考点08与对数函数备战2020年高考数学理一轮复习导练案纸间书屋

考点 对数与对数函yaxylogax互为反函数(a0且a1aaxN(a0,且a1，那么数xa为底NxlogN，a叫做对数的底数，N叫做真数.a10lgNe=2.71828…aaxNxlogNa根据对数的概念，知对数logaN(a0,且a1（1）N0；（2）10，即loga101，即logaaalogaNN(N0loga(MN)=logaM+logaN

M=N

aMlogaN logMn=nlogM(nR) 对数的换底：

NlogcN(b0且b1c0且c1N0c logc换底将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底应用时究竟换成10e为底的自然对数.换底的变形及推广aloga

bn

n 1

b(a0且a1bblogabb

(a0且a1;b0且b1alogablogbclogcdlogad(a，b，c0y=logax(a0,且a1x是自变量，函数的定义域是(0y=logax(a0,且a1)0aa(0,R过定点(10x1y在(0在(0x＞1时，y＜0；0＜x＜1时，y＞0x＞1时，y＞0；0＜x＜1时，y＜0x1a1x0a1x轴，yax(a0a1）ylogax(a0a1）y

然后运用对数的运算性质、换底，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算. 在利用对数的运算性质log(MNlogMlogN与logMnnlogM( 注意利用等式lg2lg5 （1）

lg25lg4

1729.80（2）lg252lg8lg5lg20lg223（1）5（2）3.（1）3

3

lg25lg41

172log32lg52lg22 32lg52lg2 32lg5lg335（2）lg252lg8lg5lg20lg3lg522lg23lg5lg5lg4lg222lg52lg2lg522lg5lg2lg2lg5lg2lg5lg2lg102考查了推理与运算能力1 已知函数f13C．2

2,则a22B．4【答案】flog3a

11

a211a2质了如指掌.首先将自变量代入函数解析式，利用指对式的运算性质，得到关于参数a的等量关系式，即可若点log147log1456f(xkx3f(x3 43 2 方程log32x5log4x10的解为x y=logax(a0,且a1的图象过定点（1,0，所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的1x,y，即可得到定点的坐标.a1f(xlogax是(0x1时，底数a象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数0a1f(x)gax是(,)上的减函数，当0x1时，底数a的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快.y1a1和0a1的两种不同情况．有些复杂的一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形求解 【答案】ylogax(a0,且a1的图象过点(3,1)，则loga31，即aAy

(1)x在R3Byx3Cyx)3x3在RDylog3(x在(－∞，0)

log2x,x 已知函数fx3x,x

hxfxxaa 【答案】yfxyxa的图象，其中ayxaya1yxayfx只有一个交点．B．afxxax0gxlogxa ②若底数不同，真数相同，则可以先用换底化为同底后，再进行比较1,0①形如logaxlogabylogaxaa10a1②形如logaxbbay=logax 已知alog5，blog3，c2，则a，b，c的大小关系8A．abC．bc【答案】

B．baD．cbalog5log51log5

35 blog3 31log3 3 c log22332 23

22435

5

3 ylog2x在0cab典例6 求不等式loga(4x)log1x的解集.alog1xlogaxa∴原不等式等价于loga(4xlogaxx当a>14x04xx当0a14x04x∴不等式loga(4x)log1x的解集为(0, (2,4)aalog26blog515clog721abcabC．ca

cbD．bcylogafxfx0xylogau及ufx；ylogafxylogafx为减函数，即“同 已知f(x)lg(10x)lg(10x)，则f(x)A．偶函数，且在(0,10)是增函 B．奇函数，且在(0,10)是增函C．偶函数，且在(0,10)是减函 D．奇函数，且在(0,10)是减函【答案】【解析】由10x0x(10,10fx的定义域为10,10fxlg10xlg(10xf(xfx为偶函数，fxlg(10xlg(10x)lg100x2，y100x2在0,10ylgx在0上单调递增，故函数fx在0,10上单调递减. 已知函数f(x)lg(3x)lg(3f(xf(x的单调性（不需要证明mf(mf(m1)0（2）（3）2

，得3x3，f(x的定义域为(33f(x)f(x)lg(3xlg(3x)f(x)，f(x)（2）fxlg(9x2)

ylguu9x2在(30上是增函数，在(03f(x在(30上是增函数，在(03上是减函数（3）f(mf(m10f(mf(m13m

3m则3m134m2，得3m1 m1

m mf(mf(m10的解集为(3125．若函数𝑓(𝑥)=log𝑎(5−𝑎𝑥)（𝑎>0，𝑎≠1）在(1,3)上是减函数，则𝑎

afxa22a2logx是对数函数agxlogax1loga3xgxx

lg2log210

4f4

ln(2x1)A．(－1，2 B．1,2

C．

,

2 fxlog21xx0f3flog34x,x 已知正实数abc满足log2alog3blog6ca B．b2C．c D．c2pa100”q：log101”p是q 充要条 B．充分不必要条C．必要不充分条 6．函数𝑓(𝑥)=lg(6𝑥−𝑥2) af(x)axlog(x2)在0,1上的最大值和最小值之和为a，则aa 1 28．若函数𝑓(𝑥)=(𝑚+2)𝑥𝑎是幂函数，且其图象过点(2,4)，则函数𝑔(𝑥)=log𝑎(𝑥+𝑚) B．(1,C．(−1, 9．若函数𝑓(𝑥)=log2(𝑎𝑥2+2𝑥+𝑎)的值域为𝐑，则实数𝑎 fxlnexexx2f(2x)>f(x+3)x C． alog3ebln3clog32，则abccaC．ab

cbD．bafxfx2fxx0,1fx3x1flog54 B．6C．6

13．若函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−𝑎−𝑥(𝑎>0且𝑎≠1)R上为减函数，则函数𝑦=log𝑎(|𝑥|−1) aflog2a＜f2a的取值范围是A．0,1 B．1, 4

D．4,4 ,44 15．已知函数𝑓(𝑥)=|lg(𝑥−1)|，若1<𝑎<𝑏且𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)，则实数2𝑎+𝑏A．[3+2√2，+ B．(3+2√2，+C．[6，+ D．(6，+f(x)(xRf(xf(xf(2xf(xx[0,1f(xx3g(x)C．

xh(xg(xf(xB．方程log2(𝑥+2)=1+log4(6−𝑥)的解为𝑥 函数fxlnx1的值域 x19．已知二次函数𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+1的顶点为(𝑎𝑏)，则函数𝑔(𝑥)=log𝑎(𝑥2−2𝑥+𝑏) 20fxlogxab满足abfafbfx在区间a2b 大值为2，则ab 21．已知函数𝑓(𝑥)=log𝑎(−𝑥2+𝑎𝑥−9)(𝑎>0,𝑎≠（1）当𝑎=10时，求𝑓(𝑥)（2）若𝑓(𝑥)存在单调递增区间，求𝑎22．已知函数𝑓(𝑥)=log2(2𝑥+𝑘)(𝑘∈𝐑)的图象过点求𝑘的值并求函数𝑓(𝑥)（2）若关于𝑥的方程𝑓(𝑥)=𝑥+𝑚𝑥∈[0,1]有实根，求实数𝑚的取值范围fxloga3xloga3xa0a1f02求实数afx fx在区间0,6上的最小值 fxlog22xkkRP求kfxxfxxm有实根，求实数m

xa

x04，则是否存在实数ahx的最大值为0?在，求出a的值；若不存在，请说明理由21（2019年高考Ⅰ卷理数）已知alog0.2，b202，c0.203，2A．abC．ca

B．acD．bc 0A．acC．bcB．abD．ca 0A．acC．bcB．abD．ca3．（2019满足m−m=5lgE1，其中星等为m的星的亮度为E（k=1，2）．已 2 1 2星等是−1.45，则与天狼星的亮度的比值 5（2019ax

，y

(x1(a>0a≠1)26．（2019年高 Ⅲ卷理数）设fx是定义域为R的偶函数，且在0,+单调递减， log

．B．

431）＞4

（222（23）＞

（23（22

log．（22

（23）＞ 34

log．（23

（22）＞ 347（2018 卷理科）已知alog2e，bln2，c

3 a，b，c32A．abC．cb

B．baD．ca8（2018A．ababC．ab0

B．ababD．ab0aN1080.MN（ 10．（2017年高考新课标Ⅰ卷理科）设x、y、z为正数，且2x3y5z， 11．（2016年高考新课 Ⅰ卷理科）若abc1，A．acC．alogbcbloga12（2018

B．abcD．logaclogblog2x1的定义域 Ⅱ卷理数）已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)eax.若f(ln2)8，则a 7log1456f(x)＝0x3f(x)3. 【答案】

log32x5log4x10log32x5log4x132x54x1 4x32x402x232x402x4或2x1（舍去，即2x4x 【解析】当0a1fxxax0gxlogaxa1fxxax0为增函数，且图象增长得越来越快，gxlogax为减函数，D符合.D．∴bcabc【答案】

a0，u5ax在13ax1,35ax0a5a5 a15 （2）a22a2（1）a0且afxfxlog3x∵gxlogax1loga3x

，解得a3a舍去x1 3xx∴x31x3gx的定义域为x|1x3 gxlogx1log3xlogx22x 令uxx22x31x3x1可知，ux在1,1上单调递增，在13上单ylog3u在0（2）gxm30所以m3g ,x1,2x

由（1）

32gx的单调递增区间为3,1，单调递减区间为12，且3g13

32,g29gxmin1，m31m4，所以实数m的取值范围为4gx的单调性.最小值，即可求得实数m的取值范围.【答案】【解析】lg2log10lg2lg10 【答案】1

4x2【解析】由题意，函数fx ln(2x1)有意义，需满足 解得1x22

4

2x1fx的定义域为(12)2A．4x,xfxlog214x,x f(3flog3log44log23=2+9=11． 【名师点睛】本题主要考查了对数的运算求值，根据对数的运算，即可求解式子的数值．其中熟记对数的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．【答案】【解析】∵正实数abc满足log2alog3blog6c∴设log2alog3blog6ck，a2kb3kc6k，cab．C．

a100log101 1而loga102a100或0a1a1001p是q的充分不必要条件.B．p和结论qpqqp.对于带有否定性和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理【答案】【解析】由题可得6𝑥−𝑥2>0，即0<𝑥<6，所以函数𝑓(𝑥)的定义域为(0,6)，又函数𝑦=6𝑥−𝑥2在[3,+∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数𝑓(𝑥)=lg(6𝑥−𝑥2)的单调递减区间为减增减【答案】

f(x)axlog(x2)在0,1aaf(xaxlog(x2)在0,1上的最值在区间端点处取得，由其最大值与最小值之和为af(0f(1)a，aa即1log2alog3a，化简得log61，解得a1 【答案】【解析】由题意得：𝑚2=1，解得：𝑚=−1，故𝑓(𝑥)=𝑥𝑎，将(2,4)代入函数的解析式得：2𝑎=4，解得：𝑎=2，故𝑔(𝑥)=log𝑎(𝑥+𝑚)=log2(𝑥−1)，令𝑥1>0，解得：𝑥>1，故𝑔(𝑥)在(1,上单调递增.B．【答案】【解析】若函数𝑓(𝑥)=log2(𝑎𝑥2+2𝑥+𝑎)Ry＝ax2+2x+a能取遍所有的正数．a＝0时符合条件；aa≠0时，应有=44a20a的取值范围是[0,1]．D．fxlnexexx2lnexexx2fxfx fx在,0上单调递减在0,上单调递增所以f2xfx32xx3x1x3.f2xfx32xx3进行求解.要注意：奇函数在对称的区间ylog3x是增函数，所以log3e>log32a＞c，所以b＞a＞c.进行比较即可.比较大小的试题通常先比较同底的然后借助中间值判断不同底的即可，属于基础题fx2fxfx4fx2fxfx又log354log3(2723log3234flog354f3log32f1log32 2

2

3

log

1 1f f

f

2 23 3 3

3

2

2 24，确定出log354【解析】f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0a≠1）R上为减函数，0＜a＜1．y＝loga（|x|﹣1）的图象，x＞1y＝logax1个单位得到的，D．yfx1x1fxyflog2a＜f2f|log2a|＜f2|log2a|＜2，即2loga21a4， 4即a的取值范围为 ,44 ∵1＜a＜bf（a）＝f（b lga11lgb1，即1 那么：a=2a+b=

+𝑏=(2𝑏−2)+2+𝑏−1+1=(𝑏−1)+

3≥2√23b=√2+1

故实数2𝑎+𝑏的取值范围是[32√2A．16f(x)f(xf(xy轴对称.f(2xf(xf(xx1对称.x[0,1f(xx3f(x的图象如图g(x)

xg(4g(41ygxyfx的图象有6个交点，h(x)g(x)f(x有6个零点. 【解析】由已知得logx22log46x,x22=244x,x28x200,x2 xx10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解.lnx1lnx12

2

x

x

x1 12x 12x 0且1 1 x

ln1x10∴𝑓(𝑥)的值域为：(0)∪(0,故答案为(0)∪(0,fxx24x1x2)23，故顶点坐标为（2，-3a=2,b=-3，则𝑔(𝑥)=log2(𝑥2−2𝑥−3),u＝𝑥2−2𝑥−3，∵𝑥2−2𝑥−3＞0x＞3∴定义域为（﹣∞，﹣1（3，+∞，∵u＝𝑥2−2𝑥−3在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（3，+∞）∴根据复合函数的单调性可得𝑔(𝑥)=log2(𝑥2−2𝑥−3)的单调减区间是故答案为(1【解析】根据题意可知0a1b1，并且可以知道函数fxlog3x在0,1上是减函数，在33又0a2a1f所以b3

fa2log

2a131 则有ab 3 fxlog3x的图象，之后借助于绝对值的意义，可以得到两个函数值的大小相等的5,9)（2）𝑎>（1）当𝑎=10时，𝑓(𝑥)=lg(−𝑥2+10𝑥−9)=lg[−(𝑥−5)2+16]，设𝑡=−𝑥2+10𝑥−9=−(𝑥−5)2+16，由−𝑥2+10𝑥−9>0，得𝑥2−10𝑥+9<0，得1<𝑥<9，即函数的定义域为(1,9)，此时𝑡=−(𝑥5)216∈(0,16]，则𝑦=lg𝑡≤lg16，即函数的值域为要求𝑓(𝑥)的单调减区间，等价为求𝑡=−(𝑥−5)2+16∵𝑡=−(𝑥−5)2+16的单调递减区间为∴𝑓(𝑥)的单调递减区间为若𝑓(𝑥)则当𝑎>1时，函数𝑡=−𝑥2+𝑎𝑥−9存在单调递增区间即可，则判别式𝛥=𝑎2−36>0，得𝑎>6𝑎<−6（舍当0<𝑎<1时，函数𝑡=−𝑥2+𝑎𝑥−9存在单调递减区间即可，则判别式𝛥=𝑎2−36>0，得𝑎>或𝑎<−6，此时𝑎综上，实数𝑎的取值范围是𝑎>（1）(0，+∞)（2（log232（1）f(xP0,1，所以log20k1k22fxlog2x122因为2x11fxlog2x10，f(x的值域为0，+.222（2）mf(x)x有实根，h(x)f(xxlog2x1x22h(x)log2

x1log

2xx

log2

12y2x1Rylogx在（0，1）22h(xlog2x1R2 h(x在0,1h1log211log3 m（log231,1 （1）a33,3（2）1.（1）∵f02∴loga92a0,a1∴a3x由3x

x3,3fx的定义域为3,3（2）fx

3xlog3xlog3x3x

3 x30fxx0,3fx fx在区间0，6f6log33 （1）f02，可求出参数a的值，根据对数函数的定义，由3x03x033f6.82（1）fxlog2xkkRP0,1，所以f01，即log21k1，2k2fxlog2x1，因为2x0，2所以2x12所以log2x102fx的值域为0（2）因为关于x的方程

fxxm有实根，即方程mlog2x1x有实根，即函数22ylog2x1xym222gxlog2x1xygxym2

2x

1gxlog2

1xlog2

1log2

log2

x2xxR且xx，则02x12x2 1

1所以

， 1

1gx1gx2log212xlog21

0 1

2

11为单调递减函数也可2 2x因为1

2gxlog2

10,xx 所以实数m的取值范围是0x 由题意知hx2x1a 2x2a221，x0,x令t22，则tt22at1,t1a5时，t2a5时，t2

4178a0a178122a0a1（舍去a17hx82（1）P0,1k12x0，所以2x11，所fxlog2x10fx的值域为0；22gxlog2x1xymgx2gx的值域，从而可得实数mxx04t22，转化为二次函数tt22at1,t14t的最大值，求解实数a即可alog20.2log210b202200c0.2030.201即0cacb．B．5alog525

120.51c0.5020.501c2acb【名师点睛】本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较a2b1，满足ab，但ln(ab)0AA；由932313BB；a1b2，满足ab，但|1||2|Dyx3a