湖南省邵阳市新邵第三中学2022年高三数学理期末试卷含解析

湖南省邵阳市新邵第三中学2022年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用数字组成数字可以重复的四位数,其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：C略2.在△中，，，，且△的面积为，则等于

（

）A．或

B．

C．

D．或参考答案：C略3.甲、乙、丙等五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法为（

）A.72

B.36

C.52

D.24参考答案：B4.定义在R上的偶函数的部分图像如下图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是

（

）A．

B.

C.

D．参考答案：A5.将函数的图像向右平移个单位后所得的图像的一个对称轴是（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B略6.已知过抛物线G：y2=2px（p＞0）焦点F的直线l与抛物线G交于M、N两点（M在x轴上方），满足，，则以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（）A．

B．C．

D．参考答案：C【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】求出直线l的斜率，可得直线方程，与抛物线方程联立，利用|MN|，求出p，可得M的坐标，即可求出以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程．【解答】解：如图，过点N作NE⊥MM′，由抛物线的定义，|MM′|=|MF|，|NN′|=|NF|．解三角形EMN，得∠EMF=，所以直线l的斜率为，其方程为y=（x﹣），与抛物线方程联立可得3x2﹣5px+p2=0，∴x1+x2=p，∴|MN|=p=，∴p=2，∴M（3，2），r=4，∴圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．故选：C．7.设,则的值为A.

B.

C.

D.

参考答案：C8.已知f(x)的定义域为(－2,2)，且f(x)＝，如果f[x(x＋1)]＜，那么x的取值范围是()A．－2＜x＜－1或0＜x＜1

B．x＜－1或x＞0C．－2＜x＜－

D．－1＜x＜0

参考答案：A略9.函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D10.已知为由不等式组，所确定的平面区域上的动点，若点，则的最大值为（

）A．3

B．

C．4

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若,且,则值为

.参考答案：12.跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第8个格子的方法种数为（

）

A．8种

B．13种

C．21种 D．34种参考答案：C人从格外跳到第1格的方法显然只有1种；人从格外跳到第2格的方法也只有1种;从格外到第1格,再从第1格到第2格;人从格外跳到第3格的方法有2种;①从格外到第1格,从第1格到第2格,再从第2格到第3格;②从格外到第1格,再从第1格到第3格.由此分析,可设跳到第n格的方法数为,则到达第n格的方法有两类:①向前跳1格到达第n格,方法数为;②向前跳2格到达第n格,方法数为,则由加法原理知,由数列的递推关系不难求得该数列的前8项分别为1,1,2,3,5,8,13,21,这里,前面已求得，所以人从格外跳到第8格的方法种数为21种.13.已知，则的最大值是

参考答案：略14.已知是上的奇函数，，且对任意都有成立，则

；

.参考答案：无略15.设i为虚数单位，复数，则|z|=．参考答案：1【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数===﹣i，则|z|=1．故答案为：1．16.设抛物线的顶点在原点，其焦点F在x轴上，抛物线上的点与点F的距离为3，则抛物线方程为

。参考答案：17.设函数，则满足的t的取值范围是_________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，已知侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B1BC=60°，BC=BB1=2，若二面角A﹣B1B﹣C为30°，（Ⅰ）证明：面AA1C1C⊥平面BB1C1C及求AB1与平面AA1C1C所成角的正切值；（Ⅱ）在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥P﹣BB1C为正三棱锥，并求此时的值．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的性质．【专题】综合题．【分析】（1）根据条件和线面垂直的判定定理得：AC⊥面BB1C1C，再由面面垂直的判断定理证明出面BB1C1C⊥面AA1C1C，再根据条件和线面垂直、面面垂直分别做出二面角A﹣BB1﹣C的平面角、AB1与面AA1C1C所成的线面角，并分别证明和计算求解；（2）根据正三棱锥的定义和正三角形重心的性质，找到点P，再由条件求出PP1和点E到平面AA1C1C的距离，代入三棱锥的体积公式求出两个棱锥的体积比值．【解答】解：（Ⅰ）∵面BB1C1C⊥面ABC，且面BB1C1C∩面ABC=BC，AC⊥BC，∴AC⊥面BB1C1C，则面BB1C1C⊥面AA1C1C

取BB1中点E，连接CE，AE，在△CBB1中，BB1=CB=2，∠CBB1=60°∴△CBB1是正三角形，∴CE⊥BB1，又∵AC⊥面BB1C1C，且BB1?面BB1C1C，∴BB1⊥AE，即∠CEA即为二面角A﹣BB1﹣C的平面角为30°，∵AC⊥面BB1C1C，∴AC⊥CE，在Rt△ECA中，CE=，∴AC=CE?tan30°=1，取C1C中点D，连接AD，B1D，∵△CBB1是正三角形，且BB1=CB=2，∴B1D⊥C1C，∵AC⊥面BB1C1C，∴AC⊥面B1D，∵C1C∩AC=C，∴B1D⊥面AA1C1C，即∠B1DA即AB1与面AA1C1C所成的线面角，则tan∠DAB1=，…（Ⅱ）在CE上取点P1，使，∵CE是△BB1C的中线，∴P1是△BB1C的重心，在△ECA中，过P1作P1P∥CA交AE于P，∵AC⊥面BB1C1C，P1P∥CA，∴PP1⊥面CBB1，即P点在平面CBB1上的射影是△BCB1的中心，该点即为所求，且，∴PP1=，∵B1D∥CE，且B1D=CE=，∴==2．…【点评】本题考查了线面垂直的判定定理、面面垂直的判断定理和性质定理的综合应用，二面角、线面角的求解构成，以及三棱锥的体积公式的应用，难度很大．19.已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2﹣ln2∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0得0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0得﹣＜x＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0得＜x＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣【点评】考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．20.如图，在等腰梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）求多面体ABCDEF的体积.参考答案：解：（1）在梯形中，∵，，，∴，∴，∴，∴.又平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）取的中点，连接，由题意知，∴平面，且，故.21.

已知函数，若存在，则称是函数的一个不动点，设

(Ⅰ）求函数的不动点；

(Ⅱ）对（Ⅰ）中的二个不动点、（假设），求使恒成立的常数的值；参考答案：（Ⅰ）设函数

(Ⅱ）由（Ⅰ）可知可知使恒成立的常数.22.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上位于第一象限的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D．（1）若|FA|=|AD|，当点A的横坐标为时，△ADF为等腰直角三角形，求C的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线C，若点，记点B关于x轴的对称点为E，AE交x轴于点P，且AP⊥BP，求证：点P的坐标为（﹣x0，0），并求点P到直线AB的距离d的取值范围．参考答案：【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，求得FD的中点坐标，则+2+=3+2，即可求得p的值，求得抛物线方程；（2）设直线AB的方程，代入抛物线方程，由向量平行即韦达定理，即可求得P点坐标，则△EPB为等腰直角三角形，则kAP=1，由直线的斜率公式可得：y1﹣y2=4，两边平方（y1+y2）2﹣4y1y2=16，m2=1﹣x0，x0＜1，则d=，根据函数的单调性即可求得点P到直线AB的距离d的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知F（，0），丨FA丨=3+2+，丨FD丨=丨FA丨=3+4+，则D（3+4++，0），FD的中点坐标（+2+，0），则+2+=3+2，解得：p=2，∴抛物线C：y2=4x；（2）由题意设AB的方程x=my+x0，（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），E（x2，﹣y2），由，消去x，整理得：y2﹣4my﹣4=0，由x0≥，△=16m2+16x0＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4x0，设P（xP，0），则=（x2﹣xP，﹣y2），=（x1﹣xP，y1），由∥，则（x2﹣xP）y1+y2（x1﹣xP）=0，即x2y1+y