山西省忻州市静乐县第一中学2021年高三数学理测试题含解析

山西省忻州市静乐县第一中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为（

）参考答案：由三视图可知，该几何体为一个球体，下半球完整，上半球分为四份，去掉了对顶的两份，故表面积应为球的表面积，去掉球的表面积，再加上个圆面积，故，又球半径，，故选.2.若曲线的所有切线中，只有一条与直线垂直，则实数的值等于（

） A．0 B．2 C．0或2 D．3参考答案：B3.设是虚数单位，则复数（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：,故选B.考点：复数的运算.4.已知定义在R上的函数f（x）满足①f（x）+f（2﹣x）=0，②f（x）﹣f（﹣2﹣x）=0，③在[﹣1，1]上表达式为，f（x）=则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为(

)A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先根据①②知函数的对称中心和对称轴，再分别画出f（x）和g（x）的部分图象，由图象观察交点的个数．【解答】解：∵①f（x）+f（2﹣x）=0，②f（x）﹣f（﹣2﹣x）=0，∴f（x）图象的对称中心为（1，0），f（x）图象的对称轴为x=﹣1，结合③画出f（x）和g（x）的部分图象，如图所示，据此可知f（x）与g（x）的图象在[﹣3，3]上有6个交点．故选B．【点评】本题借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图象交点个数等问题，属于中档题．5.盒中有10个铁钉,其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是(

)A.B.C.D.参考答案：C略6.如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，三星销量约占30%，苹果销量约占20%），根据该图，以下结论中一定正确的是（

）A.四个季度中，每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量B.苹果第二季度的销量小于第三季度的销量C.第一季度销量最大的为三星，销量最小的为苹果D.华为的全年销量最大参考答案：D【分析】根据华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图，分析出每个季度华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比，再对每个选项进行分析判断即可.【详解】对于A，第四季度中，华为销量大于50%，三星和苹果总销量之和低于华为的销量，故A错误；对于B，苹果第二季度的销量大于苹果第三季度的销量，故B错误；对于C，第一季度销量最大的是华为，故C错误；对于D，由图知，四个季度华为的销量都最大，所以华为的全年销量最大，D正确，故选D.【点睛】本题主要考查百分比堆积图的应用，考查了数形结合思想，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.7.已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A8.已知为的导函数,则的图像（

）参考答案：A略9.已知向量为单位向量，且，则的值为（

）A.1

B.2

C.

3

D.参考答案：Ａ10.某计算器有两个数据输入口M1，M2一个数据输出口N，当M1，M2分别输入正整数1时，输出口N输出2，当M1输入正整数m1，M2输入正整数m2时，N的输出是n；当M1输入正整数m1，M2输入正整数m2+1时，N的输出是n+5；当M1输入正整数m1+1，MM2输入正整数m2时，N的输出是n+4．则当M1输入60，M2输入50时，N的输出是（）A．494 B．492 C．485 D．483参考答案：D【考点】进行简单的合情推理．【分析】依题记f（m1，m2）=f（m1，m2﹣1）+5×1=f（m1，1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1，1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1，1）+4×（m1﹣1）+5×f（m1，1），将m1=60，m2=50，f（1，1）=2，代入得结论．【解答】解：依题记f（m1，m2）=f（m1，m2﹣1）+5×1=f（m1，1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1，1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1，1）+4×（m1﹣1）+5×（m2﹣1），将m1=60，m2=50，f（1，1）=2，代入得483．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设集合M={(x，y)|x2+y2=，，y∈R}，N={(x，y)|，，y∈R}，若M∩N恰有两个子集，则由符合题意的构成的集合为______参考答案：略12.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则__________．参考答案：或由余弦定理可得，将，，，代入得，解得或．13.定义在R上的函数f（x）可导，且f（x）图象连续，当x≠0时的零点的个数为

．参考答案：214.已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，，且当时，恒成立，则m－n的最小值是__________.参考答案：15.已知，且为第二象限角，则的值为

.参考答案：16.设函数，若|f（x）+f（x+l）﹣2|+|f（x）﹣f（x+l）≥2（l＞0）对任意实数x都成立，则l的最小值为

．参考答案：2

【分析】令g（x，l）=|f（x）+f（x+l）﹣2|+|f（x）﹣f（x+l）|（l＞0）易知函数f（x）为偶函数，且f（x）≥0，g（x，l）≥2恒成立，所以g（﹣）=2|f（）﹣1|≥2．可得f（）≤0或f（）≥2，即，或．分类讨论即可求解．【解答】解：令g（x，l）=|f（x）+f（x+l）﹣2|+|f（x）﹣f（x+l）|（l＞0）易知函数f（x）为偶函数，且f（x）≥0，g（x，l）≥2恒成立，所以g（﹣）=2|f（）﹣1|≥2．∴f（）≤0或f（）≥2，即，或．①若l=2，由g（﹣）=）=|+﹣2|+||=2＜2，不合题意．②若l≥2，则max{|x|，|x+2|}，故max{f（x），f（x+l）}≥2．从而g（x，l）=|f（x）+f（x+l）﹣2|+|f（x）﹣f（x+l）|≥max{f（x）+f（x+l）﹣2+f（x）﹣f（x+l），f（x）+f（x+l）﹣2﹣|f（x）+f（x+l）}≥max{2f（x）﹣2，2f（x+l）﹣2}≥2，从而．故答案为：2．【点评】本题考查了函数不等式恒成立问题，分类讨论思想，绝对值不等式的性质，属于难题．17.已知等差数列的公差为，项数是偶数，所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则这个数列的项数为

；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的参数方程为（θ是参数），直线l的极坐标方程为（ρ∈R）（Ⅰ）求C的普通方程与极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|的值．参考答案：考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由sin2θ+cos2θ=1，可得圆C的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，即可得到圆的极坐标方程；（Ⅱ）由于圆经过原点，由圆的极坐标方程，代入，计算即可得到弦长．解答： 解：（Ⅰ）由sin2θ+cos2θ=1，可得圆C的普通方程是（x﹣）2+（y﹣）2=1，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，又x2+y2﹣x=0，即有ρ2=ρ（cosθ+sinθ），即有圆的极坐标方程是ρ=2cos（θ﹣）；

（Ⅱ）由圆的极坐标方程可得，当时，ρ=2cos（﹣）=2×=，故|AB|=．点评：本题考查参数方程和普通方程及极坐标方程的互化，同时考查极坐标方程的运用，属于基础题．19.（本题满分共14分）如图，四边形ABCD为矩形，,BC平面ABE，BFCE，垂足为F.（1）求证：BF平面AEC;（2）已知AB=2BC=2BE=2，在线段DE上是否存在一点P，使二面角P-AC-E为直二面角，如果存在，请确定P点的位置，如果不存在，请说明理由。参考答案：解法（一）：(1)BC平面ABEBCAE，又，所以，AE平面CBEAEBF，而BFCE，所以，BF平面AEC。（2）过P作PKAC于K,PLEC于L,连接K,L。则。设PE=x，则PK=PL=，KL=，，所以，P为DE的三等分点，且解法（二）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立直角坐标系。则A(0，0，0)，B(0，2，0),C（0，2，1）D(0，0，1),E（1），，所以，BF平面AEC（2）设，，,设平面APC的法向量为，，，令y=1，则z=-2，，而平面AEC的法向量是，，解得，所以，存在点P，且20.设分别为椭圆的左、右焦点.（1）若椭圆上的点两点的距离之和等于4，w.w.w.高考资源网.c.o.m

求椭圆的方程和焦点坐标；(2）设点P是（1）中所求得的椭圆上的动点，。参考答案：21.已知抛物线E：y2=4x的焦点F为椭圆M：（a＞b＞0）右焦点，两曲线在第一象限内交于点P，且|PF|=（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）过点F且互相垂直的两条直线l1与l2，若l1与椭圆M交于A、B两点，l2与抛物线E交于C、D两点，且|CD|=4|AB|，求直线l1的方程．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（I）通过抛物线方程可知c=1，利用P（，）及椭圆定义可知=2，进而可得结论；（II）通过分析确定直线l1的斜率存在且不为0，通过设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l1：y=k（x﹣1），直线l2：y=﹣（x﹣1），利用两点间距离公式及|CD|=4|AB|可求出k的值，进而可得结论．【解答】解：（I）由已知，F（1，0），即c=1，由|PF|=且点P在第一象限内，可知P（，），由椭圆定义可知2a=+=4，即a=2，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆M的方程为：；（II）由题可知，直线l1的斜率必存在．①当直线l1的斜率为0时，则直线l2的斜率不存在，此时|CD|=4，|AB|=4，不满足题意；②当直线l1的斜率存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l1：y=k（x﹣1），则直线l2：y=﹣（x﹣1），联立直线l1与椭圆M的方程，消去y得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，从而|AB|=|x1﹣x2|=?=，联立直线l2与抛物线E的方程，消去y得：x2﹣2（+2）x+=0，从而|CD|=x1+x2+2=+2=4（k2+1），由|CD|=4|AB|可知=k2+1，解得：k=±，所以直线l1的方程为：3x±2y﹣3．22.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲ks5u设

（1）当，求的取值范围；

（2）若对任意x∈R，恒成立，求实数的最小值．参考