CNC 4.4 数控插补4.5刀具半径补偿原理

4.4插补原理及控制方法一、概述插补的概念插补(Interpolation)：根据给定进给速度和给定轮廓线形的要求，在轮廓的已知点之间，确定一些中间点的方法，这种方法称为插补方法或插补原理。插补算法：对应于每种插补方法(原理)的各种实现算法。插补功能是轮廓控制系统的本质特征。1

2.评价插补算法的指标▢稳定性指标插补运算是一种迭代运算，存在着算法稳定性问题。插补算法稳定的充分必条件：在插补运算过程中，对计算误差和舍入误差没有累积效应。插补算法稳定是确保轮廓精度要求的前提。2

▢插补精度指标插补精度：插补轮廓与给定轮廓的符合程度，它可用插补误差来评价。插补误差：逼近误差（指用直线逼近曲线时产生的误）；计算误差（指因计算字长限制产生的误差）；圆整误差(圆整误差是在数据处理时，将坐标值四舍五入圆整成整数脉冲当量值产生的误差)。3采用逼近误差和计算误差较小的插补算法；采用优化的小数圆整法，如：逢奇（偶）四舍五入法、小数累进法等。一般要求上述三误差的综合效应小于系统的最小运动指令或脉冲当量。4▢合成速度的均匀性指标合成速度的均匀性：插补运算输出的各轴进给率，经运动合成的实际速度（Fr）与给定的进给速度（F）的符合程度。速度不均匀性系数：合成速度均匀性系数应满足：

λmax≤1%5▢插补算法要尽可能简单，要便于编程因为插补运算是实时性很强的运算，若算法太复杂，计算机的每次插补运算的时间必然加长，从而限制进给速度指标和精度指标的提高。6

3.插补方法的分类▢脉冲增量插补(行程标量插补)▢数字增量插补(时间标量插补）7

3.插补方法的分类▢脉冲增量插补(行程标量插补)特点：每次插补的结果仅产生一个单位的行程增量（一个脉冲当量）。以一个一个脉冲的方式输出给步进电机。其基本思想是：用折线来逼近曲线（包括直线）。8插补速度与进给速度密切相关。因而进给速度指标难以提高，当脉冲当量为10μm时，采用该插补算法所能获得最高进给速度是3-4m/min。脉冲增量插补的实现方法较简单。

通常仅用加法和移位运算方法就可完成插补。因此它比较容易用硬件来实现，而且，用硬件实现这类运算的速度很快的。但是也有用软件来完成这类算法的。9这类插补算法有：

逐点比较法；最小偏差法；数字积分法；目标点跟踪法；单步追综法等脉冲增量插补主要用于早期的采用步进电机驱动的数控系统。由于此算法的速度指标和精度指标都难以满足现在零件加工的要求，现在的数控系统已很少采用这类算法了。10

逐点比较法是这类算法最典型的代表，它是一种最早的插补算法，该法的原理是：CNC系统在控制过程中，能逐点地计算和判别运动轨迹与给定轨迹的偏差，并根据偏差控制进给轴向给定轮廓靠扰，缩小偏差，使加工轮廓逼近给定轮廓。11逐点比较法加工的原理（直线）(Xe，Ye)(Xm，Ym)+Y第一象限的直线

+X偏差判别式：

Fm=Xe

*Ym

–Ye*Xm

Fm＞0

在直线上方，

+X向输出一步

Fm＝0在直线上

+X向输出一步

Fm＜0在直线下方，

+Y向输出一步12偏差判别式:

Fm=Xm2+Ym2–R2Fm＞0

在圆外，

-X向输出一步Fm＝0

在圆上，

-X向输出一步Fm＜0

在圆内，

+Y向输出一步R+X+YXm，Ym

圆弧G03逐点比较法加工的原理（圆弧）13▢数字增量插补(时间标量插补）

特点：插补程序以一定的时间间隔定时(插补周期)运行，在每个周期内根据进给速度计算出各坐标轴在下一插补周期内的位移增量（数字量）。其基本思想是：用直线段（内接弦线，内外均差弦线，切线）来逼近曲线（包括直线）。插补运算速度与进给速度无严格的关系。因而采用这类插补算法时，可达到较高的进给速度（一般可达10m/min以上）。14数字增量插补特点：实现算法较脉冲增量插补复杂，它对计算机的运算速度有一定的要求，不过现在的计算机均能满足要求。

插补方法：数字积分法(DDA)、二阶近似插补法、双DDA插补法、角度逼近插补法、时间分割法等。这些算法大多是针对圆弧插补设计的。适用场合：交、直流伺服电机为伺服驱动系统的闭环，半闭环数控系统，也可用于以步进电机为伺服驱动系统的开环数控系统，而且，目前所使用的CNC系统中，大多数都采用这类插补方法。151)插补周期的选择

插补周期Δt

与精度δ、速度F的关系δYXρ△L数字增量插补加工的原理16▢插补周期Δt与插补运算时间T

的关系

一旦系统各种线形的插补算法设计完毕，那么该系统插补运算的最长时间Tmax

就确定了。显然要求：

Tmax<Δt在采用分时共享的CNC系统中，

Tmax<Δt/2这是因为系统除进行插补运算外，CPU还要执行诸如位置控制、显示等其他任务。17

▢插补周期Δt与位置控制周期ΔtP

的关系

Δt=nΔtP

n=0，1，……

由于插补运算的输出是位置控制的输入，因此插补周期要么与位置控制周期相等、要么是位置控制周期的整数倍，只有这样才能使整个系统协调工作。例如，日本FANUC7M系统的插补周期是8ms，而位置控制周期是4ms。华中I型数控系统的插补周期也是8ms，位置控制周期可以设定为1ms、2ms、4ms、8ms。18直线插补算法

在设计直线插补程序时，通常将插补计算坐标系的原点选在被插补直线的起点，如图所示，设有一直线OPe，

O(0,0)为起点，Pe(Xe,Ye)为终点，要求以速度F(mm/min)，沿OPe

进给。Pe(Xe,Ye)Pi+1(Xi+1,Yi+1)

Pi(Xi,Yi)△Yi△XiαXYOβ△L

3.插补算法19设插补周期为Δt(ms)，则在Δt内的合成进给量为△L，若Δt=8ms则：式中：直线插补公式的推导Pe(Xe,Ye)Pi+1(Xi+1,Yi+1)

Pi(Xi,Yi)△Yi△XiαXYOβ△L20上述算法是先计算△Xi，后计算△Yi，同样还可以先计算△Yi后计算△Xi，即：

Pe(Xe,Ye)Pi+1(Xi+1,Yi+1)

Pi(Xi,Yi)△Yi△XiαXYOβ△L2coseeeeeYXYYXtg+==()2XXXtgYXYYYLYi1ii1i1iii1iiïïîïïíì-=D=D+=D=D++++bbcos()2XXXtgYXYYYLYi1ii1i1iii1iiïïîïïíì-=D=D+=D=D++++bbcosbb21插补公式的选用可以证明，从插补精度的角度考虑，插补公式的选用原则为：即，在插补计算时，总是先计算大的坐标增量，后计算小的坐标增量。为什么？请同学们思考！22圆弧插补算法

采用时间分割插补法进行圆弧插补的基本方法是用内接弦线逼近圆弧。设计圆弧插补程序时，通常将插补计算坐标系的原点选在被插补圆弧的圆心上，如图所示，以第一象限顺圆（G02）插补为例来讨论圆弧插补原理。YδXR△LAG02Pi(Xi,Yi)Pi+1(Xi+1,Yi+1)O23圆弧插补公式的推导

图中Pi(Xi，Yi)为圆上某一插补点A，Pi+1(Xi+1，Yi+1)

为圆上下一插补点C，直线段AC（=△L）为本次的合成进给量，δ为本次插补的逼近误差。

目标：确定△Xi

，△Yi由图的几何关系可得：YδXR△LDCA△XiG02BPi(Xi,Yi)Pi+1(Xi+1,Yi+1)YmγiαiO△αi△Yi24则有：

YδXR△LDCA△XiG02BPi(Xi,Yi)Pi+1(Xi+1,Yi+1)YmγiαiO△αi△Yi25由于△Yi，δ未知，可进行下列近似替换：△Yi-1≈△Yi

R＞＞δ，R≈R-δ；则有：cosγi

=（Yi-△Yi-1/2）/R

上式中△Yi-1是上一次插补运算中自动生成的。但是在开始时没有△Y0，可采用DDA法求取该值：△X0

=△L*Y0/R△Y0

=△L*X0/R

YδXR△LDCA△XiG02BPi(Xi,Yi)Pi+1(Xi+1,Yi+1)YmγiαiO△αi△Yi26YδXR△LDCA△XiG02BPi(Xi,Yi)Pi+1(Xi+1,Yi+1)YmγiαiO△αi27同直线插补一样,上述算法是先计算△Xi后计算△Yi，同样还可以先计算△Yi后计算△Xi，即：这两个公式的选用原则同直线一样。28近似计算误差的影响对插补的影响：对插补精度无影响，算法本身可保证每个插补点均落在圆弧上。对合成进给速度均匀性的有影响。但是影响很小，可以证明：λmax<0.3%。对逼近误差也有一定的影响γ’iγiγ”i△L”△L’△LXY0294.几个问题的说明1)上面所推导的公式均是在第一象限，而且规定了进给方向，当这些条件不满足时，插补的公式将是不同的，请同学们在课后自己推导一下。2)过象限的问题(指圆弧插补)由于每个象限的公式不同，如何在过象限时既能顺利而均匀连续切换，算法又简单，是值得讨论的题目。3)终点判别的问题，这里而涉及到两个问题在程序中间的程序段的终点判别要考虑与下面程序段联接的问题在要求降速为零的程序段中，有减速起点和升降速处理问题30

一、刀具半径补偿的基本概念

刀具半径补偿(ToolRadiusCompensationoffset)根据按零件轮廓编制的程序和预先设定的偏置参数，数控装置能实时自动生成刀具中心轨迹的功能称为刀具半径补偿功能。A’B’C”CBAG41刀具G42刀具编程轨迹刀具中心轨迹C’4.5刀具半径补偿原理31刀具半径补偿功能的主要用途▢实现根据编程轨迹对刀具中心轨迹的控制

避免在加工中由于刀具半径的变化(如由于刀具损坏而换刀等原因)而重新编程的麻烦。▢刀具半径误差补偿

刀具的磨损或换刀引起的刀具半径的变化，不必重新编程，只须修改相应的偏置参数即可。▢减少粗、精加工程序编制的工作量由于轮廓加工往往不是一道工序能完成的，在粗加工时，均要为精加工工序预留加工余量。加工余量的预留可通过修改偏置参数实现，而不必为粗、精加工各编制一个程序。32刀具半径补偿的常用方法▢B刀补：有R2法、比例法，该法对加工轮廓的连接都是以圆弧进行的。其缺点是：在外轮廓尖角加工时，由于轮廓尖角处，始终处于切削状态，尖角的加工工艺性差。在内轮廓尖角加工时，由于C”点不易求得(受计算能力的限制)编程人员必须在零件轮廓中插入一个半径大于刀具半径的园弧，这样才能避免产生过切。此刀补方法，无法满足实际应用中的许多要求。现在用得较少，而用得较多的是C刀补。33▢C刀补

主要特点是采用直线作为轮廓之间的过渡，因此，它的尖角性好，并且它可自动预报(在内轮廓加工时)过切，以避免产生过切。34.刀具半径补偿的工作过程▢

刀补建立▢刀补进行▢刀补撤销起刀点刀补建立刀补进行刀补撤销编程轨迹刀具中心轨迹.刀具半径补偿的工作原理G4135.C机能刀具半径补偿的转接形式和过渡方式▢转接形式

在一般的CNC装置中，均有圆弧和直线插补两种功能。而C机能刀补的主要特点就是来用直线过渡，由于采用直线过渡，实际加工过程中，随着前后两编程轨迹的连接方法的不同，相应的加工轨迹也会产生不同的转接情况：

直线与直线圆弧与直线

直线与圆弧圆弧与圆弧36α刀具中心轨迹编程轨迹非加工侧加工侧α非加工侧编程轨迹刀具中心轨迹加工侧

过渡方式轨迹过渡时矢量夹角α的定义：指两编程轨迹在交点处非加工侧的夹角α

37根据两段程序轨迹的矢量夹角α和刀补方向的不同，又有以下几种转接过度方式：缩短型：矢量夹角α≥180°

刀具中心轨迹短于编程轨迹的过渡方式。伸长型：矢量夹角90°≤α＜180°

刀具中心轨迹长于编程轨迹的过渡方式。插入型：矢量夹角α＜90°

在两段刀具中心轨迹之间插入一段直线的过渡方式。38.刀具中心轨迹的转接形式和过渡方式列表

刀具半径补偿功能在实施过程中，各种转接形式和过渡方式的情况，如下面两表所示。

实线--编程轨迹；

虚线--刀具中心轨迹；

α--矢量夹角；

r--刀具半径；箭头--走刀方向。表中是以右刀补（G42）为例进行说明的。39刀具半径补偿的建立和撤消40刀具半径补偿的进行过程41.刀具半径补偿的实例读入OA，判断出是刀补建立，继续读下一段。读入AB，因为∠OAB＜90o，且又是右刀补（G42），由表可知，此时段间转接的过渡形式是插入型。则计算出a、b、c的坐标值，并输出直线段oa、ab、bc，供插补程序运行。BcbAOCDEa42▢读入BC，因为∠ABC＜90o，同理，由表可知，段间转接的过渡形式是插入型。则计算出d、e点的坐标值，并输出直线cd、de。▢读入CD，因为∠BCD＞180o，

由表可知，段间转接的过渡形式是缩短型。则计算出f点的坐标值，由于是内侧加工，须进行过切判别（过切判别的原理和方法见后述），若过切则报警，并停止输出，否则输出直线段ef。BbOCDEaedfA43读入DE（假定由撤消刀补的G40命令），因为90o＜∠ABC＜180o，由于是刀补撤消段，由表可知，段间转接的过渡形式是伸长型。则计算出g、h点的坐标值，然后输出直线段fg、gh、hE。刀具半径补偿处理结束。bOCDEaedfgh44.加工工过程中的过切判别原理

前面我们说过C刀补能避免过切现象，是指若编程人员因某种原因编制出了肯定要产生过切的加工程序时，系统在运行过程中能提前