高考数学复习第22讲数列求和的求解策略（解析版）

第22讲数列求和的求解策略

【典型例题】

2

的前〃项和

例1.（2022•云南模拟）设等差数列伍“｝的前N项和为若为=8，S6=57,则数列

4A+1

是（）

A.B.」一C.3-D.」一

2〃+33〃+26/2+46〃+4

【解析】解：设等差数列的公差为4,

因为〃3=8，S6=57>

解得d=3,6=2,

所以a〃=3〃—1,所以—一-------------二—(-------------)

44+1(3〃一1)(3〃+2)33n—13〃+2

所以数列[二一1的前.〃项和为：—+—+—++-------------

[4〃〃〃+42x55x88x11(3〃-1)(3〃+2)

=­(--------)H(--------)+H(---------------------)=-(---------------)=----------

32535833〃-13〃+2323〃+23〃+2

故选：B.

嬴（〃为正奇数）

例2.（2022春•辽宁期中）已知数列｛”"｝满足q=•，则数列｛4｝的前10项和为（

4上二）（"为正偶数）

)

w-加2Q

A.-+/n6B.—+ln6C.D.--Ini

911119

/（〃为正奇数）

【解析】解:由于数列%=,

//包心］（〃为正偶数）

故数列的前10项和为

(4+4+织+%+小3+%+%+火+%)=(1-那*收-'+/〃.%••%)=存4

故选：B.

例3.(2022秋•蒸湘区校级月考)数列｛〃“｝的通项公式是4=(-2),则该数列的前100项之和为(

)

A.-200B.-150C.200D.150

【解析】解：勺=(一1)〃(3九一2),

。踪_1+——(3/?—2)+(3/?+1)=3.

..・号0G=(-1+4)+(—7+10)+...+(-295+298)

=3x50=150.

故选：D.

例4.(2022秋•葫芦岛期末)函数y=/(x),对任意实数x,y均满足/(盯)=W(x)+4(y),且/(3)=3,

数列｛”,,｝，｛"｝满足/=/学，2=生2，则下列说法正确的有③④

3"n

①数列｛《｝为等比数列；

②数列｛2｝为等差数列；

③若S”为数列｛?也,｝的前"项和，则S=3+(27)3-；

④若Tn为数列｛——!——｝的前”项和，则7；,<1；

I"3b“T

2

⑤若R”为数歹U｝的前〃项和,则用,<与之

【解析】解：因为对定义域内任意x,y，/(x)满足/(个)=W(x)+MG)，

n

hlll/(3)/(3"T)f(3")-3/(3"T)3/(3"T)+3"-"(3)—3/(3，i)

则a„-4T=-^；-----=------------------=-------------------------

=出=1为常数，

3

故数列为等差数列，故①错误；

■f(3)=3.f(xy)=xf(y)+yf(x),

.•.当x=y时，，f(x2)=xf(x)+xf(x)=2对,(x),

则/(32)=6f(3)=18=2x3"

/(33)=32/(3)+3/(32)=33+6X32=3X33,

则，(3")=〃x3",

若4=0

n

A3")

则工^«W(3")=5.3"

%"3"二)叭3"T)n(n-\)­?>"-'

n—\

则数列g,,｝为等比数列，故②错误；

n2

an-b„=n-3,Sn=1-3+2-3+...+n-3%

3S“=L32+2-33+―+〃-3"",两式相减可得-2S“=3+32+…+3"-〃,3"”，

=3a-T)_w3„+1>化简可得$3+(2〃-1)3e，故③正确；

1-3.4

1111

---------=----------------,

a〃•n-(n-l)n-in

T=1--+---+...+—----=1--<1,故④正确；

〃223n-\nn

y]an-log3bn+[=J/?./%*="5+D，

当”=1时，R=42>—,故⑤错误.

2

故答案为：③④.

例5.(2022•新高考I)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规

格为20加x12加的长方形纸，对折1次共可以得到18加型1以加，20向加两种规格的图形，它们的面

积之和E=2404"，，对折2次共可以得到,10而7x6”〃，20d〃?x3而i三种规格的图形，它们的

面积之和$2=180力”2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5；如果对折葭次，那

么ZS*=dm。.

k=l

3355

【解析】解：易知有20dmx[dm,\0dmx不dm,5dmx3dm,dmx6dm,[dmx12dm,共5利।规格;

由题可知，时折火次共有A+1种规格，且面积为可，故&=240(",

则2〃既=24。2"导61，记北=2n号Z--L1，则;1<=Z"6端-1-1，

k=l£=1乙A=lN乙k=\乙

+1<左+1_|六左+2(2+1、〃+1

•二日=乙^7■"一乙3^7T=I+(7F一乙■^7T)一~T^

乙*=1乙*=1乙£=1乙k=i乙

4。2"“)〃+1_3〃+3

=1+^~~——

•••2&=240(3--)-

*=i/

故答案为：5；240(3-幸).

例6.数列｛4｝满足a“q+(T严”“=3〃T，前16项和为540,则的=_-2

【解析】解：因为数列｛4｝满足4+2+(-1产4=3〃-1,

当葭为奇数时，an+2+an=3n-1,

所以03+4=2,%+%=14，%i+%=26,al5+al3=38,

则q+4+%+%+%+q।+%3+。15=8。，

当〃为偶数时，4+2—4=3〃一1,

所以4_。2=5，4_%=][，/-4=17,40-仆=23,《2-《0=29,al4-«12=35»al6-al4=41,

故。4=5+%，4=16+。2，%=33+。2，40=56+电，42=85+%,44=120+%,al6=161+a2,

因为前16项和为540,

所以％+/+4+4+%()+%+。14+46=540-80=460,

所以8%+476=460,解得出=-2.

故答案为：-2.

例7.(2022•西安一模)已知数列｛《,｝的前〃项和为S“，满足4=],%=2,2(S,“2+S,)=4S,M+1,则数列｛《,｝

的前16项和S-=84.

【解析】解：2—+5,,)=45,川+1,化为―“M)—(SM-S.)=3,即*一％=；，

—q=g,为等差数列，公差"=g，4=g.

故答案为：84.

例8.(2022春•广元期中)己知等差数列｛q｝,满足叩=的叩,+%叩2,其中P,鸟三点共线，则数

列｛4｝的前16项和s“=8.

例9.（2022春•播州区校级月考）已知递增等差数列｛〃"｝的前”项和为5.,且生+1=42,0，七，八成

等比数列.

（I）求数列伍“｝的通项公式；

1

（II）设2=」一，且数列｛2｝的前〃项和7；,求证:<

6-

【解析】解：（I）设递增等差数列伍“｝的首项4,公差d>0.1分

%+S5=42,4,4，演成等比数歹U・

Jq+2d+54+104=42

一1(q+3d)2=q(q+12d)（3分）

又14>0,

解得4=3,d=2_______(5分)

4,=4+(〃-l)d=2〃+l..................(6分)

(2〃+1)1(2〃+3)=$2〃+12〃1+3

(II)：—)（9分）

“Mm

Tn=bt+b2+...+bn

11」+...+1

-4--)（10分）

5572/1+12/7+3

I

（12分）

2n+3……

例10.（2022•衡阳二模）已知数列｛七｝是递增的等差数列，%=7，且。4是4与小的等比中项•

（1）求数列伍“｝的通项公式;

；③从上面三个条件中任选一个，求数列｛｝的前〃

(2)①6“=a(a)n；②匕=2=—^,2

ni弧十向

项和Tn.

【解析】解：（1）｛““｝是递增的等差数列,数列｛〃“｝的公差d>0.

q+2d=7

由题意得:

(q+3d>=q•(4+12d)

角毕得：q=3,d=2,

an=3+2(〃-1)=2n+1；

(2)选①时，2=4/；=(2〃+1>3〃,

T"=b、+瓦+瓦++/>„=3-3'+5-32+7-33++(2〃+1).3",

则37；=3・32+5,3+7-34++(2〃+1>3"”,

两式作差得：-27；,=3-3'+2-32+2-33++2-3),-(2n+1)-3n+l=-2«-3n+1,

,,+l

7；,=n-3;

选②时，an+]=2(/7+1)+1=2/7+3,

______1

J2〃+1+12〃+322

T„=bt+b2+b3++2=-；•[(6-b)+(6-V7)+(V7-囱)++G/2〃+l-x/2〃+3)]

，2"+3-石

二;

2

选③时，bn=--—=-------------------=—(—------------—)»

4MJ+I(2〃+1)(2〃+3)22〃+12〃+3

.777111111

.mm++*=-(Z---+--y+4--------------------)

w2/1+12/1+3

n

6〃+9

例11.（2022秋•鼓楼区月考・）已知数列｛4｝是公比为g的等比数列，前〃项和为S“，且满足q+/=2q+l,

S3=3a2+1.

（1）求数列｛为｝的通项公式:

4用-4，"为奇数

⑵若数列电｝满足仇=

13a„.求数列｛4｝的前2〃项和也.

―；----，"为'

4。-54+1

【解析】解：(1)4+%=2q+l,S3=3al+1，

22

/.4+a]q=2^+1,4+a]q=2%q+1,

解得4=1,q=2.

a“+i-a"，”为奇数

（）数列｛或｝满足〃=•

2——，〃为偶数'

4a--5a„+1

_3%,_3X2"T__J________

―4a；“-5a2,+l.4x(22"-1)2-5x22"-1+1"22'-'-1~22n+l-l

数歹ij｛〃,｝的前2〃项和

&=(4+仇+…+4”,)+他+4++^„)=(I+4+4:+...+4^')+(^^-^J^+^J^-^^+...+^—+j-=14

»+2__

322n+,-1

例12.(2022秋•鼓楼区校级月考)已知数列｛%｝的前"项和为5,,且4=2,5„+1=3S„+2,数列｛2｝满足

b.=2,如="工，其中〃wN*.

bnn

(1)分别求数列｛a,J和｛/｝的通项公式;

(2)在a“与a,川之间插入”个数，使这〃+2个数组成一个公差为c”的等差数列，求数列g,总｝的前"项和7；.

【解析】解:(1)•,S„+l=3S„+2,

时,a„+I=5„+I-S,,=35„+2-(3S„_I+2),｛E^a„+1=3a„,

”=1时，2+%=3x2+2,解得°2=6,则。2=3《，满足上式，

••・数列｛"“｝是等比数列，公比为3,首项为2,

,凡=2X3”T.

数列｛"｝满足仿=2,^±1_=",其中zieN*.

b.n

.bnb.b.b-,,〃+lnn-\43c/2

"ibn_2bn_Ab2仇n-\n-2n-321

(2)在％与4”之间插入"个数，使这〃+2个数组成一个公差为C,的等差数列，

则2x3"=2x3”T+(〃+l)g,解得%=-3"T,

〃+1

bncn=4n.y-',

数列也£｝的前八项和々=4(1+2x3+3x32+…+小3”‘)，

.'.37；,=4[3+2x32+...+(rt-l)-3,,-1+n-3,'],

—1

相减可得：-27；=4(1+3+32+…+3向一小3")=4G--------n-3"),

3—1

化为：7>(2〃-1)・3〃+1・

【同步练习】

选择题

L（2022•岳阳二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影

响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行1+2+3+…+100的求和运算时，就提出了倒序

相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算

法.已知某数列通项4=受詈，则4+g+…+/o=（）

A.98B.99C.100D.101

小市*2M-1002(101-n)-1002H-1002〃-102。

【解析】解：山题忌，a+a,_=-----------+—-----------------=------------+-----------=2,

n}Q1n2n-1012(101-^)-1012/1-1012/2-101

所以4+40G=4+%=…=区0+。51，

所以4+a2+,♦♦+q(x)=(q+Goo)=(%+“99)+.,,+)=50x2=1()0.

故选：C.

多选题

2.（2022秋•烟台期末）已知各项均为正数的等比数列满足4=3,%/=144,其前”项和为5“.数列

｛2｝的通项公式包=上一，设｛〃,｝的前”项和为7；,则下列说法正确的是（）

SjS"+i

A.数列｛%｝的通项公式为%=3x2"T

B.S„=3x2n-1

C.7；随〃的增大而增大

【解析】解：对于选项A：设等比数列｛6｝的公比为q，则4>0,

344

4=3,:.a2a4=al^-<21^=a^q-9q=144,

..q=16,q=2,

n,1

;.an=atq-'=3-2-,故选项A正确，

对于选项B-.S„=3(；二;)=3(2"-1)=3x2"-3,故选项B错误，

nB+,

对于选项C:.F“=3・2”T,4+|=3・2”,S„=3x2-3,Sn+I=3x2-3,

,3-2"2"111、

/.b„=---------------------------：------=----------------：-----=—x(-z--------------；),

"(3x2"-3)(3x2向-3)3(2n-1)(2,,+|-1)32"-12n+l-1

FT。->9+……+(右-出-七)，

随着"的增大而减小，

2，）一1

，7；随着”的增大而增大，故选项C正确，

对于选项（=1x（1--?—）,7；随着"的增大而增大,

又一J—>0，

T1

屋

71

T<-，故选项。正确，

9"3

故选：ACD.

3.（2022秋•烟台期末）已知数列12,I」,？』」,2,3」，…，贝1］（）

233444

A.数列的第幽土D项均为1B.竺是数列的第90项

213

C.数列前50项和为28D.数列前50项和为卫

2

【解析】解：由题意，可将题干中的数列转化为1,2,1,2,3,1,I,2,1

1223334444

则可发现该数列分母为1,2,3,4,...

且分母是几对应的就有几项，

---------=1+2+...+〃，

2

.•.数列的第迪里2项为分母”的对应的最后一项2=1,故选项A正确,

2n

・U是分母为13的倒数第二项，

13

「仁一13x（1+13）〜

HU1+2+…+13=--------------=91,

2

10

上是数列的第91-1=90项，故选项5正确，

13

令，仇+」）,,50,gp〃（〃+1）,,100,

2

当〃=9时，9xI0=90<100,

当"=10时，10xll=110>100,

.••数列前50项为分母10的第5项，即为工，

10

AkT.T-i,az..-「否r'/1+21+2+31+2+...+91+2+...+5

.•.数歹|J刖5cr0项和n为1+——+------+…+-----------+-----------

23910

=1+。+。+?+3+庠

222222222

=—,故选项。正确，选项c错误.

2

故选：ABD.

三.填空题

【解析】解：满足。P=4O4+45O鸟，其中6，P，鸟三点共线，

可得出+%=1，

由等差数列｛〃〃｝，可得q+。16=〃2+《5=1，

则%=gxl6(q+a16)=8.

故答案为：8.

4.(2022•杨浦区三模)若两整数。、6除以同一个整数机，所得余数相同，即±±=k(%eZ),则称a、b

m

对模同余，用符号a三伙mod〃?)表示，若。三6)(a>10),满足条件的。由小到大依次记为q,

a2...an....则数列｛%｝的前16项和为976.

【解析】解：由两数同余的定义，

皿是一个正整数，对两个正整数。、b,若是，"的倍数，

则称.、匕模m同余，

我们易得若am10(mod6)(a>10),

则a-10为6的整数倍，

则a=6n+i0>

故a=16,22,28,…均满足条件.

由等差数列｛4｝的前n项公式S”+若，

则九=16x16+1"?-1)X6=976.

故答案为:976.

5.(2022•淮南一模)已知数列“｝满足4=1,%=2,%+2=(1+cos?冒)q+sir?管，则该数列的前16

项和为546.

【解析】解:当麓=21一1伏£N*)时,%+1="21+1，数列｛出j｝为等差数列‘=q+、-1=、

k

当〃=2Z(ZwN*)时，%+2=2%,数列他J为等比数列,a2k=2.

该数列的前16项和S]6=(q+/+...+45)+(。2+。4+-，+46)

=(1+2+...+8)+(2+2~+...4-2s)

8x(l+8)2X(28-1)

=------1-------

22-1

=36+29-2

=546.

故答案为：546.

6.设数列｛%｝的通项公式为q=2〃-7(〃eN*),则|《|+⑷+…|%|=」6…。跚3,〃eN'

[〃一6〃+18,几.4,〃wN

【解析】解：,数列｛〃〃｝的通项公式为〃〃=2〃-7(〃wN"),

/7

/.由凡=2〃-7..0,得n..,

%=—1<0,=1>0,

q=2-7=-5,d=a2-a]=(2x2-7)-(2xl-7)=2,

Sn=nx(-5)+?(：」)x2=-6〃.

当掇h3,zieN*时,&|+|出1+…1%1=-S〃=6〃一”2,

当几.4,〃wN*时，14|+14I+…I。〃1=S〃-2s3=n2-6n-2(9-18)=n2-6«+18.

(6〃一/,1釉3,〃wN*

・♦・iqi+iazi+iUrJu1。/一・

故答案为：釉3,〃wN**,

[-6〃+18,.4,〃£N

7.已知在数列｛q｝中，4=-2,4=-2,且外,2-4=1+(T)"，则$=525

【解析】解：..a„+2-a„=1+(-1)%

•••数列仅”｝的偶数项构成以2为公差的等差数列，奇数项构成常数列,

又，4=-2,a2=—2,

[-2,〃为奇数

n-4,〃为偶数

=25.21

二525,

故答案为：525.

8.(2022•合肥一模)在平面直角坐标系xOy中，点<(2","+(；)'")(〃eM),记△川的面积为S”,

则”,=_(2〃-亍⑷+三一

/=133

【解析】解：4(2",上空竺)(〃€“)，可得

2,,+,

'I(22"T,0),&G",2〃)，^„+,(2,0),

则面枳为S„=L2H.(22M+I-22"-1)=3».22"-',

设S==3(1.2+2.23+3.25+...+n^22'-'),

1=1

4S=3(1.23+2.2s+3.27+...+n.22n+1),

两式相减可得-3S=3(2+23+2$+…+22"-'-n.22n+,)

2(1-4")

=3(-.....-------n.22,1+1),

1-4

77

化简可得S=(2〃—-).4n+-.

33

故答案为：(2〃-；)・4"+：.

四.解答题

9.已知正项数列｛”"｝的前”项和为S“，满足2s.=4+±.

an

(1)求数列｛4｝的前”项和S,,；

4

(2)设———，求收｝的前〃项的和

+S〃+i

A

【解析】解：(1)因为25〃=anH---，

4

所以，当上=1时,由¥=%,得2S]=S]+—,

4

因为a〃>0,所以S]=4=2,

44

1

1几.2时，由2Sn=cin4---，得2S〃=Sn-S〃_]+------—,

整理得，S；-S：T=4,

所以数列｛S；｝是首项为2,公差为4的等差数列,

所以S；=2+(〃-l)x4=4"2,

所以Sn=V4/7-2；

44/-----/-----

(2)〃=-------=/---/=>/40+2—\l4n-2，

S”+S〃+]J4〃+2+\l4tt—2

Tn=Z?1+为+4+...+b*=遥—叵+V10-«+V14-VlO+...+J4〃+2-j4〃-2=-^2+J4〃+2.

10.(2022秋•天津期中)设数列｛4｝的前〃项和为Sn，且=2an-2.数列电｝满足：%1=d+1，且4=2.其

中〃eN".

(1)求｛〃〃｝,电｝的通项公式；

(2)记数列｛c,J满足%=―组一("€%*),证明：c[+c2+...+c„<-.

。向也也+12

【解析】解(1)由S,=2a”一2①(〃eN*),

可得5向=乜+「2②,

②-①得4+i=2a"(〃eN*),

所以数列｛%｝是公比为2的等比数列，

①式中令〃=1，可得4=耳=2q-2,解得4=2,

所以a,=2"(〃eN")；

山bn+l-bn=l,易知数列｛2｝是公差为I的等差数列，

又4=々+1=2,所以4=1,

所以包=n(nwN")；

n+2_11

(2)证明：g

n(n+1).2"+|-~(n+1).2B+1

所以q+q+…+c,=(g占)+(万卜白)+…+(焉-品己才)

-------------<一

2(〃+1).2旬2

11.(2022•南京模拟)已知数列｛”“｝是递增的等差数列，%=3,若q,a,+a2成等比.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

(2)若"=3"”，数列[——也——[的前〃项和S,,,求S”.

[S“+1)(%+Dj

【解析】解：(1)由｛%｝是递增的等差数列，.id〉。，

又〃2=3，.•.〃]=3—d,a5—a3=2dt%+&=6+5d,

又4,a5-a3,%+4成等比数列，

・•・(2d)2=(3-d)(6+5d),

又d>0,:.d=2；

「•4=1,=2〃-1；

2n-,2n+,

(2)由(1)bn=3,^+1=3,

.4d11

..-------------——(-------------),

(%+1)(%+1)2b.+l%+1

、

Sc=—1(.--1----------1---+----1--------1---++----1---—1)x=—1(z1—1)=—1—--------1-------

"24+1为+14+14+1…2+1么川+124+1包3+182-32w+,+2

12.已知数列｛a〃｝满足4=(,且当〃..2时，有-4=.

(1)求证：数列｛'｝为等差数列：

an

(2)令b,=,求数歹！]｛"｝的前”项和5,,.

【解析】证明：(1)数列｛〃“｝满足4=3，且当〃..2时，有%-q=4%”“，

整理得：—--=4(常数)，

a„%

所以数列｛-!-｝是以5为首项，4为公差的等差数列.

a„

解：(2)由(I)得：—=5+4(«-1)=4»+1；

a„

当(i)”为奇数时，〃+1为偶数；

所以S,=\+1-b„+l=2(〃+l)-[4x(n+l)+l]=-2n-3,

(")当〃为偶数时，由于4+4=4,4+，=4,b2k_1-Fb2k=4,

故S=2x4=2〃：

“2

J-2H-3(〃为奇数)

2〃(〃为偶数).

13.(2022秋•泉州期中)已知数列｛”“｝满足a,=3qi+2(〃..2),且q=2,数列出｝满足:

△+%+%+……+4=2”(〃eN*).

234n+\

(1)求数列｛“"｝与｛2｝的通项公式；

(2)求数列｛«„+4｝的前”项和5„.

【解析】解：(1)数列｛氏｝满足q=341+2(“..2),且4=2,可得数列｛q｝满足4+1=3(%+1)(=2)

,所以数列｛《,+1｝是以首项为3,公比为3的等比数列，可得/+1=3",an=y-l.

数列｛d｝满足：8+%+%+……+互=2〃(〃eN*).

234n+1

“..2时，幺+%+色+……+蛆=2〃一2两式相减可得9=2,

234nn+\

所以，bn=2(n+l).又伪=4,满足通项公式，

所以2=2(〃+1).

(2)an+bn=3"+2n+\,

数歹ij｛an+bn｝的前"项和

5,=(31+32+33+--+3")+(3+5+7+..+(2〃+1))=3(1-3")+(3+2“+1)”=上+“2+2〃_..

"1-3222

14.(2022•沙坪坝区校级二模)已知数列伍“｝的前，项和为5“，其中弓=1.己知向量。=(2,4,),〃=(“+1,

S")(〃eN*),且存在常数4,使〃=劝.

(1)求数列｛”,｝的通项公式；

n+,s

(2)若数列电｝满足地+幽+…+ah=2+(n-l).2(ne/V),求数列｛an+4｝的前n项和T„.

【解析】解：(1)•.•存在常数4,使4=26,，a//b,

.•.2S.=-①

.•.2S„+l=(n+2)a„+l,②

②一①，得：2«„+|=(n+2)an+l-(n+l)a”,

整理，得出L=%对任意的〃wN*恒成立，

n+\n

.•・｛%｝是常数列，，％=幺=1,

nn1

4=〃.

(2).+小仇+…=2+(〃-1).2"+|(〃£N*),

n+2

/.afy+a2b2+...+。“+也,+i=2+ru2(neN*),

两式相减,得为+也7=(〃+1).2向,

由(1)知％+[=〃+1,.,./?〃+]=2*1

:.b.=2〃,几.2,

=2,.♦.4=2,

.•.2=2"(〃£”)・

••Tn=(I+2+3+...+/2)+(2+2"+2，+…+2”)

心+1)2(1-2")

=--------------1---------------

21-2

=〃(〃+1)+2,_2.

2

15.(2022秋•云阳县校级月考)已知数列满足，％=卜"+1'"?££?；.4=1・

U-2,”为偶数时，

(1)若数列｛4｝为数列｛〃,,｝的奇数项组成的数列，｛&｝为数列｛〃“｝的偶数项组成的数列，求出J,C2,G，

并证明：数列｛〃,｝为等差数列；

(2)求数列｛a,｝的前22项和.

【解析】解：(1)q=4=q+l=2,-c2=a4=a,+1=a2—2+1=1.

q=4=%+1="4—2+1=0,

由题意知，〃+l=%,+|=%“=+1-2=O2“T-1=d-1,所以数列｛〃,｝是首项为1,公差为—1的等差

数列.

(2)cn+]=a2n+2=a2n+l+l=a2a-2+l=a2n-l=cn-l,所以数列｛%｝是首项为2,公差为-1的等差数列,结

合(1)可知，｛/｝的奇数项和偶数项都是以-1为公差的等差数列，

'万以S£=4+03++%=(《+«,++%)+(<+«++%)=(4+々++a,)+(C,+c*++q,)=lxl1+1l^*^x(-l)+2xl1+—^―x(-l)=-77-

16.(2022春•青山湖区校级期中)已知数列仅“｝是公差为2的等差数列，①，%,%成等比数列.

(1)求｛可｝的通项公式；

(2)令a=a“-3,求数列的前〃项和5“.

【解析】解：(I)因为数列｛4｝是公差为2的等差数列，％，%成等比数列，

所以公=Cl1cli,

所以(4+4)2=4(4+12),

解得4=4,

所以a〃=4+(〃—1)x2=2"+2；

(2)bn=an-3=2n-\,

...8〃8〃11

所rr以，,-=-----9---------=-------7-----------'

年比I(2〃-1)2(2〃+1)2(2〃-1)2(2〃+1)2

因此，5〃=(".最)+(*.()+(**)+=

17.设数列｛4｝的前〃项和为S,,且q=l,1.2时，(〃一1)5“=2码_1+〃(”—1).

(1)证明｛&+1)为等比数列，并求数列｛《,｝的通项公式；

n

(2)若数列电｝满足4=2,当〃..2时，勿=制1，求=+1r+…+丁」的值.

2-1b2—\b202l—1

【解析】解：(1)证明：(n-l)Sn=2nSn_i+n(n-1),(n..2),

一.'=J+l,(〃..2),

nn-\

SSS

，+l=2(-^~+l),(几.2),又」+l=q+l=2,

nn-\1

...｛2+1)是以首项为2,公比为2的等比数列，

n

S

・•・-2-+l=2n,

n

二〃・2"-〃-5-1)・2%(〃-1)

=5+l)・2〃T-l,(九.2),

又4=1也满足上式，

。〃=(〃+1),2"।-1；

(2)由(1)知当〃..2时，2=也孝=生二=2〃，

〃2〃一32"-3

又足4=2也满足上式，

:也=2〃，(nGN"),

111)

一片一1一而2-122n-l2n+l

-;-------1*---------F...4----------

彳一1b2Tb2(m-1

=;"$+—+•♦•+焉-焉)1

=-x(1-----)

24043

2021

4043

18.（2022秋•河东区校级月考）已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，公比q>0,S2=2^-2,53=a4-2

数列｛〃,｝满足%=4白>也+1-+=n2+〃(weN*).

(1)求数列伍“｝的通项公式;

(2)证明数列为等差数列;

n

-迫，〃为奇数

2

(3)设数列｛%｝的通项公式为总=•其前"项和为7；,求

皿，"为偶数

4

【解析】解：（1）已知等比数列他“｝的前”项和为

Sn,公比q>0,S2=2%—2,S3=4一2,

所以S3—S2=%—勿2=生，

整理得一2a2=%q，

由于％工。，

整理得夕2r—2=0,

由于q>0,

所以q=2,

由于S2=4+4=2%—2,解得q=2；

所以4=2X2〃T=2〃.

证明：(2)由于数列｛£｝满足出=44,

所以4=1;

且曲+i-(〃+l)b“=n2+n(neN"),

整理得媪—4=1(常数)，

n+1n

所以数列｛g｝是以1为首项，1为公差的等差数

列.

(3)由(1)和(2)知：4=1+(〃-1)=”，所

n

2

以bn=n；

-妆,〃为奇数

设g=(?,

如，〃为偶数