江西省上饶市福惠中学2022年高三数学文上学期期末试卷含解析

江西省上饶市福惠中学2022年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数（，为自然对数的底数）,定义在R上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数a的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果.【详解】构造函数，因为，所以，所以为奇函数，当时，，所以在上单调递减，所以R上单调递减.因为存在，所以，所以，化简得，所以，即令，因为为函数的一个零点，所以在时有一个零点因为当时，，所以函数在时单调递减，由选项知，，又因为，所以要使在时有一个零点，只需使，解得，所以a的取值范围为，故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.2.如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】利用向量的加减运算求解即可【详解】据题意，．故选：B．【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题3.设集合，如果方程（）至少有一个根，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C4.已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，若＞x，则下列不等关系成立的是（）A．f（2）＜2f（1） B．3f（2）＞2f（3） C．ef（e）＜f（e2） D．ef（e2）＞f（e3）参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=，求导g′（x）=，从而可判断函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，从而得到答案．【解答】解：令g（x）=，故g′（x）=，∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，∴f′（x）＜0，∵＞x，∴xf′（x）﹣f（x）＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故＞＞，＞＞，故2f（3）＞3f（2），f（2）＞2f（1），f（e3）＞ef（e2），ef（e）＜f（e2）；故选C．5.执行如图所示的程序框图，若输入的a=2，b=1，则输出的n值为（

）A．7

B．6

C．5

D．4参考答案：B6.已知函数（其中），则下列选项正确的是（）A．，都有

B．，当时，都有

C.，都有

D．，当时，都有参考答案：B因为当时，，所以舍去C,D因为，所以A错，选B.

7.某几何体的三视图如图1所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略8.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），过点A作准线l的垂线，垂足为E，若∠AFE=60°，则△AFE的面积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质，利用夹角公式，求出A的坐标，即可计算三角形的面积．【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1．设E（﹣1，2a），则A（a2，2a），∴kAF=，kEF=﹣a，∴tan60°=，∴a=，∴A（3，2），∴△AFE的面积为=4故选：A．9.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；②函数f（x）有2个零点；③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），④?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据f（x）为奇函数，设x＞0，得﹣x＜0，可求出f（x）=e﹣x（x﹣1）判定①正确；由f（x）解析式求出﹣1，1，0都是f（x）的零点，判定②错误；由f（x）解析式求出f（x）＞0的解集，判断③正确；分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导，根据导数符号判断f（x）的单调性，根据单调性求f（x）的值域，可得?x1，x2∈R，有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，判定④正确．【解答】解：对于①，f（x）为R上的奇函数，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x），∴f（x）=e﹣x（x﹣1），①正确；对于②，∵f（﹣1）=0，f（1）=0，且f（0）=0，∴f（x）有3个零点，②错误；对于③，x＜0时，f（x）=ex（x+1），易得x＜﹣1时，f（x）＜0；x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1），易得0＜x＜1时，f（x）＜0；∴f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；③正确；对于④，x＜0时，f′（x）=ex（x+2），得x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即﹣e﹣2＜f（x）＜1；x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=﹣1；∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；∴?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；④正确；综上，正确的命题是①③④，共3个．故选：B．10.按如下程序框图，若输出结果为，则判断框内应补充的条件（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】算法与程序框图.

L1【答案解析】B

解析：第一次循环的结果s=2,i=3；第二次循环的结果s=10,i=5；第三次循环的结果s=42,i=5.也输出的结果为S=42，所以判断框内应补充的条件是，故选B.【思路点拨】依据程序框图得流程，依次写出前几次循环的结果，根据输出的结果得判断框内应补充的条件.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于任意实数，表示不超过的最大整数，如.定义上的函数，若，则中所有元素的和为____.参考答案：1512.在平面直角坐标系中，已知点是半圆（≤≤）上的一个动点，点在线段的延长线上．当时，则点的纵坐标的取值范围是

．参考答案：13.（几何证明选讲选做题）已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直线CD于点E，M是⊙O2上的一点，若PE=2，EA=1，，那么⊙O2的半径为

.

参考答案：略14.在无穷等比数列{an}中，，则的取值范围是___________.参考答案：【分析】由题意首先确定公比的范围，然后结合等比数列前n项和的极限得到关于的表达式即可确定首项的范围.【详解】等比数列的极限存在，则：且，即.由等比数列的极限有：，则：，，.故答案为：．【点睛】本题主要考查等比数列前n项和极限的计算，等比数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.若关于，的不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则的值为

.

参考答案：先做出不等式对应的区域如图。因为直线过定点，且不等式表示的区域在直线的下方，所以三角形ABC为不等式组对应的平面区域，三角形的高为1，所以，所以，当时，,所以，解得。16.过点（－2，0）且垂直于直线2x-6y+l=0的直线的方程是

。参考答案：17.设，满足约束条件，则的最小值为

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）设，若函数在上(这里）恰有两个不同的零点,求实数的取值范围．参考答案：见解析【知识点】利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性导数的概念和几何意义解：（Ⅰ）函数定义域为

，

又，所求切线方程为，即

（Ⅱ）函数在上恰有两个不同的零点，

等价于在上恰有两个不同的实根

等价于在上恰有两个不同的实根，

令则

当时，，在递减；

当时，，在递增．

故，又．

，，

即19.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．参考答案：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，∵椭圆的离心率为，∴a2=4b2，又∵M（4，1），∴，解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为．…（4分）（Ⅱ）将y=x+m代入并整理得5x2+8mx+4m2﹣20=0，∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B∴△=（8m）2﹣20（4m2﹣20）＞0，解得﹣5＜m＜5．…（7分）（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，只要证明k1+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），根据（Ⅱ）中的方程，利用根与系数的关系得：．上式的分子=（x1+m﹣1）（x2﹣4）+（x2+m﹣1）（x1﹣4）=2x1x2+（m﹣5）（x1+x2）﹣8（m﹣1）=所以k1+k2=0，得直线MA，MB的倾斜角互补∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．…（12分）考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：（I）设出椭圆的标准方程，根据椭圆的离心率为，得出a2=4b2，再根据M（4，1）在椭圆上，解方程组得b2=5，a2=20，从而得出椭圆的方程；（II）因为直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B，可将直线方程与椭圆方程消去y得到关于x的方程，有两个不相等的实数根，从而△＞0，解得﹣5＜m＜5；（III）设出A（x1，y1），B（x2，y2），对（II）的方程利用根与系数的关系得：．再计算出直线MA的斜率k1=，MB的斜率为k2=，将式子K1+K2通分化简，最后可得其分子为0，从而得出k1+k2=0，得直线MA，MB的倾斜角互补，命题得证．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，∵椭圆的离心率为，∴a2=4b2，又∵M（4，1），∴，解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为．…（4分）（Ⅱ）将y=x+m代入并整理得5x2+8mx+4m2﹣20=0，∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B∴△=（8m）2﹣20（4m2﹣20）＞0，解得﹣5＜m＜5．…（7分）（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，只要证明k1+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），根据（Ⅱ）中的方程，利用根与系数的关系得：．上式的分子=（x1+m﹣1）（x2﹣4）+（x2+m﹣1）（x1﹣4）=2x1x2+（m﹣5）（x1+x2）﹣8（m﹣1）=所以k1+k2=0，得直线MA，MB的倾斜角互补∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．…（12分）点评：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于难题．解题时注意设而不求和转化化归等常用思想的运用，本题的综合性较强对运算的要求很高20.已知函数f（x）=ex﹣1﹣，a∈R．（1）若函数g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围；（2）当a≤﹣1时，证明：f（x）lnx＞0对于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成立．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意可知：由函数g（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，等价于g′（x）=xex﹣a﹣1在（0，1）上有且仅有一个变号零点，构造辅助函数，根据函数的单调性，即可求得a的范围；（2）由题意，利用分析法，由结论可得（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax≥0在（0，+∞）恒成立，设g（x）=（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax，x∈，H′（x）=ex（x+1），由x∈，H′（x）＞0，H（x）在单调递增，∴H（0）=﹣a﹣1＜0，H（1）=e﹣a﹣1＞0，解得：﹣1＜a＜e﹣1，∴当﹣1＜a＜e﹣1时，函数g（x）在（0，1）上有且只有一个极值点；（2）证明：f（x）lnx=（ex﹣1﹣）lnx，只需证：?lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，由x∈（0，1）∪（1，+∞）时，?lnx＞0恒成立，∴只需证：（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax≥0在（0，+∞）恒成立，设g（x）=（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax，x∈=（1+k2），=（1+k2），=4（1+k2）（x12﹣4kx1+4k2），同理丨AD丨=4，=4（1+）（x12+x1+），由丨AB丨=丨AD丨，则丨AB丨2=丨AD丨2，4（1+k2）（x12﹣4kx1+4k2），=4（1+）（x12+x1+），整理得：x1==k﹣，则丨AB丨2=4（1+k2）=4（1+k2）（k+）2，丨AB丨=2（k+），丨AD丨2=4（1+）4（1+）（k+）2，丨AD丨=2（k+），∴△ABD面积S=×丨AB丨×丨AD丨=×2（k+）×2（k+），==2（k+）3≥2（2）3=16，当且仅当k=时，即k2=1，即k=1，取等号，∴△ABD面积的最小值16．21.已知定义在R上的函数，且恒成立.（1）求实数m的值；（2）若，求证：.参考答案：（1）；（2）见解析.【分析】(1)由题得恒成立，即|2m|＜4即得m的值.(2)由题得，再利用基本不等式求的最小值，即不等式得证.【详解】（1）∵,要使恒成立，则，解得.又∵，∴.（2）∵.∴，即，∴，当且仅当，即，时取等号，故.【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，考查不等式的证明，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理