江西省上饶市缔一中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析

江西省上饶市缔一中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知{an}为等差数列，其前n项和Sn，若，，则公差d等于A．1 B． C．2 D．3参考答案：C解：设等差数列的首项为，公差为，由，，得：解得：，．故选：．2.三角形ABC中A，B，C的对边分别为,,则A的取值范围为(

)A.

B.

C.（）

D.参考答案：C略3.下列四个函数①,②,③,④的图像能等分圆的面积的是（）A．②③

B．②④

C．②③④

D．①②③④参考答案：D4.函数的图象A.关于原点对称 B.关于直线y=x对称 C.关于x轴对称 D.关于y轴对称参考答案：D本题考查的知识点是函数的奇偶性，，是偶函数，所以图像关于关于y轴对称所以答案是D。5.若为虚数单位，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：.故选D．考点：复数的运算．6.设复数满足（是虚数单位），则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.若满足约束条件，则的最小值为（

）A．2

B．4

C．

D．参考答案：C【知识点】简单的线性规划问题E5由可行域知，在（0,2）处取得最小值，z=20-2=-2.【思路点拨】根据可行域及目标函数的单调性确定在（0,2）处取得最小值求出。8.设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是A．若l∥α，l∥β，则α∥β

B．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥β

D．若l∥α，l⊥β，则α⊥β参考答案：D9.集合,则的子集共有(

)A.6个

B.8个

C.10个

D.12个参考答案：B，所以P的子集共有8个10.已知，则的值域为(

)A． B．[0,1) C．(0,1) D．参考答案：D由，设，，，，，即的值域为．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（不等式选做题）不等式的解集是___________.参考答案：12.在上随机的取一个数x，则事件“满足不等式”发生的概率为．参考答案：【考点】CF：几何概型．【分析】求出名字条件的x的范围，根据几何概型求出名字条件的概率即可．【解答】解：在上，不等式”，解得：﹣≤x≤或≤x≤π，故满足不等式”发生的概率：p==，故答案为：．13.所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数．如：；；．已经证明：若是质数，则是完全数，.请写出一个四位完全数

；又，所以的所有正约数之和可表示为；，所以的所有正约数之和可表示为；按此规律，的所有正约数之和可表示为

．参考答案：14.若实数x，y满足，则的最小值是

参考答案：15.（5分）已知数列{an}的前n项和，则an=．参考答案：﹣3×2n﹣1（n∈N*）①当n=1时，a1=S1=3﹣3×21=﹣3；②当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（3﹣3×2n）﹣（3﹣3×2n﹣1）=﹣3×2n﹣1；综合①②，得（n∈N*）．故答案为：﹣3×2n﹣1（n∈N*）．16.已知向量，且，则______．参考答案：由题得,故填.17.幂函数的图象过点，则的解析式是

；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，三棱柱ABC﹣A1B2C3的底面是边长为4正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=2，M为A1B1的中点．（Ⅰ）求证：MC⊥AB；（Ⅱ）在棱CC1上是否存在点P，使得MC⊥平面ABP？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若点P为CC1的中点，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．参考答案：考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取AB中点O，连接OM，OC，证明AB⊥平面OMC，可得MC⊥AB；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，设P（0，2，t）（0≤t≤2），要使直线MC⊥平面ABP，只要?=0，?=0，即可得出结论；（Ⅲ）若点P为CC1的中点，求出平面PAC的一个法向量、平面PAB的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．解答： （I）证明：取AB中点O，连接OM，OC．∵M为A1B1中点，∴MO∥A1A，又A1A⊥平面ABC，∴MO⊥平面ABC，∴MO⊥AB∵△ABC为正三角形，∴AB⊥CO

又MO∩CO=O，∴AB⊥平面OMC又∵MC?平面OMC∴AB⊥MC（II）解：以O为原点，建立空间直角坐标系．如图．依题意O（0，0，0），A（﹣2，0，0）B（2，0，0），C（0，2，0），M（0，0，2）．

设P（0，2，t）（0≤t≤2），则=（0，2，﹣2），=（4，0，0），=（0，2，t）．要使直线MC⊥平面ABP，只要?=0，?=0，即12﹣2t=0，解得t=．

∴P的坐标为（0，2，）．∴当P为线段CC1的中点时，MC⊥平面ABP（Ⅲ）解：取线段AC的中点D，则D（﹣1，，0），易知DB⊥平面A1ACC1，故=（3，﹣，0）为平面PAC的一个法向量．…．又由（II）知=（0，2，﹣2）为平面PAB的一个法向量．

设二面角B﹣AP﹣C的平面角为α，则cosα=||=．∴二面角B﹣AP﹣C的余弦值为．点评：本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．19.已知椭圆C:(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON=，求证：点（m，k）在定圆上．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【专题】34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设焦距为2c，由已知，2b=2，a2=b2+c2联立解得．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，依题意，△＞0，化简得m2＜4k2+1，若，则，即4y1y2=5x1x2，利用根与系数的关系代入化简即可得出．【解答】（1）解：设焦距为2c，由已知，2b=2，a2=b2+c2．∴b=1，a=2，∴椭圆C的标准方程为．…（4分）（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），联立得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，依题意，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0，化简得m2＜4k2+1，①，，若，则，即4y1y2=5x1x2，∴，∴，即（4k2﹣5）（m2﹣1）﹣8k2m2+m2（4k2+1）=0，化简得，②由①②得．∴点（m，k）在定圆上．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.已知常数数列的前项和为，且（1）求证：数列为等差数列；（2）若且数列是单调递增数列，求实数的取值范围；（3）若数列满足：对于任意给定的正整数，是否存在使若存在，求的值（只要写出一组即可）；若不存在，说明理由.参考答案：（Ⅰ）∵∴，，

┄┄┄2分

∴

化简得：（常数），

∴数列是以1为首项，公差为的等差数列；

┄┄┄4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵，，

∴，∴

①当是奇数时，∵，∴，

令，∴

∵

∴，且，∴；

┄7分

②当是偶数时，∵，∴，

令，∴

∵

∴，且，∴；

综上可得：实数的取值范围是．

┄10分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，又∵，

设对任意正整数k，都存在正整数，使，

∴，∴

┄┄┄12分

令，则（或）

∴（或）

┄16分21.我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．参考答案：【考点】B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出a．（Ⅱ）由频率分布直方图求出100位居民每人月用水量不低于3吨的人数的频率，由此能估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数．（Ⅲ）求出前6组的频率之和为0.88＞0.85，前5组的频率之和为0.73＜0.85，从而得到2.5≤x＜3，由此能估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，可得（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5=1，解得a=0.30．（Ⅱ）由频率分布直方图可知，100位居民每人月用水量不低于3吨的人数为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800000×0.12=96000．（Ⅲ）∵前6组的频率之和为（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30）×0.5=0.88＞0.85，而前5组的频率之和为（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52）×0.5=0.73＜0.85，∴2.5≤x＜3由0.3×（x﹣2.5）=0.85﹣0.73，解得x=2.9，因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不