2022年北京信息工程学院附属中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022年北京信息工程学院附属中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若PA=AB=2，AC=BC,则二面角P-AC-B大小的正切值是（）A.

B.

C.

D.参考答案：B作AC的中点D，连接OD，PD，如图所示：根据已知可得，，所以，因为D是AC的中点，所以，所以即为二面角的平面角，因为PA=AB=2，所以AC=BC=，所以OD=，在中，，所以在中，.2.已知全集，集合,则A.

B.

C.

D.参考答案：D略3.函数的单调增区间为（

）A.

B.

C.和

D.和参考答案：A略4.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】函数零点的判定定理．B9

【答案解析】B

解析：∵f（0）=e0﹣3=﹣2＜0

f（1）=e1+4﹣3＞0∴根所在的区间x0∈（0，1）排除A选项又∵∴根所在的区间x0∈（0，），排除D选项最后计算出，，得出选项B符合；故选B．【思路点拨】分别计算出f（0）、f（1）、f（）、f（）的值，判断它们的正负，再结合函数零点存在性定理，可以得出答案．5.一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的概率为A、

B、

C、

D、参考答案：答案：B6.将函数的图象（），可得到函数的图象（

）

A．向下平行移动1个单位

B．向右平行移动1个单位C．向左平行移动1个单位

D．向上平行移动1个单位

参考答案：C略7.定义在上的函数满足，为的导函数，已知的图像如图所示，若两个正数、满足，则的取值范围是

(

)

参考答案：8.已知函数f（x）=的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（）A．（，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣1，）参考答案：A【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出a=（t4+2t2+8t+1），t＞0，由单调性可得出a的取值范围．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2+x+a的导数为f′（x）=2x+1；当x＞0时，f（x）=的导数为f′（x）=﹣，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2，当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为：y﹣（x12+x1+a）=（2x1+1）（x﹣x1）；当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣x2）．两直线重合的充要条件是﹣=2x1+1①，=a﹣x12②，由x1＜0＜x2得0＜＜1，由①②令t=，则t＞0，且a=（t4+2t2+8t+1）在（0，+∞）为增函数，∴a＞，故选：A．9.在△ABC中，a=2，b=，B=，则A=A．

B．

C．

D．或参考答案：D10.同理5设向量，，且，则向量与的夹角为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设α，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同的直线，给出下列条件：①α，β都平行于直线a，b；②a，b是α内的两条直线，且a∥β，b∥β；③a与b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β．其中可判定α∥β的条件是

．（填序号）参考答案：②③【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据面面平行的判定定理，分别判断，即可得出结论．【解答】解：①α，β都平行于直线a，b，α，β可能相交、平行，不正确；②a，b是α内的两条直线，且a∥β，b∥β，根据面面平行的判定定理，可知正确；③a与b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，根据面面平行的判定定理，可知正确．故答案为②③．12.执行右边的程序框图，若，则输出的

．参考答案：6由程序框图可知,则，当时，时，此时，所以输出。13.已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：[，+∞）．【分析】依题意，f由（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象，可得x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，整理后为二次不等式，利用△≤0即可求得实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x（1﹣a|x|）+1==（a＞0），∴f（x+a）=（x+a）（1﹣a|x+a|）+1，∵f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象如下：

∴x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，即x+ax2+1≥﹣a（x2+2ax+a2）+x+a+1，整理得：2x2+2ax+a2﹣1≥0恒成立，∴△=4a2﹣4×2（a2﹣1）≤0，解得：a≥．故答案为：[，+∞）．14.如果执行的程序框图如图所示，那么输出的S=．参考答案：2550【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=0+2+4+6+…+100的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=0+2+4+6+…+100，∵S=0+2+4+6+…+100=2550．故答案为：2550．15.点为圆的弦的中点，则该弦所在直线的方程是__

__;参考答案：略16.已知实数满足如果目标函数的最小值为,则实数________参考答案：517.已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是

参考答案：。由题意得，，，…，，∵，且＞0，∴，易得==…====，∴+=+=。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知F为椭圆的右焦点，M为C上的任意一点.（1）求|MF|的取值范围；（2）P，N是C上异于M的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为，证明:M，N两点的横坐标之和为常数.参考答案：解：解法一：（1）依题意得，所，所以的右焦点坐标为，设上的任意一点的坐标为，则，所以，又因为，所以，所以，所以的取值范围为.（2）设三点坐标分别为，设直线斜率分别为，则直线方程为，由方程组消去，得，由根与系数关系可得，故，同理可得，又，故，则，从而.即两点的横坐标之和为常数.解法二：（1）依题意得，所，所以的右焦点坐标为，设上的任意一点的坐标为，设上的任意一点的坐标为，则，又因为，所以，所以，所以的取值范围为.（2）设两点坐标分别为，线段的中点分别为，点的坐标为，直线的斜率分别为，由方程组得，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以的中点在上，同理可证：的中点在上，所以点为线段的中点.根据椭圆的对称性，所以两点的横坐标之和为常数.

19.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．已知曲线C1的参数方程为，（α∈[0，2π]，α为参数），曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=a(a∈R)，若曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，求实数a的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【分析】求出两曲线的普通方程，根据直线与圆相切列方程解出a．【解答】解：曲线C1的方程为（x﹣）2+（y﹣3）2=4，圆心坐标为（，3），半径为2．∵曲线C2的极坐标方程为，∴+=a，∴曲线C2的直角坐标方程为，∵曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，∴=2，解得a=1或a=5．20.（本小题满分12分）如图1，在直角梯形中，，，，为线段的中点.将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示.（1）求证:平面；（2）求二面角的余弦值.

参考答案：（1）在图1中，可得，从而，故.取中点连结，则，又面面，面面，面，从而平面.∴，又，.∴平面.（2）建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，.设为面的法向量，则即，解得.令，可得.又为面的一个法向量，∴.∴二面角的余弦值为.21.（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点．

（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；

（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；

（3）求点G到平面BCE的距离．

参考答案：解法一：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得轴和轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为，，

，，，

（1）点F应是线段CE的中点，下面证明：

设F是线段CE的中点，则点F的坐标为，∴，

显然与平面平行，此即证得BF∥平面ACD；

……4分

（2）设平面BCE的法向量为，

则，且，

由，，

∴，不妨设，则，即，

∴所求角满足，∴；

……8分

（3）由已知G点坐标为（1，0，0），∴，

由（2）平面BCE的法向量为，

∴所求距离．

……12分

解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，

连接FH，则，∴，

…2分

∴四边形ABFH是平行四边形，∴，

由平面ACD内，平面ACD，平面ACD；

……………4分

（2）由已知条件可知即为在平面ACD上的射影，

设所求的二面角的大小为，则，

……6分

易求得BC=BE，CE，

∴，

而，

∴，而，

∴；

………………8分

（3）连结BG、CG、EG，得三棱锥C—BGE，

由ED平面ACD，∴平面ABED平面ACD，

又，∴平面ABED，

设G点到平面BCE的距离为，则即，

由，，，

∴即为点G到平面BCE的距离．………………12分略22.已知函数为自然对数的底数）．（1）若曲线在点（处的切线与曲线在点处的切线互相垂直，求函数在区间[－1,1]上的最大值；（2）设函数，试讨论函数零点的个数．参考答案：（1）；（2）见解析.【分析】（1）分别求出y=f（x）与y=g（x）在x=0处的导数，利用斜率之积等于-1求得，得到f（x）解析式，再由导数判断f（x）在区间[-1，1]上单调递减，从而求得最大值；（2）函数在R上单调递增，仅在x=1处有一个零点，且x＜1时，g（x）＜0，再由导数分类判定f（x）的零点情况，则答案可求．【详解】（1）∵f′（x）=-3x2+a，g′（x）=ex，∴f′（0）=a，g′（0）=1，由题意知，，f（x）在区间[-1，1]上单调递减，∴；（2）函数g（x）=ex-e在R上单调递增，仅在x=1处有一个零点，且x＜1时，g（x）＜0，又f′（x）=-3x2+a．①当a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在R上单调递减，且过点（0，-），f（-1）=＞0．即f（x）在x≤0时，必有一个零点，此时y=h（x）有两个零点；②当a＞0时，令f′（x）=-3x2+a=0，解得＜0，＞0．则是函数f（x）的一个极小值点，是函数f（x）的一个极大值点．而f（-）=＜0，现在讨论极大值的情况：f（）=．当f（）＜0，即a＜时，函数f（x）在（0，+∞）上恒小于0，此时y=h（x）有两个零点