山西省太原市铁路职工子弟第三中学2021-2022学年高三数学文测试题含解析

山西省太原市铁路职工子弟第三中学2021-2022学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等差数列{an}中，7a5+5a9=0，且a9>a5，则使数列前n项和Sn取得最小值的n等于（

）

A．5

B．6

C．7

D．8参考答案：B2.设方程的两个根为、，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略3.若复数z满足，则z的虚部为

A．

B．

C．

D．参考答案：D4.已知为第二象限角，，则A．

B.

C.

D.参考答案：A5.已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（l≤X≤5）=0．6826，则P（X>5）=（

）A．0．1588

B．0．1587

C．0．1586

D．0．1585参考答案：B略6.某校开展“爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：D7.在中，，，，，则(

)(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C因为，所以。8.设的内角所对的边分别为.若，则的形状为（

）A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.不确定参考答案：A9.设曲线y=a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）在点（2，6）处的切线方程为y=3x，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【分析】求出导数，求得切线的斜率，由切线方程可得a﹣1=3，即可得到a的值．【解答】解：y=a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）的导数为：y′=a﹣，在点（2，6）处的切线斜率为a﹣1=3，解得a=4，故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用导数的几何意义，正确求导是解题的关键．10.已知，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C【考点定位】指数函数和对数函数的图象和性质．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ–)=

.参考答案：试题分析：由题意，解得所以，12.已知函数在点处的切线方程为，则__________．参考答案：4【详解】，，，则13.如图，点P是单位圆上的一个顶点，它从初始位置P0开始沿单位圆按逆时针方向运动角α（）到达点P1，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点P2，若点P2的横坐标为，则cosα的值等于．参考答案：略14.已知数列是公差为2的等差数列，且，，则

．参考答案：数列是公差为2的等差数列，且a1=1，a3=9，∴﹣=（﹣1）+2（n﹣1），﹣=（﹣1）+2，∴3﹣=（﹣1）+2，∴a2=1．∴﹣=2n﹣2，∴=2（n﹣1）﹣2+2（n﹣2）﹣2+……+2﹣2+1=﹣2（n﹣1）+1=n2﹣3n+3．∴an=．n=1时也成立．则an═．故答案为：．

15.若数列的通项公式，记，试通过计算、、的值，推测出

．参考答案：略16.直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有顶点均在同一个球面上，且AB=AC=3，∠BAC=60°，AA1=2．则该球的体积为．参考答案：【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意知：△ABC为等边三角形，设其中心为O，设球心为O1，则△AO1O为直角三角形，AO⊥OO1，由此能求出球的半径，从而能求出该球的体积．【解答】解：由题意知：△ABC为等边三角形，设其中心为O，则AO=BO=CO=，设球心为O1，则△AO1O为直角三角形，AO⊥OO1，∴球的半径r==2，∴该球的体积为V球==．故答案为：．17.甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍，忽听“砰”的一声，讲台上的花盆被打破了，甲说：“是乙不小心闯的祸”乙说：“是丙闯的祸”，丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸．”如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话，那么这个小朋友是．参考答案：丙【考点】进行简单的合情推理．【分析】运用反证法，假设结论成立，再经过推理与证明，即可得出正确的结论．【解答】解：假设甲说的是实话，则“是乙不小心闯的祸”正确，丙、丁说的都是实话，这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾，假设错误；假设乙说的是实话，则“是丙闯的祸”正确，丁说的也是实话，这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾，假设错误；假设丙说的是实话，则“乙说的不是实话”正确，甲、乙、丁说的都是不实话，得出丁闯的祸，符合题意；假设丁说的是实话，则“反正不是我闯的祸”正确，甲、乙、丁中至少有一人说的是实话，这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾，假设错误．故答案为：丙．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率100.252420.05合计1（Ⅰ）求出表中及图中的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率.参考答案：（Ⅰ）由分组内的频数是，频率是知，，所以.

……………2分因为频数之和为，所以，.

……………3分.

……………………4分因为是对应分组的频率与组距的商，所以.…6分（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人.…8分（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，设在区间内的人为，在区间内的人为.则任选人共有，15种情况，

……10分而两人都在内只能是一种，………………11分所以所求概率为.

………12分19.（2017?平顶山一模）某校高一共录取新生1000名，为了解学生视力情况，校医随机抽取了100名学生进行视力测试，并得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）若视力在4.6～4.8的学生有24人，试估计高一新生视力在4.8以上的人数；

1～50名951～1000名近视4132不近视918（Ⅱ）校医发现学习成绩较高的学生近视率较高，又在抽取的100名学生中，对成绩在前50名的学生和其他学生分别进行统计，得到如右数据，根据这些数据，校医能否有超过95%的把握认为近视与学习成绩有关？（Ⅲ）用分层抽样的方法从（Ⅱ）中27名不近视的学生中抽出6人，再从这6人中任抽2人，其中抽到成绩在前50名的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．附：K2=P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用频率分布表，求出前四组学生的视力在4.8以下的人数，然后求解视力在4.8以上的人数．（Ⅱ）求出k2，即可说明校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关．（Ⅲ）依题意，6人中年级名次在1～50名和951～1000名的分别有2人和4人，所以ξ可取0，1，2．求出概率，顶点分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由图可知，前四组学生的视力在4.8以下，第一组有0.15×0.2×100=3人，第二组有0.35×0.2×100=7人，第三组1.35×0.2×100=27人，第四组有24人．…（2分）所以视力在4.8以上的人数为人．…（Ⅱ），因此校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关．…（8分）（Ⅲ）依题意，6人中年级名次在1～50名和951～1000名的分别有2人和4人，所以ξ可取0，1，2.，，，ξ的分布列为ξ012P…（10分）ξ的数学期望．…（12分）【点评】本题考查频率分布直方图以及概率的求法，分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．20.已知数列的前项和为，且。（1）求数列的通项公式；（2）数列中，令，，求；（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令（为正整数），求数列的变号数．参考答案：解：（1），∴………………1分又当时，………………3分所以……………………4分（2）∵，∴

，………5分………………6分，∴…9分（3）解法一：由题设……………………10分∵时，，∴时，数列递增…………12分∵，由，可知，即时，有且只有个变号数；又∵，即，∴此处变号数有个．……………13分综上，数列共有个变号数，即变号数为。…………14分解法二：由题设……………10分时，令；又∵，∴时也有．…………………13分综上得：数列共有个变号数，即变号数为。

…………………14分

略21.已知函数.（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）若≥0对任意的恒成立，求实数a的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：.参考答案：解（Ⅰ）由题意，由得. 当时,；当时，. ∴在单调递减，在单调递增. 即在处取得极小值，且为最小值， 其最小值为

5分（Ⅱ）对任意的恒成立，即在上，. 由（1），设，所以. 由得. ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴在处取得极大值. 因此的解为，∴.

10分（Ⅲ）由（2）知，因为，所以对任意实数均有，即