2020-2021东城区高三第一学期期末数学试卷及答案

东城区2020—2021学年度第一学期末统一检测高数学

2021.1本试卷共4页150分考试时120钟考务必将答案答在答题卡上试卷上作答无效试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部

（选择题共40分一选题10小题，小4分共40分在小题出四选中选符题要的项（1）已知集合

，则

AB（A）

（B）

（C

（）

（2）已知

d的差数列，S为其前n项和．若n

S，d31（A）

（）

（C）1

（）2（3）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)

上单调递增的是（A）

y

（）yln

（）

y

x

（D）ysinx（4）将正方体去掉一个四棱锥得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图为（A（B）（C）（）（5）与圆

x

2y

相于点的直线的斜为（A）

（）

（C）

（）21

（6）函数

f)

)

的部分图象如图所示，则

f(（A）

3

2（B

32（C）

32

12

O

5π12

（）

2（7）设a

，

b

是两个不共线向量，“

与

b

的夹角为锐”是

()

”的（A）充分而不必要件B）必要而不充分条件）分必要条件（D既不充分也不必要条件（8十二生肖，又叫属相依为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、现十生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则同的选法有（A）242种（B）种（）种（）110种（9）已知抛物线

y2px

(p0)

的焦点到准线的距为2

，过焦点F的线与抛物线交于，两，且

|AF|

，则点A到轴的距离为（）

（）

（）

（）（10）公园门票单价30，相关优惠政策如下：①10（含）以上团体购票优惠；②50（含）以上团体购票优惠；③100人（含）以上团体购票折惠；④购票总额每满元减100元单张票价不优惠）．现购买47张票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为（A）1090元（B1171元（C元（D1210元第二部二、填空题共5小题，每小题5分，共25分

（非选择题共110分（）数

34ii

．（）数()x的义域是______．（）知sin

13，π，，则32

，

．2（）知双曲线:，为边三角形若点在a22双曲线的实轴为ABC的位线，则双曲线M的心率为_______．2

轴上，点,C在曲线M上且

（）知函数f

,的大整.例如：

①f

；②若fx实a的值范围_．三解题6小，分，解答写文说，算骤证过。（小13分如图，在四棱锥P中PD面ABCD，，面边长为2的方形，E，的中.P

，F

分别为（Ⅰ）求证：平面

平面PCD（Ⅱ）求直线BF

与平面

所成角的正弦值FEDA

C（17小13分）已知函数

gxsin(

6

)，h(x)x

，再件①、条件②这两个条中选择一个作为已，求（Ⅰ）（Ⅱ）

ff()

的最小正周期；π在区间[]上最大值．2条件①：

f(x)()x

；条件②：

f)()()

.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．3

（小14分为了解果园某种水果产量情况，随机抽取100水果测量质量，样本数据分组为[100，150)，，，，，，300)[300，，，单：克，其频率分布直方图如图所示：频率/距100150200250300350400

质量(克)（Ⅰ）用分层抽样的方法从样本里质量，，，的果中抽取，求质量[250300)的水果数量；（Ⅱ）从（Ⅰ）中得到的个果中随机抽取，记X为量[，的果数量，求X的布列及数学期望；（III）果园现有该种水果约20个，其等级规格及销售价格如下表所示，质量m(单位：)等级规格价格元个

m<200二等4

200≤<300一等7

m300特等10试估计果园该种水果的销售收.（19小15分已知椭圆

yC:a2

过点

A(2,0),

，且离心率为.（Ⅰ）求椭圆C的程；（Ⅱ）设直线l

与椭圆C有仅有一个公共点，且与轴于点G(,

不合)，ETx轴垂足为.求证：

|TA||TB|GB

.4

*（20小15分）*2已知函数f(),R．ex（I）若曲线

fx)

在点

(1,f(1))处切线平行于直线x，该切线方程（II）若，证：当x时

fx)

；（III）若

f()

有且只有两个零点，求a的．（21小15分）给定正整数，tm)，数列:，，满足：，2niii2列具性质(t，)

m，称数t对于两个数列:b，b:c，，c，12定义数列b，b.22nn（I）设数列性质，列B项公式bn数列AB前四项和；（II）设数列A(i*)有性质E(4，m数列:b，，，，满足：b，4i1n24j

j

(jN

*

)在一组数列AA，，得AB为数列，求出m能的值；k2（III）设数列Aii

*

)具性(，t常数t2)数满足，且2(j)存在一组数列A，A，AAjj112

A常数列k

的最小需写出结论）5

A东区学年第学期统检高数参答及分准A一选题共10小，小分共40分）

（）（）

（）（）

（）（）

（）（）

（）（）二、填空题(共小题，每小题分，25分（）4

（）

（）

2

79

（）（）

43

三解题6小，分，解答写文说，算骤证过。（13分解）因为

平面

，

P所以PD.因为底面是方形，所以.因为D，

E

F所以AD面.又因为AD面

，

D

C所以平面面PCD…………..4分（Ⅱ）因为

平面

ABCD

，所以

AD，PDCD.因为底面

是正方形，所以

AD

.如图建立空间直角坐标系xyz.因为PD底面ABCD为长为2的方形，所以

，

(2,0,0)

，

(2,2,0)

，

C

，

，

(1,1,2)

，

F(0,1,2)

.

z

，

DE(1,1,2)

，

BF

.设平面法向量myz)

，

F由可

xxy

令

z0,y

，

D

C

所以

.

设直线BF与面所成角为，6

则

BF

BFBFm

44595

.所以直线BF与面ADE所角正弦值为（17小13分）f))x)解：选择条件①：

4515

.…..13分（Ⅰ）

f(x)

6

xsinxcos2

sin

112xsin221sin2cos1π1sin(2x)2

．所以

f

的最小正周期是

π

．

………….7分（Ⅱ）因为

π]2

，所以

πππx666

.所以

1πsin(2x)26

1

.所以

11π1)2644

.当

2x

πππ时(有大值.…………………分623选择条件②：

f)()(x)

.7

（Ⅰ）

f(x))cosx6

1sinxcosx)xsinxπsin()6

．所以

f

的最小正周期是

．

………………..………….7分（Ⅱ）因为

π]2

，所以

πππ6

.所以

1π)2

.当

πππx时f(x63

有最大值1.……………………分（14分解）质量[250，，[300，的种水果的频率分别为0.008，0.004其比为：所以按分层抽样从质量在250，300)，，的种水果中随机抽取6个质量在，300)的该种水果有4个.………………...…………….4分（Ⅱ）由I)可，6个果中有2个质量在，350).所以的所有可能取值为0，，0)

CC1，P(X，(2).C55C所以的分布列为XP

0

1

213故X的学期望X0..……………….….10分5（Ⅲ）由频率分布直方图可知，质量[100，，，，，250)，[250，，，的种水果的频率分别为0.1，，，0.4，，所以估计20000个果中，二等品有20000000个；一等品有20个；8

x0特等品有20个x0果园该种水果的销售收入为000)..….…..…………….…分（15分

a2,解）依题意，得,a2

a

,解得a4,b所以椭圆C的程为4

.……..…………….4分（Ⅱ）由题设知直线l

的斜率存在，设直线l

的方程为：kx0)

.由

kx,y3

消去，理得

(3k)

.依题意，有

k

2k2)(2

3)解得

2

2

.设

(xEy)10

，则

x1

km4k,xk3k2

.因为ET轴所

T

k

.所以

||||

4|m4|)m

mk||mk

.又因为

|||GB

m||m||

|mk||mk|

，所以

|TA||GA||TB||

.………..…..…………分（20小15分）【解析）因为

f'()

ax(2)e

，所以

f'(1)e

，故

所以f

ae

，所以，所求切线方程为

，即

x

.………………分（II）当时，f(x)

x

，

f'()

xx2)e

，当

时，

f'0

；当

时，

f'

．所以

fx)

在(0,2)单调递减，在调递增．9

所以，

fx)

的极小值

f

e2

0

x

，

f(x)

.

…….…………………13分（III）对于函数f(x)

ax2x

,aR．（）

a

时，

f(x)

，

f()

没有零点；（）

a

时，

f'()

ax(2)e

．当

(时f'(

，所以

fx

在单递增；当x(0,2)时，f'(x)0

；所以

fx

在(0,调递减；当

(2,

时，

f'

，所以

fx

在

(

单调递增；所以

f

是

fx

的极大值，

f(2)

e

是

fx

的极小值．因为

f(

1a

a(

1a1a

2

11a

1a

，所以

fx)

在(上且只有一个零点由于

f(2)

e

，①若

f0

，即a

2

，f()在(0,有零点；②若

f0

，即a

，

fx)

在(0,有一个零点；③若

f

，即a

，由于

f

，所以

fx

在2)有个零点，由（II知，当x，

x

，所以

f(4)

a16