二元一次方程组综合应用(9-12)

二元一次方程组的应用一、行程问题1.基本数量关系路程=时间×速度时间=路程/速度速度=路程/时间同时相向而行路程=时间×速度之和同时同向而行路程=时间×速度之差船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流的速度船在逆水中的速度=船在静水中的速度-水流的速度ABSV1V2S=T（+）V1V2AB同时同地同向在同一跑道进行比赛当男生第一次赶上女生时男生跑的路程-女生跑的路程=跑道的周长乙甲St同时异地追及问题乙的路程-甲的路程=甲乙之间的距离T(-)=sV乙甲V例1.某站有甲、乙两辆汽车，若甲车先出发1ｈ后乙车出发，则乙车出发后5ｈ追上甲车；若甲车先开出30ｋｍ后乙车出发，则乙车出发4ｈ后乙车所走的路程比甲车所走路程多10ｋｍ．求两车速度．若甲车先出发1ｈ后乙车出发，则乙车出发后5ｈ追上甲车解:设甲乙两车的速度分别为xKm/h、yKm/h根据题意，得x5x5y5y=6x若甲车先开出30ｋｍ后乙车出发，则乙车出发4ｈ后乙车所走的路程比甲车所走路程多10ｋｍ．30km4x4y4y=4x+40解之得X=50Y=6o答：甲乙两车的速度分别为50km、60km例2.一列快车长230米，一列慢车长220米，若两车同向而行，快车从追上慢车时开始到离开慢车，需90秒钟；若两车相向而行，快车从与慢车相遇时到离开慢车，只需18秒钟，问快车和慢车的速度各是多少？快车长230米，慢车长220米，若两车同向而行，快车从追上慢车时开始到离开慢车，需90秒钟230m甲220m乙450m甲乙解：设快车、慢车的速度分别为xm/s、ym/s根据题意，得90（x-y）=450若两车相向而行，快车从与慢车相遇时到离开慢车，只需18秒钟解：设快车、慢车的速度分别为xm/s、ym/s根据题意，得90（x-y）=450230m甲220m乙230m甲220m乙450m18s18（x+y）=450解之得X=15Y=10答：快车、慢车的速度分别为15m/s、10m/s例3．甲、乙两人在周长为400ｍ的环形跑道上练跑，如果相向出发，每隔2.5min相遇一次；如果同向出发，每隔10min相遇一次，假定两人速度不变，且甲快乙慢，求甲、乙两人的速度．甲、乙两人在周长为400ｍ的环形跑道上练跑，如果相向出发，每隔2.5min相遇一次解：设甲乙两人的速度分别为xm/min、ym/min根据题意，得2.5(x+y)=400AB

解：设甲乙两人的速度分别为xm/min、ym/min根据题意，得2.5(x+y)=400甲、乙两人在周长为400ｍ的环形跑道上练跑，如果同向出发，每隔10min相遇一次甲乙A10(X-Y)=400解之得X=100Y=60答:甲乙两人的速度分别为100m/min、60m/minB乙甲ABC环形跑道追及问题等同于异地追及问题水流方向轮船航向船在逆水中的速度=船在静水中的速度-水流的速度水流方向轮船航向船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流的速度例4.已知A、B两码头之间的距离为240km,一艏船航行于A、B两码头之间,顺流航行需4小时;逆流航行时需6小时,求船在静水中的速度及水流的速度.解:设船在静水中的速度及水流的速度分别为xkm/h、ykm/h，根据题意，得4（x+y）=2406（x-y）=240解之得X=50Y=10答：船在静水中的速度及水流的速度分别为50km/h、10km/h例1．某旅行团从甲地到乙地游览。甲、乙两地相距100公里，团中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速是8公里，汽车时速是40公里，问要使大家在下午4:00同时到达乙地，必须在什么时候出发?X公里乙y公里C甲上车点下车点ADB(1)汽车从A→B→D所需的时间与先步行的一部分人从A到D所需的时间相等。(2)汽车从B→D→C所需的时间与后步行的一部分人从B到C所需要的时间相等。因此可设先坐车的一部人下车地点距甲地x公里，这一部分人下车地点距另一部分人的上车地点相距y公里，如图所示。由以上两个等量关系，得：X公里乙y公里C甲上车点下车点ADB(1)汽车从A→B→D所需的时间与先步行的一部分人从A到D所需的时间相等(2)汽车从B→D→C所需的时间与后步行的一部分人从B到C所需要的时间相等因此可设先坐车的一部人下车地点距甲地x公里，这一部分人下车地点距另一部分人的上车地点相距y公里，如图所示。由以上两个等量关系，得：解方程组即可得到方程组的解。(100-X)公里练习：一辆汽车从甲地驶往乙地，途中要过一桥。用相同时间，若车速每小时60千米，就能越过桥2千米；若车速每小时50千米，就差3千米才到桥。问甲地与桥相距多远？用了多长时间？二、工程问题工作量=工作时间×工作效率工作效率=工作量/工作时间、工作时间=工作量/工作效率解:设这批零件有x个,按原计划需y小时完成,根据题意,得10y=x+311(y-1)=x解之得X=77Y=8答:这批零件有77个,按计划需8小时完成例1.某工人原计划在限定时间内加工一批零件.如果每小时加工10个零件,就可以超额完成3个;如果每小时加工11个零件就可以提前1h完成.问这批零件有多少个?按原计划需多少小时完成?例2.甲乙两家服装厂生产同一规格的上衣和裤子,甲厂每月(按30天计算)用16天生产上衣,14天做裤子,共生产448套衣服(每套上、下衣各一件）；乙厂每月用12天生产上衣，18天生产裤子，共生产720套衣服，两厂合并后，每月按现有能力最多能生产多少套衣服？

工厂甲乙上衣（裤子）上衣裤子上衣裤子

生产天数

生产套数填写下表16144481218720

生产套数

生产天数裤子上衣裤子上衣上衣（裤子）乙甲

工厂16144481218720解：设该厂用x天生产上衣，y天生产裤子，则共生产（）x套衣服，由题意得448/16+720/12X+y=30（448/16+720/12）x=（448/14+720/18）y解之得X=13.5Y=16.5所以88x=88·13.5=1188例3有一批机器零件共418个,若甲先做2天,乙再加入合作,则再做2天可超产2个;若乙先做3天,然后两人再共做2天,则还有8个未完成.问甲、乙两人每天各做多少个零件？(1)甲先做2天,乙再加入合作共做2天,可超产2个(2)乙先做3天,然后两人再共做2天,还有8个未完成(甲共做4天)(乙共做2天)4x2y(乙共做5天)(甲共做2天)2x5y甲完成个数乙完成个数甲完成个数乙完成个数+=418+2+=418-8解:设甲每天做x个零件,乙每天做y个零件,根据题意,有①②例4：某学校新建一栋4层高的教学楼，每层有8间教室，进出这栋楼共有4道门，其中2道正门大小相同，2道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试，当同时开启1道正门和2道侧门，2分钟内可通过560名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，4分钟可通过800名学生。（1）求平均每分钟1道正门和1道侧门分别可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下，全楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离。假设这栋楼每间教室有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。解：（1）设平均每个分钟1道正门可以通过x名学生，1道理侧门可以通过y名学生。根据题意得：解得：答：平均每分钟1道正门可以通过120名学生，1道侧门可以通过80名学生。经过检验，符合题意例4：某学校新建一栋4层高的教学楼，每层有8间教室，进出这栋楼共有4道门，其中2道正门大小相同，2道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试，当同时开启1道正门和2道侧门，2分钟内可通过560名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，4分钟可通过800名学生。（1）求平均每分钟1道正门和1道侧门分别可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下，全楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离。假设这栋楼每间教室有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。解：（2）这栋楼共有学生4×8×45=1440(名)拥挤时5分钟4道门可以通过：5×2×(120+80)×(1-20%)=1600(名)因为1600>1440，所以建造的4道门符合安全规定。练一练

某工程队计划在695米线路上分别装8.25米和6.25米长两种规格的水管共100根，问这两种水管各需多少根？三、商品经济问题本息和=本金+利息利息=本金×年利率×期数×利息税利息所得税=利息金额×5℅例1；李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92元，已知这两种储蓄的年利率的和为3.24℅，问这两种储蓄的年利率各是几分之几？（注：公民应交利息所得税=利息金额×20℅）解:设这两种储蓄的年利率分别是x、y，根据题意得x+y=3.24%2000x80%+1000y80%=43.92解之得x=2.25%y=0.99%答:这两种储蓄的年利蓄分别为2.25%、0.09%

某牛奶加工厂现有鲜奶9吨,若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获利润500元,若制成酸奶销售,每吨可获利润1200元,若制成奶片销售,每吨可获利润2000元.该厂生产能力如下:每天可加工3吨酸奶或1吨奶片,受人员和季节的限制,两种方式不能同时进行.受季节的限制,这批牛奶必须在4天内加工并销售完毕,为此该厂制定了两套方案:方案一:尽可能多的制成奶片,其余直接销售现牛奶方案二:将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4天完成。你认为哪种方案获利最多,为什么?例2其余5吨直接销售,获利500×5=2500(元)∴共获利:8000+2500=10500(元)方案二:设生产奶片用x天,生产酸奶用y天另：设x吨鲜奶制成奶片,y吨鲜奶制成酸奶x+y=4x+3y=9x+y=9x=1.5y=2.5x=1.5y=7.5方案一:生产奶片4天,共制成4吨奶片,获利2000×4=8000

1.5×1×2000+2.5×3×1200=12000∴共获利:1.5×2000+7.5×1200=3000+9000=12000∴共获利:例3：学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售．如果全组共有20名同学，若每人各买1支型A毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元．这家文具店的A、B两种类型毛笔的零售价各是多少？练习1：有甲乙两种债券年利率分别是10%与12%，现有400元债券，一年后获利45元，问两种债券各有多少？练习2：购买甲种图书10本和乙种图书16本共付款410元，甲种图书比乙种图书每本贵15元，问甲、乙两种图书每本各买多少元？练习3：某单位甲、乙两人，去年共分得现金9000元，今年共分得现金12700元.已知今年分得的现金，甲增加50％，乙增加30％.问两人今年分得的现金各是多少元？

练一练：某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部加工或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成．你认为选择哪种方案获利最多？为什么？四、配套与物质、人员分配问题例1.某车间22名工人生产螺钉与螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？一个螺钉配两个螺母螺钉数:螺母数=1:2解:设分配名x工人生产螺钉,y名工人生产螺母,则一天生产的螺钉数为1200x个,生产的螺母数为2000y个.所以为了使每天生产的产品刚好配套,应安排10人生产螺钉,12人生产螺母根据题意,得x+y=222×1200x=2000y解得x=10Y=12例2.某工地需雪派48人去挖土和运土,如果每人每天平均挖土5方或运土3方,那么应该怎样安排人员,正好能使挖的土能及时运走?每天挖的土等于每天运的土解:设安排x人挖土,y人动土,则一天挖土5x,一天动土3y方根据题意,得x+y=485x=3y解得X=18Y=30所以每天安排18人挖土，30人运土正好能使挖的土及时运走例3：22名工人按定额完成了1400件产品,其中三级工每人每天定额200件,二级工每人每天定额50件.若这22名工人只有二级工与三级工,问二级工与三级工各有多少名?分析二级工人数+三级工人数=22(人)二级工定额完成产品件数+三级工定额完成产品件数=1400(件)解:设二级工有名,三级工有名.根据题意,有=22,++=1400.①②即解这个方程组,得答:二级工有20名,三级工有2名.例4：第一小组的同学分铅笔若干枝.若其中有4人每各取4枝,其余的人每人取3枝,则还剩16枝;若有1人只取2枝,则其余的人恰好每人各可得6枝,问同学有多少人?铅笔有多少枝?解:设同学有x人,铅笔有y枝,根据题意,有y=4×4+3(x-4)+16,y=1×2+6(x-1).即y=3x+20,y=6x-4.答:设同学有8人,铅笔有44枝.①②②代入①,得3x+20,6x-4=6x-3x=20+4,3x=24,x=8.把x=8代入①,得y=44.例5、100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个，小和尚每3人吃一个，问：大小和尚各有几个？解：设大和尚x人,小和尚y人，则根据题意得解这个方程组得，答：大和尚75人,小和尚25人.1.有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.50吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。求：3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?2.山上牧童赶着一群羊,山下牧童也赶着一群羊,山下牧童对山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们二人的羊恰好相等。”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍。”他们到底各赶多少只羊？试一试例1.用白钢铁皮做罐头，每张铁皮可做盒身25个，或做盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套，现有36张白铁皮，用多少张做盒身，多少张做盒底，可使盒身与盒底正好配套？解:设用x张白铁皮做盒身,用y张制盒底,则共制盒身25x个,共制盒底40y个.答：所以用16张制盒身,20张制盒底正好使盒身与盒底配套根据题意,得x+y=362×25x=40y解得X=16Y=20例2.一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做方桌的桌面50个，或桌腿300条，现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配成方桌？能配成多少方桌？解：设用x立方米做桌面，y立方米做桌腿，则可以做桌面50x个，做桌腿300y条根据题意得x+y=54×50x=300y答：用3立方米做桌面，2立方米做桌腿，恰能配成方桌，共可做成150张方桌。解得X=3Y=2例3.某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件200个，甲、乙2种零件分别取3个、1个，才能配一套，要在18天内生产最多的成套产品，问甲，乙2种零件各应生产多少天？例4：养牛场原有30只母牛和15只小牛，１天约需用饲料６７５ｋｇ；一周后又购进１２支母牛和５只小牛，这时一天约需用饲料９４０ｋｇ。饲养员李大叔估计平均每只母牛１天约需饲料１８－２０ｋｇ，每只小牛１天约需饲料７－８ｋｇ，你能否通过计算检验他的估计？解：设：（相等关系）

列解得：答：平均每只母牛１天约需饲料ｘｋｇ，每只小牛１天约需饲料ｙｋｇ，30只母牛和15只小牛，１天约需用饲料６７５ｋｇ４２只母牛和２０只小牛，１天约需用饲料９４０ｋｇ平均每只母牛１天约需饲料２０ｋｇ，每只小牛１天约需饲料５ｋｇ，李大叔对母牛的估计较准确，对小牛的估计偏高。

练习：某农场有300名职工，耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各作物每公顷所需劳动力人数及投入的资金如下表.如果该农场计划投入资金67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入资金水稻4人1万元棉花8人1万元蔬菜5人2万元五、数字问题两位数=十位数字×10+个位数字三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字例.一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位上的数字比个位上的数字大2，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得新数比原来的三位数大99，求这个三位数。x+(x+2)+y=13[100x+10(x+2)+y]-[100y+10(x+2)+x]=99

解这个方程组即可。

分析：怎样设未知数?直接设可以吗?

这里有三个未知数——个位上的数字，百位上的数字及十位上数字，若用二元一次方程组求解，该怎样设未知数?

由“十位上数字比个位上的数字大2”，可设原三位数的个位上的数字为x，则十位上数字为x+2，另设百位上数字为y.

如何表示原三位数和新三位数?100y+10(x+2)+x，l00x+l0(x+2)+y2个等量关系是什么?(1)百位上数字十十位上数字十个位上数字＝13(2)新三位数一原三位数=99

根据题意，得试一试

一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数。设个位数学为X，十位数字为y，有：根据题意得：X+y=7x+10y+45=10X+y六、浓度、比率问题:溶液＝溶质＋溶剂溶质＝浓度×溶液混合前溶液的和＝混合后的溶液混合前溶质的和＝混合后的溶质等量关系是：

两种酒精,甲种含水15%,乙种含水5%,现在要配成含水12%的酒精500克.每种酒精各需多少克?解此方程组，得x=350y=150依题意，得x+y=50015%x+5%y=500×12%即x+y=5003x+y=1200答：甲种酒精取350克，乙种酒精取150克。解：设甲种酒精取x克，乙种酒精取y克。酒精重量含水量甲种乙种甲种乙种配制前配制后x克y克15%·x5%·y500克500×12%例1例5:有两种合金,第一种合金含金90%,第二种合金含金80%,这两种合金各取多少克,熔化以后才能得到含金82.5%的合金100克?合金重量含金量第一种第二种第一种第二种熔化前熔化后x克y克90%·x80%·y100克100×82.5%解：设第一种合金取x克，第二种合金取y克。依题意，得x+y=10090%x+80%y=100×82.5%即x+y=1009x+8y=825解此方程组，得x=25y=75答：第一种合金取25克，第二种合金取75克。例2列方程组表示下列各题中的数量关系：1．甲种矿石含铁的百分数是乙种矿石的1.5倍。甲种矿石5份，乙种矿石3份混合成的矿石含铁52.5％，求甲、乙矿石含铁比率。x%=1.5y%5·x%+3·y%=(5+3)·52.5%2．两块含铝锡的合金，第一块含铝40克．含锡10克，第二块含铝3克．锡27克，若要得到含铝62.5％的合金40克，取两种含铝锡的合金各多少克？x+y=404040+10·x+33+37·y=62.5%×403．若甲、乙两种盐水各取100克混合，所得混合盐水含盐为10％；若甲种盐水取400克，乙种盐水取500克混合，所得混合盐水含盐为9％，求甲、乙种盐水的含盐率。100·x％＋100·y％＝2×100×10％400·x％＋500·y％＝(400＋500)

·9％设甲种为x％，乙种为y％，则有：设取第一块为x克，第二块为y克，则有：设甲为x％，乙为y％，则：1：有两种药水，一种浓度为30％，另一种浓度为20％，现要配制浓度为25％的药水400克，问各种各需多少克？2：有两种药水，一种浓度为60%，另一种浓度为90%，现要配制浓度为70%的药水300g，则每种各需多少克？练一练x+y=40030%x+20%y=400X25%x+y=30060%x+90%y=300X70%设取浓度为30%的药水为X，取浓度为30%的药水为y，有：设取浓度为60%的药水为X，取浓度为90%的药水为y，有：例1.现有甲乙两种金属的合金10kg,如果加入甲种金属若干千克,那么这块金属中乙种金属占2份,甲种金属占3份;如果加入的甲的金属增加1倍,那么合金中乙种金属占3份,甲种金属占7份,问第一次加入的甲种金属有多少?原来这块合金种含甲种金属的百分比是多少?解:设原来这块合金中含甲金属xkg,这块合金中含乙种金属(10-x)kg,第一次加入的甲种金属ykg.根据题意,得x+y=3/5(10+y)x+2y=7/10(10+2y)x=4y=5解得答第一次加入的金属5kg,原来这块合金中含种甲金属40%七、年龄、比例问题例2：甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁．”问甲、乙现在各多少岁？从问题情境可以知知道甲的年龄大于乙的年龄解：设甲、乙现在的年龄分别是x、y岁根据题意，得y-（x-y）=4X+（x-y）=61解得x=42y=23答：甲、乙现在的年龄分别是42、23岁甲比乙大的岁数

将来年龄现在年龄

甲乙Xyx-yX+（