(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷

22一、选题1．设

a

xdxb,c

，则

bc

的大小关系为（）

A．b

B．

C．

．2已知函数

f

的图像如图所示，

f

的导函数，则下列数值排序正确的是（）A．

f

f

C．

2f

3．定积分

[x

]

的值为（）A．

．

．

．

4

4．曲线

y

，

y

和直线

围成的图形面积是（）A．

B．

C．

．e

5．

1

(1

2

)

（）A．

B．

C．

．

6．已知二次函数

f

的图像如图所示，它与轴围图形的面积为（）A．

B．

43

C．

．27．由直线

yxy

，及ｘ轴所围成平面图形的面积为（）A．

1B．

0

221C．0

．

8．曲线A．

ysin与直线B．2

y

围成的封闭图形的面积是πC．

．

π9．若向区域

落在由直线yx与曲线y

x围区域内的概率为）A．

B．

C．

．

10．

1

1

（）0A．1

B．

C．

．

11．

4

（）A．

B．C．4

．

12．曲线

yx

，y

1x

，x

围成的封闭图形的面积为A．

2ln

B．

2ln

C．

+2ln

．

+2ln2二、填题13．线x＝、线y＝+1与线y＝围的图形的面积为____．14．曲线

ysin.x与线x

所围成的平面图形的面积______.15．算16．图所示，则阴影部分面积是

.

00．若

的展开式中项系数为4，

a

x

dx

________________218．直线

，

x

3

，

与曲线

y

所围成的图形的面积等于________．19．项式(ax

)的展开式的第二项的系数为

,则

的值为_____．20．线三、解题

与直线

所围成的封闭图形的面积____________．21．知函数

f()x

（R）

Fx)

（bR

）（）论

fx)

的单调性；（）

a

，

()()()

，若xx

（

0xx）是(x1

的两个零点，且12

，试问曲线

y(x)

在点

处的切线能否与轴行？请说明理由.22．知函数

f(

，其中e为自然对数的底数，函数

)(2)

.（）函数

(x)f(x)(x

的单调区间；（）函数

F(x)

f(xxmxx

的值域为R，实数m的值范.23．知函数

f(xln

，R。（）曲线

f(x

在点（，）的切线与直线

垂直，求a的值；（）a，试问曲线

f()

与直线

y2

是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由。24．图，有一块半圆形空，开发商计划建一个矩形游泳池

ABCD

及其矩形附属设施EFGH

，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O

，半径为

，矩形的一边AB在径上，点

C

、D、

、H在周上，、在CD，且BOG

，设

BOC

．（）游泳池其附属设施的占地面积为

f

，求

f

的表达式；（）样设计能符合园林局的要求？

xxxx25．有一个以、OB为径的扇形池塘，在OAOB上别取点C、D，OA、OB分交AB于E、F且

BD

，现用渔网沿着DE、EO

、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区已知

OA

，

，EOF

2

）（）区的总面积为

，求的；（）养殖区、的每平方千米的年收入分别是万元、万、万，试问：当

为多少时，年总收入最大？26．

的开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，求

1

d0【参答案试卷处理标记，不要除1D解析：【解析】根据微积分定理，

a

x233

，

b

，

x44

，所以，选择D。2．A

解析：【解析】解：观察所给的函数图象可知：

f

f4

f'

，整理可得：

2f

.本题选择选项.3．B解析：【解析】试题分析：由定积分的几何意义有

4x

表示的是以(2,0)

为圆心，半径为2的圆的

部分，而表的直线yx

，x2,x

轴所围成的面积，故

[x

]

表示的图形如下图的阴影部分，面积为

.故选考点：定积分几何意义方的化.4．D解析：【解析】试题分析：根据题意画出区域，作图如下，由

{

yxy

解得交点为0，），∴所求面积为：

1111214322同，分面积即1111214322同，分面积即S

x

x

考点：定积分及其应用5．D解析：【解析】因

2]dx

2dxx2

，故设

x

]2

，则1212，应选答案D。

sin

2

2

1d(22426．B解析：【解析】设

f

f

的图象上，则a

，由定积分几何意义，围成图形的面积为S

，故选7．C解析：【解析】如图，由直线，，x轴成平面形是红色的部分，它和图中蓝色部分的面积1

1相∵蓝色部

.0

0本题选择C选项.

x(1,0)x(1,0)8．D解析：【解析】曲线

ysinx

与直线

y

51的两个交点坐标分别(,,),6则封闭图形的面积为

5π6π

11sindxcosxx|2

5π6π6

π36本题选择选项.点睛：用积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．(2)根定积分的几何意义可利用面积求定积．(3)若y＝(x)为函数，则

＝9．B解析：【解析】区域

y积为，据定积分定理可得直线x

与曲线y

围成区域的面积为

dx

3x22326

，根据几何概型概率公式可得该点落在由直线与线y10．解析：【分析】

x

1围成区域内的概率为，选．6令1x2

,(，表以为圆心，以1为半径的圆的上半圆，再利用定积分的几何意义求解即.

1111【详解】令1x

,，所以

(x22

，

(

，它表示以

(1,0)

为圆心，以1为径的圆的上半圆，如图所示，0

1

表示由

xxy

1和半圆围成的曲边梯形的面积，即个的面4积由题得

14

个圆的面积为

144

.由定积分的几何意义得

0

1

.故选：【点睛】本题主要考查定积分的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水.11．解析：【分析】设y

2

，变换得到

42dx

的几何意义为图中阴影面积，计算面积得到答.【详解】设y

2，则

x

2

2

，其中

，

0

.

4

dx

的几何意义为图中阴影面积，设

BOC，易知

6

，则S故选：

1113OA22

.

S2112111S2112111【点睛】本题考查了定积分的几何意义，意在考查学生的计算能力和转化能.12．解析：【解析】【分析】联立方程组，确定被积区间和被积函数，得出曲边形的面积(4x)即可求2解，得到答案．【详解】1由题意，联立方程组1，得x，2所以曲线

y4x

，y

1x

，x2

围成的封闭图形的面积为

(4dxxx|2x22

2

ln2))2ln]22

，故选．【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题意求解交点的坐标，确定被积分区间和被积函数，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填题13．【分析】如图所示：计算交点为计算积分得到面积【详解】依题意令e+1＝ex+1得x＝1所以直线x＝0y＝与曲线y＝ex+1围成的区域的面积为S故答案为：1【点睛】本题考查了利用积分求面积意在考

4444解析：【分析】如图所示：计算交点为

计算积分

得到面积.【详解】依题意，令e＝x，得＝所以直线x＝，y+1与曲线y＝x围成的区域的面积为S

x

故答案为：【点睛】本题考查了利用积分求面积，意在考查学生的计算能.14．【分析】三角函数的对称性可得求定积分可得【详解】由三角函数的对称性和题意可得S=2=2（sinx+cosx）+﹣0+1）﹣2故答案为2﹣2【点睛】本题考查三角函数的对称性和定积解析：2【分析】三角函数的对称性可得S=2【详解】

0

sinx求定积分可得．由三角函数的对称性和题意可得S=2

0

sinx=2（|4=2（0故答案为2﹣

2+）2（）=22﹣2

【点睛】本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题．15．【解析】【分析】利用微积分基本定理直接计算即可【详解】即答案为【点睛】本题考查了定积分的运算属于基础题解析：

【解析】【分析】利用微积分基本定理直接计算即.【详解】

即答案为.【点睛】本题考查了定积分的运算，属于基础题．16．【解析】试题分析：由题意得直线与抛物线解得交点分别为和抛物线与轴负半轴交点设阴影部分的面积为则考点：定积分在求面积中的应用【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用其中解答中根据直线方解析：

【解析】试题分析：由题意得，直线

与抛物线

y

，解得交点分别为

(

和(1,2)

，抛物线

y

与x轴半轴交点(3,0)

，设阴影部分的面积为

，则S

(3

)dx

(3

)

2xdx

)33

．考点：定积分在求面积中的应用．【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用，其中解答中根据直线方程与曲线方程的交点坐标，确定积分的上、下限，确定被积函数是解答此类问题的关键，同时解答中注意图形的分割，在轴方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．

17．【解析】由题意得项的系数为所以点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项可依据条件写出第项再由特定项的特点求出值即可(2)已知展开式的某项求特定项的系数可由某项得出参数项解析【解析】由题意得x项的系数为

a

，所以52e2

1x

525elnxe222点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求开式中的特定.可据条件写出第r

项，再由特定项的特点求出r

值即可已知展开式的某项，求特定项的系数可某项得出参数项，再通项写出第r项由特定项得出r

值，最后求出其参数．【解析】试题分析：由定积分的几何意义可知所求面积为考点：定积分的几何意义解析3【解析】试题分析：由定积分的几何意义可知所求面积为2

3

22sinxdxx0

．0考点：定积分的几何意义．19．或【解析】试题分析：展开后第二项系数为时时考点1定积分；二项式定理解析：3或【解析】

试题分析：展开后第二项系数为

32aa时2

x31

，a

时

7x|考点：．积2二项式定理20．【解析】【分析】确定被积函数与被积区间利用用定积分表示面积即可求得结论【详解】曲线y=sinx与直线x=0x=π4y=0所围成的封闭图形的面积为0π4sinxdx=-cosx|0故答案

2x22x22解析：【解析】【分析】确定被积函数与被积区间利用用定积分表示面即求得结.【详解】曲线

与直线

所围成的封闭图形的面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查利用定积分求面积，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础.三、解题21．1）时，

f

，

f(x)

在

单调递增，所以时，f(调减区间是

增区间是

a2

,

）f()

在x

处的切线不能平行于轴。【解析】试题分析：1）对函数求导，再依据到函数值与函数单调性之间的关系分类探求单调区间；（）假曲线

g处的切线能否与x轴行，然后依据假设建立方程组，最后再构造函数

2t

导数的知识断定假设不成。解：（）f

ax2x(1)当

a

时，

f

单调递增，（）

a

时，f

有x

,f

-0+

22200x022200x0f

↘

极小值f

↗aa所以时fx的增,(假设

切能平行于x轴

xx

,由假设及题意得：gx.................11................222x2..............................④x0由-得，222122ln1`即x.................⑤1

由得x令，x2

x2lnxx1xx012

x2x2xx.则式可化为

ln

2t

，设函数

tt

，则4t

,所以函数

2t

在于是，当

时，有

，即

ln

tt

与矛.所以

f切线不能平行于轴

..点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，精心设置了两个问题，旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，先函数的解析式进行求导，再对参数进行分类讨论研究导函数的值的符号，从而求出函数的单调区间；求解第二问时，先假设存在x处的切线平行于x轴然后在假设的前提下进行分析推证，从而得出与已知和假设矛盾的结论，使得问题获解。22．单增区间为

(ln

，单调减区间为

(2)

]

.【解析】试题分析：求函数的导数

,解于导函数的不等,求函的单调区间即可(2)函的导通过讨论m的围得到函数的值从确m的体范围即可试题（）

h

x

.由

h

得

ln2

，由

h

得

.所以函数

的单调增区间为

，单调减区间为

.（）

f

.当时，

f

当时

f

1°当

时，

f

x

上单调递减，值域为

，

上单调递减，值域为

，因为

的值域为，所以

e

，即

m.（）由（）知

时，

h

，故（）成立因为

，且

，所以当

m

时，

恒成立，因此

m

.2°当m时，

f所以函数

f

x

在

.

在（m，）单调递减，值域为

因为

的值域为，所以

m

，即

m

.综合1°，可，实数的值范围是

10,e

.23．1）a；2）共点为（，）【解析】

，，试题分析：1）据导数的几何意义得到

f'

，即；）构造函数x

，研究这个函数的单调性，它和轴的交点个数即可得到

在（，）（1,负g

，故只有一个公共点。（）数

f

的定义域为

x2又曲线

y

在点（，

f

）处的切线与直线

x

垂直，所以

f

，即

a（）

时，

f

x

，

x令

x

g

1122当

x

时，

g

，

g

在（

1,

）单调递减；当

0

时，

g

在（，单调递增。又

（1,负因此，曲线

f

仅有一个公共点，公共点为1-1）24．1）

2

(2sin

)23

1338【解析】试题分析：1）据直角三角形求两个矩形的长与宽，再根据矩形面积公式可得函数解析式，最后根据实际意义确定定义域）利用导数求函数最值，求导解得零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值试题（）题意，

cos

，

sin

，且

为等边三角形，所以，HG，EH

sin，f

EFGHcos

R

．（）符合园局的要求，只要

f

最小，

由（），

f

(2cos2

令

f'

，即

2=0解得

33

或cos

=

（舍去），令=

，当0当

f'f'

是单调减函数，是单调增函数，所以当

时0

取得最小值答：当足

33

时，符合园林局要求25．1）

3

（）

6【解析】试题分析：1）问考查解三角函数的实际应用，由及BDAC可知OD

，根据条件易证

RtODERtOCF，所以COF