黑龙江省哈尔滨市第五十八中学2022年高一数学文期末试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市第五十八中学2022年高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合是(

)参考答案：B2.若定义在上的偶函数和奇函数满足，则（）A

B

C

D

参考答案：D3.设,二次函数的图像可能是（

）参考答案：D略4.幂函数y=xa（α是常数）的图象（）A．一定经过点（0，0） B．一定经过点（1，1）C．一定经过点（﹣1，1） D．一定经过点（1，﹣1）参考答案：B【考点】幂函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用幂函数的图象与性质及1α=1即可得出．【解答】解：取x=1，则y=1α=1，因此幂函数y=xa（α是常数）的图象一定经过（1，1）点．故选B．【点评】熟练掌握幂函数的图象与性质及1α=1是解题的关键．5.已知集合，，若，则实数的取值范围（）A．

B．C．

D．参考答案：A6.下列命题正确的是()A．单位向量都相等B．若与共线，与共线，则与共线C．若，则D．若与都是单位向量，则参考答案：CA选项，单位向量模相等，但方向不一定相同，故A错；B选项，因为零向量与任意向量共线，故B错；C选项，对等式两边平方，易得，故C正确；D选项，与夹角为60°时，，故D错误.故选：C

7.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．3 B．2 C． D．1参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出S△SCD，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体积．【解答】解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD因为线段SC是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90°所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30°得：AC=2，SA=2又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30°得：BC=2，SB=2则：SA=SB，AC=BC因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD===在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD===又SD交CD于点D所以：AB⊥平面SCD即：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB?S△SCD，因为：SD=，CD=，SC=4所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD2+CD2﹣SC2）=（+﹣16）==则：sin∠SDC==由三角形面积公式得△SCD的面积S=SD?CD?sin∠SDC==3所以：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB?S△SCD==故选C8.下列四组函数中，表示同一函数的是

()

A．

B．C．

D．参考答案：C略9.已知△ABC中，A、B、C分别是三个内角，已知=(a–b)sinB，又△ABC的外接圆半径为，则角C为（）A．30°

B．45°

C．60°

D．90°参考答案：解析：C

，故R2(sin2A–sin2C)=(a–b)RsinB，即a2–c2=(a–b)b，a2+b2–c2=ab，cosC=，C=60°.10.函数在以下哪个区间内一定有零点(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.关于下列命题：①函数在整个定义域内是增函数；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是；④函数在闭区间上是增函数．写出所有正确的命题的序号：

．参考答案：③④略12.已知函数，同时满足：；，，，求的值.参考答案：解析：令得：.再令，即得.若，令时，得不合题意，故；

，即，所以；

那么，13.某航空公司规定，乘客所携带行李的重量(kg)与其运费(元)由图所示的函数图象确定，那么乘客免费可携带行李的最大重量为

参考答案：略14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，，则角C＝________．参考答案：由1＋＝和正弦定理得，cosA＝，∴A＝60°．由正弦定理得，＝，∴sinC＝．又c<a，∴C<60°，∴C＝45°．

15.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝

.若要从身高在[120,130），[130，140),[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为

.参考答案：，316.甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为．参考答案：【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】至少有一个红球的对立事件为取到两个白球，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有一个红球的概率．【解答】解：∵甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，至少有一个红球的对立事件为取到两个白球，∴至少有一个红球的概率为：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．17.在△ABC中，若b2+c2﹣a2=bc，则A=

．参考答案：60°【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：∵b2+c2﹣a2=bc，∴根据余弦定理得：cosA===，又A为三角形的内角，则A=60°．故答案为：60°【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入得数学思想，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量=（1，），=（﹣2，0）．（1）求|﹣|；（2）求向量﹣与的夹角；（3）当t∈R时，求|﹣t|的取值范围．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）由向量的加减运算和向量的模的公式，计算即可得到所求值；（2）求得（﹣）?=2﹣?=6，由向量的数量积的夹角公式，计算即可得到所求值；（3）运用向量的平方即为模的平方，化简可得关于t的二次函数，配方即可得到最小值，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由向量=（1，），=（﹣2，0），所以﹣=（1，）﹣（﹣2，0）=（3，），|﹣|==2；（2）由（﹣）?=2﹣?=4﹣（﹣2）=6，可得cos＜（﹣），＞===，由0≤＜（﹣），＞≤π，所以向量﹣与的夹角为；（3）因为|﹣t|2=2﹣2t?+t22=4t2+4t+4=4（t+）2+3，当t=﹣时，上式取得最小值3．所以当t∈R时，|﹣t|的取值范围是．19.已知全集，若，，求实数、的值。参考答案：因为，，所以，

由已知得，解得。

因此，或，。20.（12分）已知：函数

，在区间上有最大值4，最小值1，设函数．（1）求、的值及函数的解析式；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；（3）如果关于的方程有三个相异的实数根，求实数的取值范围．参考答案：（1），（4分）（2）（4分）（3）（4分）

略21.如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得B，D间的距离为21海里．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛.【分析】(Ⅰ)在中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(Ⅱ)首先利用和差公式计算，中，由正弦定理可得长度，最后得到时间.【详解】(Ⅰ)由已知可得，中，根据余弦定理求得，∴．(Ⅱ)由已知可得，∴．中，由正弦定理可得，∴分钟．即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛．【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.22