【数学】空间向量与立体几何同步练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

复习课第1课时空间向量与立体几何1.已知A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),令a=CA,b=CB,则a+b为()A.(5,-9,2) B.(-5,9,-2)C.(5,9,-2) D.(5,-9,-2)2.如图,设OA=a,OB=b,OC=c,若AN=NB,BM=2MC,则MNA.12a+16b-23c B.-12a-1C.12a-16b-13c D.-12a+13.若向量a=(x,4,5),b=(1,-2,2),且a与b夹角的余弦值为26,则x=(A.3 B.-3 C.-11 D.3或-114.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63 B.255 C.155.如图,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等边三角形,四边形ABCD是矩形,PC与平面ABCD成30°角,则ABAD的值等于(A.1 B.2 C.2 D.36.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1和C1D1的中点,则下列结论正确的是()A.A1C1∥平面CEFB.B1D⊥平面CEFC.CED.CE与AD1所成角的余弦值为27.(多选题)如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是()A.(AA1+AB+B.AC1·(AB-C.向量B1C与D.BD1与AC所成角的余弦值为68.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且向量a与b共线,则x=,y=.

9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为BB1,CD的中点,则点F到平面A1D1E的距离为.

10.已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PA⊥底面ABCD,AP=4,过点A的平面垂直于侧棱PD,交侧棱PC于点H,则点H分线段PC的比PHHC等于11.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=3,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点.(1)求直线A1B1到平面ABE的距离;(2)求平面ABE与平面BEC的夹角的余弦值.参考答案1．B解析:a=CA=(-1,0,-2),b=CB=(-4,9,0),则a+b=(-5,9,-2).2．A解析:由题可知,MN=MB-NB=23CB-12AB=23．A解析:因为a·b=(x,4,5)·(1,-2,2)=x-8+10=x+2,且a与b夹角的余弦值为26所以x+2解得x=3或-11(舍去).故选A.4．D解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1).∵BC1=(-2,0,1),AC=(-2,2,0),且AC为平面BB1D1D∴cos<BC1,设BC1与平面BB1D1D所成的角为θ,则sinθ=|cos<BC1,∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为1055．C解析:取AD的中点O,连接OP,OC.由题意知OP⊥AD,因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以OP⊥平面ABCD.以O为原点,OD所在直线为x轴,过点O,平行于DC的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设AD=2a,AB=2b,则P(0,0,3a),C(a,2b,0),于是OC=(a,2b,0),PC=(a,2b,-3a).∵OP⊥平面ABCD,∴PC与平面ABCD所成的角即∠PCO.∴cos∠PCO=|OC·PC||OC∴ABAD6．ACD解析:如图,对于A,因为E,F分别是A1D1和C1D1的中点,故EF∥A1C1,故A1C1∥平面CEF,A正确.对于B,建立空间直角坐标系,如图所示,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则B1D=(-2,-2,-2),FC=(0,1,-故B1D·FC=0-2+4=2≠0.又CF⊂平面CEF,故B1D⊥平面CEF不成立,B错误.对于C,同B中空间直角坐标系,有CE=(1,-2,2),12DA+DD1-DC=故CE=12D对于D,同B中空间直角坐标系,有CE=(1,-2,2),AD1=(所以cos<CE,AD1>=CE·A7．AB解析:以顶点A为端点的三条棱长都相等,它们彼此的夹角都是60°,可设棱长为1,则AA1·AB=AA1·AD=AD·AB=1×1×cos60°=12,(AA1+AB+AD)2=AA1而2AC2=2(AB+AD)2=2(AB2+AD2+2AB·AD)=21+AC1·(AB-AD)=(AA1+AB+AD)·(向量B1C=A1D,显然△AA1D为等边三角形,则∠所以向量A1D与AA1的夹角是120°,向量B1C又BD则BD|AC|=(AB+AD)2=3,BD所以cos<BD1,AC>=BD8．16-解析:由题意得y≠0,2x1=1-2y=9．3解析:以AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A1(0,0,1),E1,0,12,D(0,1,0),F12,所以A1E=1,设平面A1D1E的法向量为n=(x,y,z),则n·A取n=(1,0,2).连接A1F,则A1F=12,1,-1,所以点F到平面10．4解析:由题意,以AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,4),所以PD=(0,2,-4),PC=(2,2,-4),设PH=tPC,则PH=(2t,2t,-4t),所以AH=AP+PH=(2t,2t,4-4t),因为过点A的平面垂直于侧棱PD,交侧棱PC于点H,所以PD⊥AH,所以(0,2,-4)·(2t,2t,4-4t)=0,所以2×2t-4(4-4t)=0,所以t=45,所以点H11.解:(1)由题意知AD,DC,DD1两两垂直,故可建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示.由已知条件可得A(1,0,0),C(0,3,0),B(1,23,0),E(0,3,1),A1(1,0,2),(1)AB=(0,23,0),AE=(-1,3,1).设n=(x,y,z)是平面ABE的法向量,则n·AB取x=1,则z=1.所以,n=(1,0,1)是平面ABE的一个法向量.又因为AA1=(0,0,2),所以点A1到平面ABE的距离为因为易证A1B1∥平面ABE,所以直线A1B1到平面ABE的距离即为点A1到平面ABE的距离.所以直线A1B1到平面ABE的距离为2.(2)BC=(-