2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第二册课后提升训练第五章 一元函数的导数及其应用

00)00000)0000-00)00000)0000-第五章测评时间:120分钟满分150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分共40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的).f)是可导函数且Δ0

(

)-(

=则f')=()A.2

-

-2解析→0

𝑥

)-(𝑥Δ

-𝑥=Δ0

𝑥-Δ𝑥-Δ𝑥

=f'=2.故选A答案A.(2020湖南高二期)一质点做直线运经过t秒的位移为s=-t2+t,则速度为零的时刻是()A.1秒秒或末

B.4秒D.0秒4秒末解析因s=t

+t所以s'=t2

-t+令t2

-t+=解得t=t=所以速度为零的时刻是1秒或4秒,选C答案.线f(x)=x3

+x-2在处切线平行于直线41,P点的坐标()和(-

B.(2,8)和-1,解析依意令f')=x

+=4,得x=f(1)=0,(1)=-4,点坐(1,0),(1,故选C答案.数f(x)=3x

+2x的值点的个数()A.0

B.1无个解析函定义域+且)=x+-2=,0,(x=x𝑥𝑥成立.故)>0恒立即f(x在定义域上单调递增,极值点答案A.数f(x)=(2+tx)ex实数t为数且t<0)的图象大致是()

-x+Δ=-20<0,以()>0恒

,故a≥=x,y=tanx在,故a≥=x,y=tanx在x∈-解析由fx)=得

+tx=得x=0或即数f()有两个零点排除A,C;函数的导数f'(x)=x+t

+x

+tx=[x

+t+x+t]ex当x-时f')>即在轴左侧函数f()为增函排除D;故B.答案B.函数f()=ax+cosx在-A.[1,+)B.(-,]C.[-,1]D.(-,-]∪[1,+)

]增函则实数a的值范围是)解析依意,x)cossinx≥区[-,

]上成立即acos≥sin当x∈-,

],

时为递增函数,其最大值为tan=故≥1.所以选A.答案A.知定义在R上函数f)的导数为f'x),若足f(x(>则下列结:①(->②f(1)<0;f->f-1);④f(1)>fA.4解析令h(x(),

B.3

中,正确的个数是()D.1所以(x)(x+fx)-1,因为函数f()满足f)()>1,所以(x)>所以(x在R上增函数,因为h-=-f1)+=所以f(-1)>>0,故正确.因为h=f-1>h(0)=所以f(1)>故错误.因为h-=-f-2)+(=-f-1)+所以2f(->f(1)+>f1),故③正确.因为h=f-1>h=f

𝑥-𝑥-所以2f>f

+>f,④正故选.答案B.义(+)的函数f(x)满足xf'()=1+x且f(1)=不等式fx)(1有解,正实数取值范围是()A.(0,]

B.(0,)C.(0,

D.,)解析因f')=+,fx)=x+lnx+C其中C为数.因f(1)=2,所以C=1,fx=x+ln1.不等式f()≥(1)x+解可化为lnx+≥(a+1)x+1,≥a在(0,+)有解令gx)=,(x)=,2当x∈时g'(x>g()在0,e)上为增函数;当x∈+时g'x)<g(x在(+)为减函;故gx)=所以0<a,故选答案二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分共20分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.部选对的得5分,部分选对的得3分有选错的得).(2019山东高三月)下列结论中不正确的()A若cos,B若sin2

则y'=xcos2C若cosx则sin5xD.若2,则y'=x2x解析对cos则sin,故错;2对于B,y=sinx

,则y'=2xcos2

故正确;对于y=x,则y'=-5sin5x故错误;对于D,y=x则cos2x故错误故选答案ACD

11122)22111111122)221111)|,,.(2020山东高三月考设函数f=,

若函数g(x=f-b有三个零点则数可的值可能是()A.B

C.D解析由意,数g()=fx)-b有个零点则g(x=f(x)-b=0,即f()有个当x≤0时f(x)=

(1),则(x=

+

=x

(2),由)<0得x+2<即此时(x为减函数,由)>0得x+2>即2<x此时f(x)增函数即当x=-时f)取得极小值f-=-,出f(x的图象如图2要使f()有个根,0≤则数可的值可能是故选BC答案BC.(2020海南高三月考已知ln-y+2=0,x+--2ln=记M=(-

(-

)则下列说法正确的是()M的小值为B当M最小x=C.M的小值为D.当M最时x=解析由ln-y+2==x-x+(-

(-

)的最小值可转化为函数y=lnx-x+2图上的点到直线x+4-=0上点的距离的最小值的平,由与直线2-2ln2=平行且与曲线y=ln2相的直线的斜率-,

--)由20--)由20-min则令-=-,解得x=.∴切点坐标2,ln2).∴(2,ln2)直线-2ln2=的距离d=

即函数的点到直线42ln2=0上的点的距离的最小值为∴-

(-

)的最小值为=.过2,ln2)x+2y-4-2ln2=垂的直线为y-ln2=2),即2x-y-+ln2=0,-,-,

解得即当M最时x=,选BC.答案BC12(2020南师大附中高二期)若直线l与线满下列两个条:①线l在(x处与曲线C相切;曲线C在点附位于直线l两侧,称直线l在切过曲线C.下列结论正确的是)直l0在(0,0)处切过曲线:y=x3B直线l:y=x-1在(1,0)“切过曲线:lnC直线l:y=x点P(0,0)处切过曲线:xD直线l:y=x在P(0,0)处“过”曲线:tanx解析A,因为y'=x

当x=0时,0,所以l:y=曲线C:y=x

在点(0,0)的切.当0;0时0,所以曲线在点附近位于直线l的结论正;B项y'=,当x=,1,在(1,0)处的切线为ly=x-1令hx)=x-1x,则h')=1(0),当h')>0;当<x<,h')<0,所以hx)=故x-≥x,即当时,线C全部位于直线l下侧(除切点,结论错误C项,cos,当x=0时y'=在P(0,0)的切线为l:y=x,由正弦函数图象可知,线在点P附近位于直线l的侧结正确D项y'=当时y'=1,P(0,0)处的切线为l:y=x由正切函数图象可知,线在点P附近位于直线l的侧结正确.

11221--11221--故选ACD.答案ACD三、填空题(本题共4小题,小题5分共20分.某产品的销售收入万元与产量(千台的函数关系是y=172生产成本万元与产量x千台的函数关系是=23

-x

,已知0,使利润最,应生产

(千台).解析由意,润-y=17y'=36x

-x3

)=x

-x(x>由y'=x-62

=x-x=得6(x>当x∈时当x∈(6,+时,0.∴函数在(上为增函数在6,+上为减函.则当x=千台)时y最大值为144(万元)故答案为答案.已知函数(x)=2+2ax-lnx,f(x)在区间,上是增函数则实数取值范围是

解析∵(x在区,上增函,∴)=x+≥0在,恒立即2a≥-x+在[,恒立.∵-x+在[,2]上减函数,∴(

)max

∴2≥,

∴≥.答案,).已知函数(x)

+

+3x+1,∈+),fx)成立则实数a的值范围是

解析x∈[2,+),()≥即3

+

+1≥0,2

≥-令gx)=x+2

则g')=3下面我们证g')≥0在∈[2,+)成立

1212112𝑥221212112𝑥22也即x-x-≥在∈[2,+上恒成.令hx)

-x-2,(x=2

-=x+1),易知(x)≥0在∈+)上恒成立,∴h()在∈+)内为增函数,∴h()≥(2)=0,也就是3

-32∈[2,+)上恒成立,∴g'()≥∈[2,+)上恒成立g(x在x∈[2,+∞)增函,∴g()的最小值为g=-a≤g(2)=,得a-答案-,).若函数f(x)=a2

+x的值点为=1,=则b=本题第一空,第二空分解析fx)定义域(+)f'()=+2bx+3=

因为函数f()的极值点为=1,x=所以x=1,=方程)==的个根,为方程2-,所以由根与系数的关系知{.-,

+x+a=两根解得{-

.答案--四、解答题(本题共6小题,70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本小题满分10分(2020陕西高二期末求下列函数的导(1)y=sinx+x.解(y'=(sinx'+x'=cosx+y'=

()-𝑥(

-(.本小题满分12分(2020南昌新建一中高期)设函数f(=aln1,其中∈R,曲线y=f(x)在点f处的切线垂直于y轴(1)求的;

解(因为f(x=ax+1,故f'x)=解(因为f(x=ax+1,故f'x)=2令f'(x)=解得12×(300-4r2)=(300r(2)求函数f(x)极值2

由于曲线x)点f(1))处的切线垂直于轴故该切线斜率为即(1)=从a-

=解得a=-1由(1)知f)=-x+x+0),f'x)=-

2

-(-22x==-(因x=-不在定义域内舍去,∈时,f'(x<故f(在上为减函;当x∈(1,+)时,f'(x>故f(x在(+)为增函数,f)在取得极小值f(1)=.本小题满分12分已知为常数函fx)=x3x

+k[0,2]上的最大等于(1)求k的;(2)若函数(x)在定义域R上连续且单调递,(0)=k,g()≥1,出一个满足以上条件的函数g(x),并证明你的结论.解(f'()=x

-x=x(2),因为≤x≤f'(x)0,以f()在[上调递;所以当x∈时,f)=f=k=所以函数()=满条件证明如下首先函数(x)=

满足在定义域R上续且单调递且g==k.下面证明g(x≥1,令()=gx)x+1)=

则h'(x=x

由h')=0,得x=0,当x∈∞时,h'x)<h(x在(-上调递;当x∈+),()>(x)在(+)上单调递增所以hx≥(0)=即g()(x+1)≥0,所以g(x).本小题满分12分(2020安徽高二期末某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池不厚)设该蓄水池的底面半径为r米高为h米体积为方假设建造成本仅与表积有侧面的建造成本为元平方米底面的建造成本为160元平方米该水池的总建造成本为π元π为周率).(1)将表成r的数(r并该函数的定义域;(2)讨论函数Vr)的单调性,并确定r和h为值时该蓄水池的体积解(∵蓄水池的侧面的建造成本为200·πrh元底的建造成本160r2

元,∴蓄水池的总建造成本为πrh+πr

元即πrh+160r2

=∴h=(300-r

),∴(r)=r2

h=r

),

∴)=---21∴h(∴)=---21∴h()=-ax->𝑥又由r>0,h>得0<r<5故函数Vr)的定义域为3由(1)中V(r)=(300r-4r3<r<5,可得V'(r=-12r2)(0<r<5令V'(r)=(300-12r2)=则r=∴当r,(r)>0,数(r为增函当r∈)时,(r)<0,数Vr)为减函数,所以当r=8时蓄水池的体积最.21(本小题满分12分设函数fx)=(1-

).(1)证明当,()>0;(2)若关于x的等式<a(对任意∈(1,+)成立求实数a的取值范证明∵(x)=(1-

),-22当f')>0.∴()在(+)内为增函数,∴()>f=得证.解设()=-a(x-∈(1,+则h')=22

当a,-ax2<0,∴h'()<∴h()在∈+)为减数∴h()<h(1)=0恒立即不等式<a(x-1)对任意∈+)恒成立;当a,在+)有h(e)=(e>故不合题意;当0<a<∵对任意∈+)恒成立;----a(x-1)=(x-1)=(1-ax222∴当x∈,

),(x)≥0,故不合题意.

12min111212111122121211122211112min11121211112212121112221111111222综上≥.本小题满分12分已知函数f)=

-2

kR(1)若f)在上增函数求数的值范围;(2)讨论函数f()的极值并明理由;(3)若f)有两个极值点,x求:函数fx)有三个零点.解(由f()=

-2

-kx-得f'(x=

-x-k∵()在上增函数∴)≥上恒成,即k≤