【金教程】高考数学总复习 7.5直线与圆的位置关系 文 B

最新考纲解读1．掌握直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程，公共弦方程及有关直线与圆的问题．2．渗透数形结合的数学思想方法，充分利用圆的几何性质优化解题过程．高考考查命题趋势1．有关圆的题目多以选择题、填空题的形式考查，难度不大，有时也将圆的方程作为解答题考查．2．在2009年高考中有5套试题对这一知识点进行了考查都是中档题．如2009天津，14；福建，19等．估计2011年仍以选择题、填空题形式对这一知识进行考查.二、两圆的位置关系1．设两圆半径分别为R，r(R>r)，圆心距为d.若两圆相外离，则

，公切线条数为

；若两圆相外切，则

，公切线条数为

；若两圆相交，则

，公切线条数为

；若两圆内切，则

，公切线条数为

；若两圆内含，则

，公切线条数为

.2．设两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，若两圆相交，则公共弦所在的直线方程是(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.d>R＋r4d＝R＋r3R－r<d<R＋r2d＝R－r1d<R－r0三、相切问题的解法(1)利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解．(2)利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为－1.(3)利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即Δ＝0来求解．特殊地：(1)已知切点P(x0，y0)，圆x2＋y2＝r2的切线方程为：x0x＋y0y＝r2.(2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线方程为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.四、圆系方程(1)以点C(x0，y0)为圆心的圆系方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2(r>0)．(2)过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和直线l：ax＋by＋c＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)＝0.(3)过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(不表示圆C2).1.把握直线与圆的位置关系的三种常见题型：①相切——求切线；②相交——求距离、求弦长；③相离——求圆上动点到直线距离的最大(小)值．2．解决直线与圆的位置关系问题用到的思想方法有：①数形结合，善于观察图形，充分运用平面几何知识，寻找解题途径．②等价转化，如把切线长的最值问题转化为圆外的点到圆心的距离问题，把公切线的条数问题转化为两圆的位置关系问题，把弦长问题转化为弦心距问题等．③待定系数法，还要合理运用“设而不求”，简化运算过程．3．①圆与圆的位置关系转化为圆心距与两圆半径之和或半径之差的关系．②公共弦满足的条件是：连心线垂直平分公共弦.一、选择题1．(2009年重庆理，1)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为 ()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心 D．相离[解析]

圆心(0,0)到直线y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距离

[答案]

B2．(山东省临沂市期中考试)已知圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0(θ≠＋kπ，k∈Z)的位置关系是()A．相离 B．相切C．相交 D．不能确定[解析]

圆心到直线的距离为

直线与圆相离．

[答案]

A3．(江西高考)“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的 ()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[解析]

直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，则＝解之得a－b＝0或a－b＋4＝0，因此“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2”相切的充分不必要条件．[答案]

A4．(全国高考)已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是()[解析]

将x2＋y2＝2x化为(x－1)2＋y2＝1，∴该圆的圆心为(1,0)，半径r＝1.设直线的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.设圆心到直线l的距离为d，∵直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点，[答案]

C二、填空题5．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于________．例1(北京海淀)设m>0，则直线(x＋y)＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为 ()A．相切 B．相交C．相切或相离 D．相交或相切[答案]

C判断直线与圆的位置关系的方法有两种：代数法即Δ法，几何法即d—r法．相对这两种方法而言几何法更简便．思考探究1已知M(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2(r>0)内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝r2与此圆有何种位置关系？[解]

圆心O(0,0)到直线x0x＋y0y＝r2的距离为∵P(x0，y0)在圆内，∴则有d>r，故直线和圆相离.例2(1)求与圆x2＋y2＝5外切于点P(－1,2)，且半径为2的圆的方程．[解]

解法1：设所求圆的圆心为C(a，b)，解之得： (舍去)．所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝20.(2)若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则实数a，b应满足的关系是()A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析]

公共弦所在的直线方程为2(1＋a)x＋2(1＋b)y－a2－1＝0.∵圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，∴圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心在直线2(1＋a)x＋2(1＋b)y－a2－1＝0上，∴－2(1＋a)－2(1＋b)－a2－1＝0.即a2＋2a＋2b＋5＝0.[答案]

B1．利用圆与圆位置关系的充要条件，判断两圆的位置关系或求圆的方程．2．本题采用待定系数法求圆心的坐标，步骤是：寻找圆心满足的条件；列出方程组求解；(1)解法2利用向量沟通两个圆心的位置关系，既有共线关系又有长度关系，显得更简捷明快，值得借鉴．思考探究2试求与圆C1：(x－1)2＋y2＝1外切，且与直线x＋y＝0相切于点Q(3，－)的圆的方程．[解]

如图所示，设所求圆的圆心坐标C(a，b)，半径r，由于所求圆C与直线x＋y＝0相切于点Q(3，－)，则CQ垂直于直线x＋y＝0，例3

已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A，B两点．(1)若点Q的坐标为(1,0)，求切线QA、QB的方程；(2)求四边形QAMB的面积的最小值；(3)若AB＝，求直线MQ的方程．[分析](2)用一个变量表示四边形QAMB的面积；(3)从图形中观察点Q满足的条件．1．相切问题：(1)几何法——圆心到切线的距离等于半径．(2)代数法——切线与圆只有一个公共点，即判别式等于0.2．切线长：转化为圆外一点到圆心的距离，利用勾股定理求之．3．弦长：转化为圆心到弦所在直线的距离，利用勾股定理或射影定理求之．思考探究3已知圆M：(x＋cosθ)2＋(y－sinθ)2＝1，以及直线l：y＝kx，下面四个命题：①对任意实数k与θ，直线l和圆M相切；②对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；③对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切；④对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切．其中真命题的代号是________．(写出所有真命题的代号)[答案]

②④例4已知圆C：(x－3)2＋(y＋5)2＝r2和直线l：4x－3y－2＝0.(1)若圆C上有且只有4个点到直线l的距离等于1，求半径r的取值范围；(2)若圆C上有且只有3个点到直线l的距离等于1，求半径r的取值范围；(3)若圆C上有且只有2个点到直线l的距离等于1，求半径r的取值范围．[分析]解法1采用转化为直线与圆的交点个数来解决；解法2从劣弧的点到直线l的最大距离作为观察点入手．[解]

解法1：与直线l：4x－3y－2＝0平行且距离为1的直线为l1：4x－3y＋3＝0和l2：4x－3y－7＝0，圆心C到直线l1的距离为d1＝6，圆心C到直线l2的距离为d2＝4.(1)圆C上有且只有4个点到直线l的距离等于1⇔r>4且r>6，∴r>6；(2)圆C上有且只有3个点到直线l的距离等于1⇔r>4且r＝6，∴r＝6；(3)圆C上有且只有2个点到直线l的距离等于1⇔r>4且r<6，∴4<r<6.解法2：设圆心C到直线l的距离为d，则d＝5.(1)圆C上有且只有4个点到直线l的距离等于1⇔r－d>1，∴r>6；(2)圆C上有且只有3个点到直线l的距离等于1⇔r－d＝1，∴r＝6；(3)圆C上有且只有2个点到直线l的距离等于1⇔－1<r－d<1，∴4<r<6.解决圆上到直线l的距离等于1的点的个数问题：(1)转化为两条直线与圆的交点个数问题，是解决这类问题特别有效的方法．(2)也可转化为圆心到已知直线的距离与半径的差跟已知数据1比较大小．思考探究4(1)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．①证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；②求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．[解]

①解法1：l的方程(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0.即l恒过定点A(3,1)．[小结]①若直线的斜率不确定，则