山东省名校考试联盟2024-2025学年高一上学期10月联考数学试卷

2024—2025学年第一学期考试高一数学试题本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“x为自然数”是“为自然数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知集合，则（）A． B． C． D．3．已知命题；命题，则（）A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题4．下列不等式中成立的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则5．已知集合，则（）A． B． C． D．6．若，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．7．正确表示图中阴影部分的是（）A． B． C． D．8．若，则的最小值为（）．A．2 B． C．4 D．6二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．若关于x的不等式的解集为，则（）A． B． C． D．10．若非空集合满足：，则（）A． B． C． D．11．长方体的长、宽、高分别为．长方体的表面积为16．则（）A． B． C． D．三、填空题；本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12．“”的否定是_______．13．某校学生积极参加社团活动，高一年级共有100名学生，其中参加参加合唱社团的学生有63名，表示参加科技社团的学生，有75名（并非每个学生必须参加某个社团），则在高一年级的学生中，同时参加合唱社团和科技社团的最多有_______名学生，最少有_______名学生．（第一空2分，第二空3分）．14．已知，则的最小值为_______．四、解答题；本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）设集合．（1）若且，求a的取值范围；（2）若，求a的取值范围．16．（15分）如图所示，某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪．（1）若中间草坪面积为矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度是多少？（2）为了美观，要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度的取值范围是多少？17．（15分）已知函数．（1）若对任意，都有，求实数a的取值范围；（2）若对任意满足的x，都有，求实数a的取值范围．18．（17分）（1）设，证明：的充要条件为．（2）设，求证：至少有一个为负数．19．（17分）（1）设，求证：，（2）设，求证：，

2024—2025学年第一学期考试高一数学试题答案解析与评分标准1．答案：A解析：由x为自然数能推出为自然数，故“x为自然数”是“为自然数”的充分条件，由为自然数不能推出x为自然数，故“x为自然数”是“为自然数”的不必要条件，综上所述，“x为自然数”是“为自然数”的充分不必要条件，故选：A．2．答案：C解析：因为，所以．故选C．3．答案：B解析：对于p而言，取，则有，故p是假命题，是真命题，对于q而言，取，则有，故q是真命题，是假命题，综上，和q都是真命题．故选B．4．答案：B解析：若，则错误，如时，，所以该选项A错误；若，则，所以该选项B正确；若，则，所以该选项C错误；若，则，所以该选项D错误．故选：B5．答案：D解析：因为，所以，则，故选D．6．答案：B．解析：因为，所以，故选B．7．答案：C解析：阴影部分中的元素既不属于集合A，也不属于集合B，故选C．8．答案：C解析：，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为4，故选C．9．答案：BCD解析：由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误；一元二次方程的两根为和3，由韦达定理，，故，即，故B正确；由上分析可得，故C正确；由上分析可得，故D正确．故选BCD．10．答案：ABD解析：由得，由得，所以，B正确；，A正确；，C错误；，D正确．故选ABD．11．答案：BC解析：长方体的表面积为，所以，因为，得，当且仅当时取等号，即，所以，得到，所以，故选A错误，选项B正确，又由，得到，当且仅当时取等号，即，整理得到，解得，所以选项C正确，选项D错误，故选BC．12．答案：解析：由命题否定的定义，可知命题“”的否定是“”．13．答案：63 38解析：用集合U表示高一年级100名学生，用集合A表示参加合唱社团的学生，用集合B表示参加科技社团的学生，，当，即时，最多，为63名；当，即时，最少，为名．14．答案：解析：．当且仅当，即时取等号，的最小值为．15．解析：（1）因为，且，所以，-------3分（一个不等式1分）解得，---5分综上所述，a的取值范围为．----6分（2）由题意，需分为和两种情形进行讨论：当时，，-------7分解得，满足题意；--8分当时，因为，所以，---9分解得，-----10分或无解；-----12分（不等式组正确1分，结论无解1分）综上所述，a的取值范围为或．----13分16．解析：设花卉带的宽度为，（1）由题意得，--3分解得或（舍去）．------6分（无“（舍去）”扣3分，有“”无“（舍去）”扣2分）即．----7分（2）由题意得，-----9分整理得，----11分解得或．-------13分（一个范围1分，少“”扣1分）由实际意义得．----15分（多“”本步骤不得分）17．解析（1）依题意可得：，-----3分解得，-----6分所以实数a的取值范围为．-----7分（2）对任意满足的x，都有，即，-----9分又．所以对恒成立，---10分由于，当时等号成立．----13分（无等号成立条件扣1分）所以，即实数a的取值范围为．-----15分（只有“所以”不扣分）18．解析：（1）充分性：若，则，，-----1分，----2分，---3分．----4分必要性：若，则，----5分，----6分，----7分．---8分（2）方法一 假设，-------9分，，------10分，------12分，，-------14分，与矛盾，-----16分至少有一个为负数．---------17分方法二 假设，--------9分，，-------11分，------13分，------15分与矛盾，-------16分至少有一个为负数．------17分19．解析（1）方法一：，，---3分，----5分．---8分方法二：，，---3分----5分．----8分方法三：----3分，，--------5分，--7分．---8分方法四：几何法如图，做边长为1的正方形，分别在边上分别取点，使得，--------1分过E做交于E，交于H，过F做交于G，交于F，直线与交于点I，-------3分则长方形的面积，------4分长方形的面积，---5分正方形的面积，---6分由图可知，---7分所以．--8分方法五：设．----2分将y看做常数，对于函数，有，----3分．--4分对于，都有，----6分即．----7分．----8分（2）方法一：---10分，．---14分（结论中少一个不等式扣1分，扣完4分为止），---15分．---17分方法二：，．----9分，--10分，---11分．----12分----16分．……17分方法三：几何法做边长为1的正