,9),不合题意，

综上，实数。的值为-1.

20.已知函数〃x)=^

(1)判断函数“X)的奇偶性，并证明；

(2)判断函数/(%)在(1,+8)上的单调性，并用定义证明；

(3)直接写出函数/(九)的值域.(无需写出推理过程)

【答案】(1)奇函数，证明见解析；

(2)单调递减，证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据函数奇偶性的定义判断与证明即可；

(2)根据单调性的定义，取值、作差(变形)、定号、下结论等步骤进行证明即可;

(3)分尤>0和尤<0讨论，运用基本不等式可求得值域.

【小问1详解】

/(X)为奇函数，理由如下：

Y

函数/(%)="—,定义域为R,所以XER,-xeR

%+1

贝IJ/（-x）=（；=--r-7=-f（x）,

（-%）+1%+1

所以/（X）为奇函数.

【小问2详解】

"%）在（1,+8）上单调递减，证明如下：

证明：任取占,尤2W（1,+CO）,且％%,则

f（ry_石々=X］X；+X］—々X；—X2_（石々一1）（々一玉）

八2—才+广石+广（才+0代+1）一储+网考+1）

因为％2〉药〉1，所以々-X］〉0,玉%2-1〉0

所以/i（石）一］（々）＞0,即I/1（%）＞—

故函数/（X）在（1,+0。）上是减函数.

【小问3详解】

X

因为/（x）=-7,所以/（。）=。.

1+X~

f（）=1v1J

当》＞0时，”x）＞o,ir~^~^

尤Vx

当且仅当工=x,即X=1时，等号成立，

X

所以0＜/（x）＜g.

/（X）=一二—＞,二1_=-1

2,

当x＜0时，/（%）＜0,，+（f）2l（r）」

（-X）V（-x）

当且仅当二-=（-X）,即x=—1时，等号成立，

-X

所以一］wf（x）＜o.

所以函数/⑴的值域为［-

21.近年来，某企业每年电费为24万元.为了节能减排，该企业决定安装一个可使用15年的太阳能供电设

备接入本企业电网.安装这种供电设备需一次性投入一笔工本费G（单位：万元），金额与太阳能电池板的

安装面积x（单位：平方米）成正比，比例系数左=0.5.该企业估算，安装后每年的电费C（单位：万元）

A

与太阳能电池板的安装面积尤（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=---（x＞0,6为常数），

'）20%+100

如果维持原样不安装太阳能电池板，每年电费仍然为24万元.记尸为工本费G与15年的电费之和.

（1）求常数6的值，并求安装10平方米太阳能电池板后该企业每年的电费C；

（2）建立/关于x的函数关系式；

（3）安装多少平方米太阳能电池板后，厂取得最小值？最小值是多少万元？

【答案】21.b=2400,C（10）=8（万元）

22.F=^^+0.5%,x>0

x+5

23.当x=55时，产取最小值，最小值是57.5

【解析】

A

分析】（1）将x=0代入C（x）=--------即可算出力，进而可求得c（io）；

'720%+100

（2）由题意尸就是C与安装费用之和，再结合（1）即可得解;

（3）运用基本不等式求最小值即可.

【小问1详解】

b

将x=0代入。（力得:C=—=24解得6=2400,

20%+100100

所以C（x）=上”，

,）20%+100

则C（10）=——U—=8（万元）；

,）200+100

【小问2详解】

由（1）得：

2400

产与x的函数关系式为：F=15x-+0.5x=—+0.5x,x>0;

20x+100x+5

【小问3详解】

F="四+0.5%=———+（0.5x+2.5）-2.5>2A/900-2.5=57.5,

x+50.5x+2.51）

当且仅当一包也一=0.5x+2.5,即龙=55时等号成立，

0.5x+2.5

所以当x=55时，尸取最小值，最小值是57.5.

22.如图，将数字1,2,3,…，23）全部填入一个2行”列的表格中，每格填一个数字.第一行填

入的数字依次为外,与an,第二行填入的数字依次为4，打，…，么.记

S“=WJq-伪|=|。1一仇|+|。2—%|+L+\an-bn\.

i=l

a2an

4b2bn

(1)当〃=3时，若q=Lg=3,%=