2021-2022学年湖北省武汉市第七十一中学高三数学理联考试题含解析

2021-2022学年湖北省武汉市第七十一中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

若共线，则k的值为

（

）

A．2

B．1

C．0

D．－1参考答案：答案：D2.阿基米德在《论球与圆柱》一书中推导球的体积公式时，得到一个等价的三角恒等式

，若在两边同乘以，并令，则左边

.因此阿基米德实际上获得定积分的等价结果.则

（

）

A．-2

B．1

C.-1

D．2参考答案：D试题分析：，故选D.考点：定积分的计算.3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（

）A．136π

B．34π

C．25π

D．18π参考答案：B4.设，，，则（）A． B． C．

D．参考答案：B5.已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，） B．[，） C．[，） D．[4π，6π）参考答案：C【分析】根据区间[0，1]上，求出ωx+的范围，由于在区间[0，1]上恰有3个最高点，建立不等式关系，求解即可．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），∵x∈[0，1]上，∴ωx+∈[，]，图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，∴+，解得：．故选C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．6.在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（）A．7.5 B．7 C．6 D．5参考答案：D【考点】正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求c的值，进而可得周长的值．【解答】解：∵bcosA+acosB=c2，a=b=2，∴由余弦定理可得：b×+a×=c2，整理可得：2c2=2c3，∴解得：c=1，则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5．故选：D．7.若函数的递减区间为（，），则a的取值范围是（）A．a＞0B．-1＜a＜0C．a＞1D．0＜a＜1参考答案：答案：A8.若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（

）A．

B．

C．或D.或7参考答案：C略10.若则实数的取值范围是（

）A．；B.；C.；D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.参考答案：

∵，∴，∵，∴.

12.有下列四个命题：①函数的值域是②平面内的动点到点和到直线的距离相等，则的轨迹是抛物线；③直线与平面相交于点，且与内相交于点的三条直线所成的角相等,则④若则其中正确的命题的编号是___参考答案：③④略13.如图，正六边形ABCDEF中，（A）0

（B）（C）

（D）参考答案：D，选D．

14.计算：＝_________．参考答案：15.已知在平面直角坐标系中，为原点，且（其中均为实数），若N（1，0），则的最小值是

.参考答案：16.函数参考答案： 17.△ABC中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为___________.参考答案：根据余弦定理可得,即，所以，解得，所以△ABC的面积.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）工人在包装某产品时不小心将两件不合格的产品一起放进了一个箱子，此时该箱子中共有外观完全相同的六件产品.只有将产品逐一打开检验才能确定哪两件产品是不合格的，产品一旦打开检验不管是否合格都将报废.记表示将两件不合格产品全部检测出来后四件合格品中报废品的数量.(Ⅰ)求报废的合格品少于两件的概率；(Ⅱ)求的分布列和数学期望.参考答案：解：(Ⅰ)；(Ⅱ)01234

19.（本题满分12分）已知函数.（1）求的最小值；（2）若对所有都有，求实数的取值范围.参考答案：的定义域为，

的导数.

……2分令，解得；令，解得.

………………4分从而在单调递减，在单调递增.所以，当时，取得最小值.

……………6分（Ⅱ）依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立.

………8分令，

则.

当时，因为，

故是上的增函数，………10分

所以的最小值是，所以的取值范围是.

……………12分20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱，，点P、Q分别为和的中点.（I）证明：PQ//平面；（II）求三棱锥的体积.参考答案：21.锐角△ABC中，其内角A、B满足：2cosA=sinB﹣cosB．（1）求角C的大小；（2）D为AB的中点，CD=1，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【分析】（1）由已知利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式可得cosA=cos（﹣B），结合A，B为锐角，利用三角形内角和定理可求C的值．（2）设∠ACD=α，延长CD到E，使CD=DE，则AEBC为平行四边形，在△ACE中，由正弦定理可得a=4sinα，b=4sin（﹣α），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用化简可得S△ABC=2sin（2α+）﹣，利用正弦函数的性质可求△ABC面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2cosA+cosB=sinB，可得：cosA=sinB﹣cosB=cos（﹣B），…2分又∵A，B为锐角，∴0，＜﹣B＜，∴A=﹣B，A+B=，可得：C=π﹣=．…5分（2）设∠ACD=α，延长CD到E，使CD=DE，则AEBC为平行四边形，在△ACE中，AC=b，AE=BC=α，CE=2，∠CAE=，∠AEC=﹣α，由正弦定理可得：==，所以，a=4sinα，b=4sin（﹣α），…7分S△ABC=absin∠ABC=sin=4sinα?sin（﹣α）=2sinαcosα﹣2sin2α=sin2α+cos2α﹣=2sin（2α+）﹣，…11分当α=时，△ABC的面积取得最大值，最大值为2﹣．…12分2