数学概念的自然生成 论文

数学概念的自然生成摘要：“算术平方根”概念的生成，可以从正方形的边长、面积及两者间关系入手.联系乘方的相关概念，反向思维，建立开方与乘方之间互逆运算的关系.将抽象的概念与学过的知识联系起来. 关键词：数学概念,互逆运算,类比

引言：在算术平方根概念的学习过程中，学生面对陌生的、抽象的知识难以理解.想让数学概念自然生成，需要与旧的知识建立联系.类比其他互逆运算，理解、掌握开方与乘方的关系. 一、内容分析

“平方根”是“实数”的第一节内容.由于实际计算的需要，引入无理数，使数的范围从有理数扩充到了实数.而“算术平方根”作为“平方根”的第一课时内容，它将带领学生打开无理数的大门，认识开方这种全新的运算.所以“算术平方根”概念的引入有一定的难度.首先这个概念很抽象，学生对概念的理解有困难，其次“开方”运算是一种新的运算方式，它不同于以往的“加、减、乘、除、乘方”，学生难以掌握运算特点.要使数学概念自然生成，就需要将新的知识建立在学生已经掌握的知识上面，形成逻辑关联.无理数的出现是因为实际计算的需要，所以通过计算正方形的边长、面积及两者间的关系来引发学生的思考.像y=5这里的y是多少，我们无法用有理数来表示，所以需要学习新的知识来解决这个问题.即算术平方根概念引入的必要性.加法与减法之间是互逆运算，乘法与除法之间是互逆运算，而开方与乘方之间也是互逆运算.类比乘方概念里的底数、指数、幂，指出开方概念里的被开方数、算术平方根.即算术平方根概念存在的合理性.这样算术平方根的概念就与已经学过的乘方知识建立了联系，包括后面的运算法则都能够自然生成. 二、教学过程

1.从已知自然过渡到未知

问题1：黑板上有一个正方形.已知正方形的边长是2，求正方形的面积是多少？学生回答：面积是4.追问：边长2与面积4之间有什么关系？学生回答：22=4.问题2：反过来，已知正方形的面积是16，求正方形的边长是多少？学生回答：边长是4.追问：边长4与面积16之间有什么关系？学生回答：42=16.问题3：已知正方形的面积是5，求正方形的边长是多少？学生找不到一个数，使它的平方等于5.追问：假设此时正方形的边长为y.那么边长y与面积5之间有什么关系？学生回答：y=5.问题4：如果正方形的边长是x，面积是a.那么边长x与面积a之间有什么关系？学生回答：2x=a.，求面积a.这种运算是我们以前学习过的哪种运算？问题5：已知边长x学生回答：乘方运算.教师补充：因为这里是二次方，所以是平方运算.追问：反过来，已知面积a，求边长x.这种运算，我们之前学过吗？学生回答：没有.教师补充：但我们知道这种运算和平方运算的过程是相反的.这两种运算之间的关系称为互逆运算.我们把已知面积a，求边长x，这种运算称为开方运算.教师补充：在平方运算中，2x=a.这里x叫做底数，2是指数，平方运算的结果a叫做幂.在开方运算中，a叫做被开方数，开方运算的结果x叫做算术平方根.教师总结：上面我们列出的关系式中，正数22=4，4是被开方数，2是算术平方根.所以4的算术平方根是2.问题6：正数42=16，谁是被开方数？谁是算术平方根？学生回答：16是被开方数，4是算术平方根.追问：16的算术平方根是多少？学生回答：16的算术平方根是4.教学说明：从学生熟悉的正方形入手.由正方形的边长、面积及两者间的关系，得出一张关系网.已知边长求面积是平方运算，反之，已知面积求边长是开方运算.学生在七年级上学习的乘方运算，对乘方概念并不陌生.乘方运算与开方运算之间是互逆运算，而互逆运算之间的关系学生也了解.类比加法与减法之间是互逆运算，乘法与除法之间是互逆运算.进一步帮助学生理解开方这种新的运算形式.所以开方是在帮助学生回忆乘方的基础上生成的知识.知识的生成由浅入深，从已知自然过渡到未知.同时类比乘方概念里的底数、指数、幂，直接指出开方运算里的被开方数、算术平方根.学生通过观察、对比，对被开方数、算术平方根有了初步认识.2.符号语言的正确表达问题1：正数y=5，谁是被开方数？谁是算术平方根？学生回答：5是被开方数，y是算术平方根.y.教师补充：5的算术平方根就是 教师补充：正数2x=a，a是被开方数，x是算术平方根.所以a的算术平方根就是x. 问题2：5的算术平方根是y，那y等于多少呢？在我们目前学习的数中，能不能找到一个数的平方等于5？学生回答：找不到.教师补充：既然找不到，那就用一个新的符号来表示它.法国数学家笛卡儿用“”根号来表示一个数的算术平方根.一个数a的算术平方根就是在a的上方加上“”根号.读作：根号a.问题3：那么被开方数5的算术平方根怎么表示呢？学生回答：5..，学生虽然认识了算术平方根仍然求不出y的教师补充：即y=5教学说明：对于正数y=5值，激发学生对知识的进一步探索.不是所有正数的算术平方根都可以用一个有理数来表示，所以数的范围不再局限于有理数.我们用一个新的符号来表示一个正数的算术平方根，用符号语言来正确表达.学生对算术平方根有了进一步的理解，在解决问题的同时渗透符号语言的表达.3.概念生成后的巩固理解

教师引导：现在大家可以告诉我什么是算术平方根吗？数x学生回答：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x=a，那么这个正叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数.问题1:0的算术平方根是多少？

学生回答：0的算术平方根是0.问题2：既然给定一个正数a，它的算术平方根就可以表示成a.那么4的算术平方根可以表示成什么？学生回答：4的算术平方根可以表示成 4.追问：因为22=4，4是被开方数，2是算术平方根.即4的算术平方根是2.那么4的算术平方根有几种表示方式？它们之间有什么关系？怎样表示更简单、准确？学生回答：4的算术平方根既可以表示成4，也可以表示成2，即2=4.用2表示更简单、准确，所以4的算术平方根是2.问题3：16的算术平方根是多少？

学生回答：16的算术平方根是4.教师补充：因为可以找到一个有理数4，使得42=16.所以16的算术平方根是4，不写成16.问题4：7的算术平方根可以表示成什么？学生回答：因为找不到一个有理数的平方等于7，所以7的算术平方根就是7.教师补充：有些数的算术平方根可以直接用一个有理数来表示，而有些数的算术平方根却不行.能用有理数表示一个数的算术平方根，我们就用这个有理数来表示；不能找到有理数表示一个数的算术平方根，我们就用含根号的式子来表示.教学说明：算术平方根的概念及符号语言的表达学生已经了解，但对于不同类型的问题该怎么处理学生还不能做出很好的判断.通过求解不同数的算术平方根，让学生归纳、总结出算术平方根的运算法则.即能用有理数表示一个数的算术平方根，我们就用这个有理数来表示；不能找到有理数表示一个数的算术平方根，我们就用含根号的式子来表示.学生经过计算、观察到归纳出运算法则，其实就是巩固概念理解的过程. 三、教学反思

1.学生对乘方与开方之间互逆关系的思考

开方的概念是在帮助学生回忆乘方知识的基础上生成的.乘方作为已经学过的知识，教师适当引导就可以帮助学生回忆起相关的内容.但学生如何理解开方是乘方的逆运算，这就需要学生去类比加法与减法、乘法与除法的关系，从而引发学生去思考乘方与开方之间的互逆关系.2.学生感知符号语言的能力在解决问题的过程中，出现了y=5，y是5的算术平方根.那么y如何表示，换句话说5的算术平方根该如何表示.这时候出现了一个新的数学符号：根号.给定一个正数a，它的算术平方根就可以表示成a.学生要理解这种符号语言，以及这种符号语言的使用范围和表达方式.3.学生对算术平方根运算过程的理解虽然给定一个正数a，它的算术平方根就可以表示成 a.但真正进行算术平方根运算时，并不都是直接在数字上加根号.能用有理数表示一个数的算术平方根，我