高中数学1-2集合间的基本关系（分层作业）

L2集合间的基本关系（分层作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2022•江苏•高一）设集合M={5,N},N={5X,5}.若用=2，则实数x的值组成的集合为（）

A.{5}B.{1}C.{0,5}D.{011}

【答案】C

【分析】利用集合相等求解.

【详解】解：因为〃=N,

所以x?=5x,

解得x=0或5，

\x的取值集合为{0,5},

故选：C

2.（2022•江苏•高一）下列集合中表示同一集合的是（）.

A.M={（3,2）},N={（2,3）}

B.M=1x|x+l>Oj,N={y[y+l>0}

C.M={（x,y）|x+y=l},N={^x+y=l}

D."={1,2},TV={（1,2））

【答案】B

【分析】根据集合相等，检查集合中的元素是否一样即可判断.

【详解】选项A,集合M,N为点集，而点（3,2）与点（2,3）为不同的点，故A错；选项C,集合“为点集,

集合N为数集，故C错；选项D,集合M为数集，集合N为点集，故D错；选项B,集合M,N表示的

都是“大于T的实数“，为同一个集合.

故选：B

3.（2022•江苏・高一）设集合4={止1"<3},集合8={小之〃},若则。的取值范围为

（）

A.a>3B.-l<a<3C.a>-\D.a<-\

【答案】D

【分析】直接由AqB求解即可.

【详解】由AfB可得。4一1.

故选：D.

4.（2022・江苏・高一）已知集合人={-2,3,1},集合8={3,加}.若3qA,则实数机的取值集合为

（）

A.{1}B.{百}C.{1,-1}D.1石}

【答案】C

【分析】根据8是A的子集列方程，由此求得加的取值集合.

【详解】由J,81A,所以毋=1n〃?=±1,

所以次数，〃的取值集合为{1,-1}.

故选：C

5.（2022•全国•高一专题练习）己知A={x|x2=i},8=卜|1=：］,若8=A,则。的值为（）

A.1或一1B.0或1或一1C.-1D.1

【答案】A

【分析】4={一1，1}，若则1=±1,据此即可求解.

a

【详解】A-{x|x2=!}-{-!,1},8={X|X=5}={1},

若5qA,则'=1或一1,故a=l或一1.

a

故选：A.

6.（2021•浙江•玉环中学高一阶段练习）集合2=代|"2+3区-1=0}至多有1个真子集，则。的取值范围

是（）

999

A.a£—B.aN—C.u=0D.。=0或aW—

444

【答案】D

【分析】由题意得M元素个数，分类讨论求解

【详解】当a=0时，M=（1）,满足题意，

9

当awO时，由题意得△=9+4aK0,得a4—,

4

9

综上，。的取值范围是（---二］{0}

故选：D

7.（2022・全国•高一专题练习）下列四个选项中正确的是（）

A.B.la{0,1}C.0e{O,l}D.le{0,l}

【答案】D

【分析】根据集合与集合的关系及元素与集合的关系判断即可；

【详解】解：对于A：故A错误;

对于B：故B错误；

对于C：0^{0,1},故C错误；

对于D：%{0,1},故D正确；

故选：D

二、多选题

8.（2022.河北•石家庄市第十五中学高一开学考试）设4={4吗，4}，8={小=耳，则（）

A.A=BB.AGBC.0eZ?D.AcB

【答案】BC

【分析】根据题意先用列举法表示出集合8,然后直接判断即可.

【详解】依题意集合8的元素为集合A的子集，

所以3={0,{《},{4},{旦}，{《吗}14，%}1%%}1%，，，%}}

所以

所以AD错误，BC正确.

故选：BC

9.（2022.全国•高一专题练习）下列关系正确的是（）

A.Og0B.0£{0}

C.{0}£{0}D.0g{0}

【答案】ABD

【分析】利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系判断即可.

【详解】由空集的定义知：0£0,A正确.

0={O},B正确.

{0}<X{O},C错误.

0${0},D正确.

故选：ABD.

三、填空题

10.（2021・广东・江门市广雅中学高一阶段练习）已知集合4={0,1},则集合4的真子集个数为.

【答案】3

【分析】根据集合A,写出其真子集，即可得答案.

【详解】因为集合人={0,1},

所以集合A的真子集为{0}、{1}、0,

所以集合A在真子集个数为3.

故答案为：3

11.（2022・全国•高一专题练习）已知集合4=1--2%-3=0},B={x\ax-2=Q\,且8=4,则实数a

的值为.

【答案】。=-2或。=：2或0

【分析】先求得集合A,分情况讨论，a=0,8=0满足题意：当"0时，B=何6-2=0}=1},因为BaA.

22

故得到一二一1或一=3,解出即可.

aa

【详解】解：已知集合4={xy-2x—3=0}={-1,3},B={x|ar-2=0},

当々=（）,3=0,满足A；

当aW0时，B={x|a¥-2=0j=^-|j,

222

因为Bq故得到一=一1或一=3,解得。=一2或。=；；

aa3

2

故答案为：。=一2或或0.

12.（2022.江苏.高一单元测试）满足{l}qA${l,2,3}的所有集合A是.

【答案】{1}或{1,2}或{L3}

【分析】由题意可得集合A中至少有一个元素1,且为集合{1,2,3）的真子集，从而可求出集合A

【详解】因为{1}=4£{1，2,3},

所以集合A中至少有一个元素I,且为集合{1,2,3}的真子集，

所以集合A是{1}或{1,2}或{1,3},

故答案为：{1}或{1,2}或{1,3}

四、解答题

13.（2022•全国•高一专题练习）已知集合4=（打2。<》<。+1},B={x|-1<x<5},求满足AU8的实

数”的取值范围.

【答案】

【分析】根据集合之间的关系，列出相应的不等式组，解不等式组即可求解.

【详解】由题意，

集合A={x|2avxv々+1},B={x|-1<x<5},

因为若A=0,则为之。+1,解得aNl,符合题意；

2a<a+\

若AH。，贝，2“2-1,解得」4a<1,

2

4+145

所求实数。的取值范围为一；，+8）

14.（2022.全国.高一专题练习）设集合A={x|-14x46},B={x\m-l<x<2m+}],且81A.

（1）求实数皿的取值范围；

（2）当xeN时，求集合A的子集的个数.

【答案】（1）{加1机<-2或04m4|},（2）128

【分析】（1）按照集合8是空集和不是空集分类讨论求解；

（2）确定集合A中元素（个数），然后可得子集个数.

（1）当m一1>2加+1即m<一2时，B=0,符合题意；

m-\<2m+1

当8工0时，有，”12-1,解得

,2

2m+1<6

综上实数"7的取值范围是{加1加<-2或os,”s|）;

⑵当xeN时，A={0,1,2,345,6},所以集合A的子集个数为2t=128个.

15.（2020・四川・双流中学高一阶段练习）已知集合「={》|-2<》<3},2={x|x-«>0）

（1）若2口。，求实数〃的取值范围；

（2）若尸Q=0,求实数。的取值范围.

【答案】⑴（-8,-2],⑵[3,+oo）

【分析】（1）由已知，「口。可得集合户是集合。的子集，结合两个集合的范围，可得直接求解出实数。的

取值范围.

（2）山已知，PQ=0可得集合P和集合。没有交集，结合两个集合的范围，可得直接求解出实数。的取

值范围.

⑴已知P={x|-2<x<3},Q={x\x>a],要满足PqQ,

即尸中的任意一个元素都是。中的元素，则aM-2,

即实数〃的取值范围是：（YO，-2|

（2）当尸2=0,即产与。没有公共元素，

因为尸和。都不可能为空集，

所以要使得两个集合没有公共元素，则a±3,

即实数a的取值范围：[3,+8）.

—【能力提升】

一、单选题

1.（2021.湖北.孝感市孝南区第二高级中学高一期中）给出下列关系式：①Ow0：②—3eZ：

③{0}=卜,2=@；④{0}uN,；⑤{1}建,（x,y）|其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】①空集中不含任何元素，由此可判断①；

②-3是整数，故可判断②正确；

③通过解方程f=X,可得出{#2=@={0,1},故可判断③；

④根据N*为正整数集可判断④；

⑤通过解方程产二）'=；，得（x,y）『x二从而可判断⑤.

[x+4y=51[x+4y=5\"

【详解】①0任0，故①错误;

②-3是整数，所以—3eZ,故②正确；

③由f=x,得x=0或x=l,所以k.=耳={0,1},所以正确;

④N*为正整数集，所以{0}=N*错误；

⑤由产得[*=；，所以[（x，y『；*=；]={（1』）},所以[错误.

）

[x+4y=5[y=l[x+4y=5j17[[x+4y=5

所以正确的个数有2个.

故选：B.

2.（2021•河南•高一阶段练习）规定：在整数集Z中，被7除所得余数为人的所有整数组成一个“家族”，记

为因，即冈={7〃+K〃eZ},Z=0,l,2,3,4,5,6,给出如下四个结论：①2021e[5]；②一3«3]；③若整数

a,6属于同一“家族”，贝崎-。€网；④若“-武网，则整数〃，人属于同一“家族”.其中，正确结论的个

数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据“家族”的定义逐一判断四个选项即可得正确答案.

【详解】对于①：因为2021=288x7+5,所以2021e[5],故①正确；

对于②：因为—3=7x（-1）+4,所以-3e[4],故②错误；

对于③：若〃与方属于同一“家族"，则a=7〃]+k,b=ln2+k,。-6=7（/一巧）e[0]（其中々,々wZ）,

故③正确；

对于④：若。一匕e[。],设a-8=7”,〃eZ,即a=7"+/?,，?eZ,不妨令人=7加+%,meZ,%=0,1,2,3,4,5,6,

贝||a=7帆+7〃+&=7（加+〃）+%,weZ,weZ,所以a与b属于同一“家族”，故④正确；即①③④为正确

结论.

故选：C.

3.（2021.辽宁•东北育才双语学校高一期中）已知集合A={x|lMx<5},B=卜卜〃<x4“+3}.若3u（Ac5）,

则a的取值范围为（）

C.D.I——,+°°I

【答案】C

【分析】由集合包含关系可得5=讨论3=0、3*0分别求参数范围，最后取并集即可得结果.

【详解】由Bu（AcB）,可得8=A,

当5=0时，—。2。+3,即。4一三,满足题设；

2

3[-tz213

当时，一ava+3,即—,且<，可得—1：

2[。+3<52

综上，〃的取值范围为（7,-11

故选：C.

4.（2022•江苏•高一单元测试）已知集合A={1,3,叫，8={1,J£},81A,则机=（）

A.9B.0或1C.0或9D.0或1或9

【答案】C

【分析】根据8uA可得标=3或后=根，根据集合元素的互异性求得答案.

【详解】由81A可得：y[m=3\/m=m,

当JW=3时，m=9,符合题意；

当标=相时，，"=0或，”=1,但，〃=1时，8={1,1}不合题意，

故m的值为0或9,

故选：C

5.（2022•全国•高一专题练习）已知集合A={x*-3x+2=0},B={x|-l<x<5,xe7V},则满足4aCt）B

的集合C的个数为（）

A.4B.7C.8D.15

【答案】B

【分析】由题知A={1,2},8={0,1,2,3,4},进而根据集合关系列举即可得答案.

【详解】解：由题知A={x|f—3X+2=0}={1,2},8={x|-l<x<5,xwN}={0,123,4},

所以满足CUB的集合C有{1,2},{1,2,3},{0,1,2},{1,2,4},{0,1,2,3},{0,1,2,4},{1,2,3,4},

故集合C的个数为7个.

故选：B

6.(2022.全国•高一专题练习)同时满足：①M={1,2,3,4,5},②awM,则6—aeM的非空集合M有

()

A.6个B.7个

C.15个D.16个

【答案】B

【分析】根据所给条件确定M中元素，再根据M是所给集合的子集，得到所有的M即可求解.

【详解】。=1时，6-。=5；。=2时，6-«=4；。=3时，6-62=3；。=4时，6—a=2；。=5,6—a=1,

二非空集合M为{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5),共7个.

故选：B

二、多选题

7.(2021.福建福州.高一期中)已知集合例={2,4},集合M=N£{1,2,3,4,5},则集合N可以是

()

A.{2,4}B.{2,3,4}

C.{1,2,3,4}D.{1,2,3,4,5}

【答案】ABC

【分析】根据集合的包含关系，逐一检验四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】因为集合用={2,4},

对于A：%={2,4}满足知=汽£{1,2,3,4,5},所以选项A符合题意：

对于B：米={2,3,4}满足加=%£{123,4,5},所以选项B符合题意；

对于C：/={1,2,3,4}满足3U溢吊{1,2,3,4,5},所以选项C符合题意;

对于D：N={1,2,3,4,5}不是{1,2,3,4,5}的真子集，故选项D不符合题意，

故选：ABC.

三、填空题

8.(2022・全国•高一专题练习)若集合A={x|(a-l)x2+4k-2=0}有且仅有两个子集，则实数。的值是一

【答案】±1

【分析】分析出集合A有I个元素，对“讨论方程解的情况即可.

【详解】因为集合A=k|(a-l)f+4x-2=0}有且仅有两个子集，

所以集合4有1个元素.

当a=l时，A={x|4x-2=0}={；},符合题意；

当时1时，要使集合A只有一个元素，只需A=42—4(a—l)x(—2)=0,解得：a=-l：

综上所述：实数a的值是1或-1.

故答案为：±1.

9.(2021•全国•高一课时练习)集合A={x-y,x+y,切，B=+y2,%2-y2,o},若A=8,则x+y=.

【答案】-1或1

【分析】由元素互异性可得即x-ywO且x+ywO,可得刈=0,再由x—y/x+y可得ywO,

x=0,在讨论y>0、y<0时，根据元素的确定性列方程组可得N的值即可求解.

【详解】因为8={*2+儿必—广0},所以/-丁#0即(x—y)(x+y)H0,

所以x-y*。且x+yw。，可得孙=。，

因为x-yHx+y,所以"0,x=0,

当x=0时，A={-y,>•,()},8={丁,一丁,0},

当y>0时，尸/2可得:>=1，

[_y=_y

—y=y2

当y<0时，,可得：y=-1,

j=-y

所以x+y=_i或i,

故答案为：-1或1.

10.(2022・江苏•高一)已知集合人={幻324或x<—5},8={x|a+14x4a+3},若51则实数。的取

值范围_________.

【答案】{a|a<—8或。23}

【分析】根据804,利用数轴，列出不等式组，即可求出实数。的取值范围.

【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，

BAA

----------------------------6-----------------------------------------------------------

<7+1a+3-504x

或

AA—'B―

----------------------------6---------------------------------------------------------

.504。+1。+3x

要使8=只需a+3<-5或a+124,解得。<一8或

所以实数。的取值范围{。1。<-8或a23}.

故答案为：{。|4<-8或。23}

11.（2021・江西•赣州市赣县第三中学高一阶段练习）已知集合出{1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,

3,4,5},B={4,5,6,7,8},则是集合［/的子集但不是集合A的子集，也不是集合8的子集的集合个数

为.

【答案】196个

【分析】先找出集合U的子集个数，再减去集合4或集合8的子集个数，即可得出结果.

【详解】集合U的子集个数为28,其中是集合A或集合B的子集个数为2$+2,-22,所以满足条件的集合

个数为2**-（2,+254）=196.

【点睛】本题主要考查子集的概念，解题的关键是会判断子集个数.

四、解答题

12.（2022•四川凉山高一期末）已知集合4={#2+2》+机=0},是否存在这样的实数处使得集合A有

且仅有两个子集？若存在，求出所有的，〃的值组成的集合〃；若不存在，请说明理由.

【答案】存在，{1}

【分析】当方程有一解时，集合A只有一个元素即可满足题意.

【详解】存在实数小满足条件，理由如下：

若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，

即方程f+2x+m=0只有一个根，

，A=2?-4加=0，解得%=1.

•••所有的m的值组成的集合M={1}.

13.(2022・全国•高一专题练习)已知集合4=*€/?|32一2》+1=0},在下列条件下分别求实数"的取值

范围：

(1)A=0；

(2)A恰有一个元素.

【答案】⑴(1,茁),(2){0,1}

【分析】(1)若A=0，则关于x的方程加r2-2x+l=0没有实数解，则机#0,且A=4—4机<0,由此能求

出实数〃1的取值范围.

⑵若A恰有一个元素，所以关于x的方程〃言-2x+l=0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值

范围.

(1)若A=0,则关于x的方程如、2x+l=0没有实数解，

则mw0,且△=4-4m<0,

所以机>1,实数，”的取值范围是(1,+8)；

(2)若A恰有一个元素，

所以关于x的方程/nr?-2x+l=0恰有一个实数解，

讨论：①当帆=0时，x=g,满足题意；

②当时，△=4一4〃?=0,所以，"=1.

综上所述，，〃的取值范围为{0,1}.

14.(2022.全国.高一专题练习)已知A={dY+4x=0},8={x|x?+2(a+l)x+a2-1=0}.

(1)若A是8的子集，求实数。的值；

(2)若8是A的子集，求实数。的取值范围.

【答案】(1)。=1;⑵4,-1或4=1.

A>0

【分析】(1)由题得B=A={T,O},解-4+0=-2(“+1)即得解；

-4x0=a2-l

(2)由题得8=A,再对集合B分三种情况讨论得解.

(1)解：由题得A={T,O}.

若A是8的子集，则B=A={_4,0},

A>0

所以<-4+0=-2(〃+1),.二〃=1.

-4x0=/-1

(2)解：若8是A的子集，则8aA.

①若5为空集,则A=4(a+l)2-4(a2-l)=8i+8<0,解得av-1；

②若8为单元素集合，则△=4(“+l)2-4(/-l)=8a+8=0,解得a=-l.

将”=一1代入方程*2+2(。+1)欠+。2-1=0,

得犬=0,即x=0,1B={0},符合要求：

③若8为双元素集合，3=A={-4,0}，则。=1.

综上所述，a,T或a=l.

15.(2021•全国•高一课时练习)已知集合4={即4%<3},B={x|l<x<a}.

(1)若A黑B,求实数a的取值范围；

(2)若BgA,求实数a的取值范围.

【答案】(1)[3,4^)(2)(—,3)

【分析】(1)根据A些B,结合集合的包含关系，即可求得〃的取值范围.

(2)根据结合集合的包含关系，即可求得。的取值范围.

【详解】(1)由题意，集合A={x|l«x<3},8={x|iw},

又由A些B,可得aN3,

所以实数。的取值范围是[3,4W)；

⑵由集合A={x[14x<3},B={x|l<x<a},

又由BoA,

当3=0时，«<1,满足题意；

[a>\

当时，\.

\a<3

所以

综上可知:。＜3,

即实数〃的取值范围是（—,3）.

16.（2021.全国•高一课时练习）已知集合用=何2/一犬-6=0},N={x|or-2=0},且N。"，求实数〃

的值.

4

【答案】0或或1.

【分析】解一元二次方程求出集合M,根据可分为N=0和NW0两种情况来讨论，构造方程求得

结果.

[详解】集合M={x|2x2_x_6=0}=卜|,21

依题意NUM,则可分N=0和NX0两种情况.

当a=0时，N=0,符合题意；

f217324

当4H0时，N=〈一卜，QNUM,二*=一三或*=2,解得。=——或4=1.

⑷a2a3

4

所以实数"的值为0或或1.

17.（2021.全国•高一课前预习）已知A={X|X2-3X+2=0},B={x|ar-2=0},且BGA,求实数。组成

的集合C

【答案】⑴a=0;（2）{0,1,2）.

【分析】首先通过解一元二次方程，得带集合A,根据空集的概念，以及包含关系的本质所在，需要对B

进行分类讨论，按8=。，8x0两种情况进行讨论，从而求得结果

【详解】由x?—3x+2=0,得x=l,或x=2.

.♦.A={1,2}.VBCA,.•.对B分类讨论如下：

（I）若B=0,即方程ax—2=0无解，此时a=0.

⑵若B#3,则8={1}或8={2}.

当8={1}时，有a—2=0,即a=2；

当8={2}时，有2a—2=0,即a=I.

综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C={0.1,2}

【点睛】该题考查的是有关集合具备包含关系时有关参数的取值问题，在解题的过程中，需要注意的是先

确定集合A,之后需要对B进行讨论，分其为空集与不是空集两种情况.

18.（2020•全国•高一课时练习）已知集合4=卜"（力=对B={x[/[〃