浙江省杭州市高级中学2024年数学高二上期末调研试题含解析

浙江省杭州市高级中学2024年数学高二上期末调研试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“”是“函数在上有极值”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2．直线分别与曲线，交于，两点，则的最小值为（）A. B.1C. D.23．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为O，点M在上，且，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.4．函数在处有极值为，则的值为（）A. B.C. D.5．直线是双曲线的一条渐近线，，分别是双曲线左、右焦点，P是双曲线上一点，且，则（）A.2 B.6C.8 D.106．某次射击比赛中,某选手射击一次击中10环的概率是,连续两次均击中10环的概率是,已知某次击中10环,则随后一次击中10环的概率是A. B.C. D.7．若向量，，则（）A. B.C. D.8．已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（）A. B.C. D.9．在x轴与y轴上截距分别为，2的直线的倾斜角为（）A.45° B.135°C.90° D.180°10．在中，已知，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形11．已知点到直线的距离为1，则m的值为（）A.或 B.或15C.5或 D.5或1512．等差数列的公差为2，若成等比数列，则（）A.72 B.90C.36 D.45二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该几何体的体积为________.14．已知正三棱台上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______.15．已知是首项为，公差为1的等差数列，数列满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是________16．抛物线焦点坐标是，则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考物理的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值并估计这100名学生本次物理测试成绩的中位数.（2）根据调查，本次物理测试成绩不低于60分的学生，高考将选考物理科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考物理科目.按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考物理科目的概率.18．（12分）已知函数.（1）若与在处有相同的切线，求实数的取值；（2）若时，方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围.19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知，曲线与曲线相交于A，B两点，求.20．（12分）已知命题p：，命题q：.（1）若命题p为真命题，求实数x的取值范围.（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；21．（12分）如图，在长方体中，底面是正方形，O是的中点，（1）证明：（2）求直线与平面所成角的正弦值22．（10分）命题：函数有意义；命题：实数满足.（1）当且为真时，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】对求导，取得函数在上有极值的等价条件，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【题目详解】解：，则，令，可得，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，函数在处取得极小值，若函数在上有极值，则，，因为，但是由推不出，因此是函数在上有极值的必要不充分条件故选：B2、B【解题分析】设，，，，得到，用导数法求解.【题目详解】解：设，，，，则，，，令，则，函数在上单调递减，在上单调递增，时，函数的最小值为1，故选：B3、D【解题分析】根据平行六面体的几何特点，结合空间向量的线性运算，即可求得结果.【题目详解】因为平行六面体中，点M在上，且故可得故选：D.4、B【解题分析】根据函数在处有极值为，由，求解.【题目详解】因为函数，所以，所以，，解得a=6,b=9，=-3，故选：B5、C【解题分析】根据渐近线可求出a，再由双曲线定义可求解.【题目详解】因为直线是双曲线的一条渐近线，所以，，又或，或（舍去），故选：C6、B【解题分析】根据条件概率的计算公式,得所求概率为，故选B.7、D【解题分析】由向量数量积的坐标运算求得数量积，模，结合向量的共线定义判断【题目详解】由已知，，，与不垂直，若，则，，但是，，因此与不共线故选：D8、C【解题分析】设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，进而得，再结合余弦定理得，进而根据基本不等式求解得.【题目详解】解：设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则，因为点为线段中点，所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为，因为，所以在中，由余弦定理得，所以，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故.所以的最大值为.故选：C【题目点拨】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设，进而结合抛物线的定于与余弦定理得，，再求最值.9、A【解题分析】按照斜率公式计算斜率，即可求得倾斜角.【题目详解】由题意直线过，设直线斜率为，倾斜角为，则，故.故选：A.10、B【解题分析】利用诱导公式、两角和的正弦公式化简已知条件，由此判断出三角形的形状.【题目详解】由，得，得，由于，所以，所以.故选：B11、D【解题分析】利用点到直线距离公式即可得出.【题目详解】解：点到直线的距离为1，解得：m=15或5故选：D.12、B【解题分析】由题意结合成等比数列，有即可得，进而得到、，即可求.【题目详解】由题意知：，，又成等比数列，∴，解之得，∴，则，∴，故选：B【题目点拨】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量1、由成等比，即；2、等差数列前n项和公式的应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】根据圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，由，求得底面半径，进而得到高，再利用锥体的体积公式求解.【题目详解】设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为r，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，所以，解得，所以，所以圆锥的体积为：，故该几何体的体积为，故答案为：14、【解题分析】先计算两个底面的面积，再由体积公式计算即可.【题目详解】上底面的面积为，下底面的面积为，则这个正三棱台的体积为.故答案为：15、【解题分析】先求得，再得出，对于任意的，都有成立，说明是中的最小项【题目详解】由题意，∴，易知函数在和上都是减函数，且时，，即，时，，，由题意对于任意的，都有成立，则是最小项，∴，解得，故答案为：16、2【解题分析】根据抛物线的几何性质直接求解可得.【题目详解】的焦点坐标为，即.故答案为：2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），中位数为；（2）.【解题分析】（1）由频率和为1求参数a，根据直方图及中位数性质求中位数即可.（2）首先由分层抽样原则求选取的5人在、的人数分布情况，再应用列举法求古典概型的概率即可.【小问1详解】由图知：，解得.学生成绩在的频率为；学生成绩在的频率为.设这100名学生本次物理测试成绩的中位数为，则，解得，故估计这100名学生本次物理测试成绩的中位数为.【小问2详解】由（1）知，学生成绩在的频数为，学生成绩在的频数为.按分层抽样的方法从中选取5人，则成绩在的学生被抽取人，分别记为，，成绩在的学生被抽取人，分别记为，，.从中任意选取2人，有，，，，，，，，，这10种选法，其中至少有1人高考选考物理科目的选法有，，，，，，，，这9种，∴这2人中至少有1人高考选考物理科目的概率.18、（1）（2）【解题分析】（1）根据导数的几何意义求得函数在处的切线方程，再由有相同的切线这一条件即可求解；（2）先分离，再研究函数的单调性，最后运用数形结合的思想求解即可.【小问1详解】设公切线与的图像切于点，f'(x)=1+lnx⇒f由题意得：；【小问2详解】当时，，①，①式可化为为，令令，，在上单调递增，在上单调递减.，当时，由题意知：19、（1），（2）2【解题分析】（1）消参数即可得曲线的普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转化关系式，从而曲线的直角坐标方程；（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，得关于的一元二次方程，由韦达定理得，即可得的值.【小问1详解】由，消去参数，得，即，所以曲线的普通方程为.由，得，即，所以曲线的直角坐标方程为【小问2详解】将代入，整理得，则，令方程的两个根为由韦达定理得，所以.20、（1）；（2）.【解题分析】（1）由一元二次不等式的解法求得的范围；（2）由p是q的充分条件，转化为集合的包含关系，从而可求实数m的取值范围.【题目详解】（1）由p：为真，解得.（2）q：，若p是q的充分条件，则是的子集所以.即.21、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，令，可得的坐标，再求数量积可得答案；（2）求出平面的法向量、的坐标，由线面角的向量求法可得答案.【小问1详解】在长方体中，以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系不妨令，则，，因为，所以【小问2详解】由（1）可知，，，设平面的法向量，则令，得，设直线与平面所成的角，则.22、(1)；(2)【解题分析】(1)首先将命题，化简，然后由为真可得，均为真，取交集即可求出实数的取值范围；(2)将是的充分不必要条件转化为是的必要