2021-2022学年河北省保定市涿州第一中学高三数学文测试题含解析

2021-2022学年河北省保定市涿州第一中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设实数，满足，，，则下列不等式一定成立的是A．

B．

C．

D．参考答案：答案：C2.命题“”的否定是（

）A．

B．C．

D．参考答案：B3.已知平行四边形中，,则等于（

）A．1 B．

C．2 D．参考答案：C4.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D考点：三角函数的定义．5.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），直线l：y=2x﹣2，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（）A．1 B．2 C． D．4参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点位置以及渐近线方程，结合题意分析有=2，求出直线l与x轴交点坐标，即可得双曲线C的一个顶点坐标，即a的值，计算可得b的值，又由双曲线的焦点到渐近线的距离等于b，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），其焦点在x轴上，其渐近线方程y=±x，又由直线l平行于双曲线C的一条渐近线，则有=2，直线l：y=2x﹣2与x轴交点坐标为（1，0），即双曲线C的一个顶点坐标为（1，0），即a=1，则b=2a=2，故双曲线C的焦点到渐近线的距离为2；故选：B．6.设函数的定义域为，是的极小值点,以下结论一定正确的是A． B．是的极大值点C．是的极小值点 D．是的极大值点参考答案：D略7.函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可以是（）参考答案：C8.已知集合M＝{x|（x＋3）（x－1）＜0}，N＝{x|x≤－3}，则R（M∪N）＝（

）

A．{x|x≤1}

B．{x|x≥1}

C．{x|x＜1}

D．{x|x＞1}参考答案：B略9.偶函数满足，且在时，则关于x的方程在

上解的个数是

（

）

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D由得，所以函数的周期为4，又，所以函数关于对称，作出函数和的图象，由图象可知，两个图象的交点有4，即方程在上的解的个数为4个，选D.10.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是A． B． C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知、分别是函数的最大值、最小值，则.参考答案：2略12.（5分）直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为．参考答案：【考点】：直线与圆相交的性质．【专题】：直线与圆．【分析】：确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长．解：圆x2+（y﹣2）2=4的圆心坐标为（0，2），半径为2∵圆心到直线y=x的距离为∴直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为2=故答案为：【点评】：本题考查直线与圆相交，考查圆的弦长，解题的关键是求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形求得弦长．13.设函数，其中，则的展开式中的系数为_______参考答案：1514.对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心.”请你根据这一发现，函数对称中心为

；参考答案：15.设函数，则不等式的解集为

.参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/含有绝对值的不等式的解法.【试题分析】即，所以，故答案为.16.已知实数x,y满足，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于_______________．参考答案：5略17.若，则

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=x﹣a（x+1）ln（x+1），（x＞﹣1，a≥0）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=t在上有两个实数解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m．参考答案：【考点】不等式的证明；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，再利用导数大于0，求函数的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，在[0，1]上单调递减可得解（Ⅲ）根据要证明的结论，利用分析法来证明本题，从结论入手，要证结论只要证明后面这个式子成立，两边取对数，构造函数，问题转化为只要证明函数在一个范围上成立，利用导数证明函数的性质．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=1﹣aln（x+1）﹣a①a=0时，f′（x）＞0∴f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数

…②当a＞0时，f（x）在上递增，在单调递减．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，在[0，1]上单调递减又∴∴当时，方程f（x）=t有两解

…（Ⅲ）要证：（1+m）n＜（1+n）m只需证nln（1+m）＜mln（1+n），只需证：设，则…由（Ⅰ）知x﹣（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）单调递减

…∴x﹣（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，而m＞n∴g（m）＜g（n），故原不等式成立．

…19.椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．参考答案：解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，椭圆的标准方程为．

4分（2）设．联立得，则

8分又．因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，，即．．．．解得：，且均满足．当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点．所以，直线过定点，定点坐标为．

14分

略20.已知矩阵A=，A的逆矩阵A﹣1=（1）求a，b的值；

（2）求A的特征值．参考答案：解：（1）因为AA﹣1===，所以解得a=1，b=﹣．

…（5分）（2）由（1）得A=则A的特征多项式f（λ）==（λ﹣3）（λ﹣1）．令f（λ）=0，解得A的特征值λ1=1，λ2=3．…（10分）考点：特征向量的定义；逆矩阵的意义．专题：选作题；矩阵和变换．分析：（1）利用矩阵A=，A的逆矩阵A﹣1=，建立方程组，求a，b的值；

（2）确定A的特征多项式，可求A的特征值．解答：解：（1）因为AA﹣1===，所以解得a=1，b=﹣．

…（5分）（2）由（1）得A=则A的特征多项式f（λ）==（λ﹣3）（λ﹣1）．令f（λ）=0，解得A的特征值λ1=1，λ2=3．…（10分）点评：本题考查逆变换与逆矩阵，本题是一个基础题，解题的关键是记住公式，代入数据时，不要出错21.已知函数，.（Ⅰ）若曲线与曲线在公共点处有共同的切线，求实数的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问函数是否有零点？如果有，求出该零点；若没有，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）函数的定义域为，，设曲线与曲线公共点为由于在公共点处有共同的切线，所以，解得，.由可得.联立解得.（Ⅱ）函数是否有零点，转化为函数与函数在区间是否有交点，，可得，令，解得，此时函数单调递增；令，解得，此时函数单调递减.∴当时，函数取得极小值即最小值，.可得，令，解得，此时函数单调递增；令，解得，此时函数单调递减.∴当时，函数取得极大值即最大值，.因此两个函数无交点.即函数无零点.22.(本题满分14分)已知椭圆的焦点是,其上的动点满足.点为坐标原点，椭圆的下顶点为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设直线与椭圆的交于，两点，求过三点的圆的方程；（Ⅲ）设过点且斜率为的直线交椭圆于两点，试证明：无论取何值时，恒为定值.参考答案：解：（Ⅰ）∵

，

……1分,

∴

…………3分∴椭圆的标准方程为.

…4分(Ⅱ)联立方程得

消得，解得

……………6分设所求圆的方程为：

依题有

………………8分解得所以所求圆的方程为：.

………9分（Ⅲ）证明