【优化方案】高考数学总复习 第10章§10.8离散型精品课件 理 北师大

§10.8离散型随机变量的均值与方差、正态分布

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§10.8离散型随机变量的均值与方差、正态分布双基研习•面对高考1．均值(1)若离散型随机变量X的分布列为Xa1a2…ai…anPp1p2…pi…pn则称EX＝_____________________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝_____________a1p1＋a2p2＋…＋aipi＋…＋anpnaEX＋b.双基研习•面对高考基础梳理(3)①若X～B(n，p)，则EX＝_____②当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，它的均值EX＝______2．方差(1)设X是一个离散型随机变量，我们用_________来衡量X与EX的平均偏离程度，E(X－EX)2是(X－EX)2的期望，并称之为随机变量X的_____，记为____.(2)对DX的理解：DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度，DX越大，表明平均偏离程度____，说明X的取值越_____，反之，DX越小，X的取值越_____在EX附近．np.E(X－EX)2方差DX越大分散集中1．随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？【思考·提示】随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差．思考感悟3．正态分布

(1)正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝__________________其中μ，σ为参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞，正态分布通常记作____________(2)正态变量概率密度函数的图像叫作__________，我们把_______________________的正态分布叫作标准正态分布．N(μ，σ2)．正态曲线数学期望为0，标准差为14．正态分布曲线具有以下性质(1)函数图像关于直线_______对称；(2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”；σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡；(3)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1；(4)若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%；P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝______；P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.x＝μ95.4%2．正态分布中，μ，σ2的实际意义是什么？【思考·提示】

μ是均值，σ2是方差．思考感悟课前热身1．若X的分布列为X01Pmn，其中m∈(0,1)，则EX＝(

)A．1－m

B．mnC．m＋nD．m答案：A2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估计(

)A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较答案：B答案案：：B4．(教材材习习题题改改编编)已知知X是掷掷两两个个均均匀匀骰骰子子点点数数中中较较大大的的数数，，则则EX＝________.5．(2009年高高考考广广东东卷卷)已知知离离散散型型随随机机变变量量X的分分布布列列如如下下表表．．若若EX＝0，DX＝1，则则a＝________，b＝________.考点探究•挑战高考考点突破考点一离散型随机变量的均值1．求求离离散散型型随随机机变变量量的的期期望望关关键键是是写写出出离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布列列然然后后利利用用公公式式计计算算．．2．由由X的期期望望、、方方差差求求aX＋b的期期望望、、方方差差是是常常考考题题之之一一，，常常根根据据期期望望和和方方差差的的性性质质求求解解．．(2010年高高考考福福建建卷卷)设S是不不等等式式x2－x－6≤≤0的解解集集，，整整数数m，n∈S.(1)记“使得得m＋n＝0成立立的的有有序序数数组组(m，n)””为事事件件A，试试列列举举A包含含的的基基本本事事件件；；(2)设ξ＝m2，求求ξ的分布列列及其数数学期望望Eξ.【思路点拨拨】确定A包含的基基本事件件数后求求出ξ的取值，，再求出出随机变变量的概概率即可可写出分分布列，，由分布布列求期期望．例1【解】(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基基本事件件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不不同取值值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不不同取值值为0,1,4,9，故ξ的分布列列为【名师点评评】(1)随机变量量的数学学期望等等于该随随机变量量的每一一个取值值与取该该值时对对应的概概率乘积积的和．．(2)均值(数学期期望)是随机机变量量的一一个重重要特特征数数，它它反映映或刻刻画的的是随随机变变量取取值的的平均均水平平，均均值(数学期期望)是算术术平均均值概概念的的推广广，是是概率率意义(3)EX是一个实数，即X作为随机变量是可变的，而EX是不变的．变式训训练1(2009年高考考全国国卷Ⅰ)甲、乙乙二人人进行行一次次围棋棋比赛赛，约约定先先胜3局者获获得这这次比比赛的的胜利利，比比赛结结束．．假设(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；(2)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．解：记记Ai表示事事件：：第i局甲获获胜，，i＝3,4,5.Bj表示事事件：：第j局乙获获胜，，j＝3,4.(1)记C表示事事件：：甲获获得这这次比比赛的的胜利利．因前两两局中中，甲甲、乙乙各胜胜一局局，故故甲获获得这这次比比赛的的胜利利当且且仅当当在后后面的的比赛赛中，，甲先先胜2局，从从而C＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5.由于各各局比比赛结结果相相互独独立，，故P(C)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.(2)ξ的可能能取值值为2,3.由于各各局比比赛结结果相相互独独立，，所以以P(ξ＝2)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.P(ξ＝3)＝1－P(ξ＝2)＝1－0.52＝0.48.故ξ的分布列为为ξ23P0.520.48Eξ＝2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝2×0.52＋3×0.48＝2.48.考点二离散型随机变量的方差均值仅体现现了随机变变量取值的的平均大小小，但有时时仅知道均均值大小还还是不够的的．比如：：两个随机机变量的均均值相等了了，这就还还需要知道道随机变量量的取值如如何在均值值周围变化化，即计算算其方差(或标准差)．方差大说说明随机变变量取值分分散性大；；方差小说说明取值分分散性小或或者说取值值比较集中某市出租车车的起步价价为6元，行驶路路程不超过过3km时，租车费费为6元，若行驶驶路程超过过3km，则按每超超出1km(不足1km也按1km计程)收费3元计费．设设出租车一一天行驶的的路程数X(按整km数计算，不不足1km的自动计为为1km)是一个随机机变量，则则其收费也也是一个随随机变量．．已知一个个司机在某某一天每次次出车都超超过了3km，且一次的的总路程数数可能的取取值是20,22,24,26,28,30(km)，它们出现现的概率依依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2＋3a、4a.例2(1)求这一天中中一次行驶驶路程X的分布列，，并求X的数学期望望和方差；；(2)求这一天中中一次所收收租车费Y的数学期望望和方差．．【思路点拨】(1)由分布列的的性质求a的值，然后后根据分布布列用公式式求均值和和方差；(2)由题意Y＝3X－3，再用性性质求均均值和方方差．【解】(1)由分布列列的性质质有0．12＋0.18＋0.20＋0.20＋100a2＋3a＋4a＝1.∴100a2＋7a＝0.3，∴1000a2＋70a－3＝0，X202224262830P0.120.180.200.200.180.12∴EX＝20×0.12＋22×0.18＋24×0.20＋26×0.20＋28×0.18＋30×0.12＝25(km)．DX＝52×0.12＋32×0.18＋12×0.20＋12×0.20＋32×0.18＋52×0.12＝9.64.(2)由已知Y＝3X－3(X>3，X∈Z)，∴EY＝E(3X－3)＝3EX－3＝3×25－3＝72(元)，DY＝D(3X－3)＝32DX＝86.76.【名师点评评】求离散型型随机变变量的期期望与方方差，首首先要准准确写出出其分布布列，根根据分布布列用公公式求解解，同时时注意性性质的应应用，达达到简化化运算的的目的．．考点三正态分布正态分布问题题可利用变换换公式转化为为标准正态分分布问题，标标准正态分布布可通过查表表(或提供的数据据)进行求解．正态分布有两两个重要的参参数，平均数数(期望、数学期期望)μ和标准差σ，我们不但要要明白μ和σ在统计上的意意义，还要对对应到正态曲曲线上的曲线线几何意义，，做到从概率率、统计、曲曲线、函数这这四个方面来来把握和理解解，其中后两两个方面是作作为数学工具具来为前两个个方面服务的的．一次数学考试试中，某班学学生的分数X～N(110,202)，且知满分150分，这个班共共有54人，求这个班班在这次数学学考试中及格格(不小于90分)的人数和130分以上的人数数．【思路点拨】正态分布已经经确定，则总总体的期望μ和标准差σ就可以求出，，这样就可以以根据正态分分布在三个常常见的区间上上取值的概率率进行求解．．例3【名师点评】解答这类问题题的关键是确确定所求随机机变量在哪个个区间内取值值，这个区间间与应该熟记记的三个区间间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)之间的关系．．考点四均值与方差的实际应用一些与现实生生活有密切联联系的问题，，主要利用离离散型随机变变量的均值与与方差，判断断方案优劣、、水平高低等等．(2011年广州模拟)某投资者有10万元，现有两两种投资方案案：一是购买买股票，二是是存入银行获获取利息．买买股票的收益益主要取决于于经济形势，，假设可分三三种状态：形形势好、形势势中等、形势势不好(即经济衰退)．例4若形势好，可可获利40000元；若形势中中等，可获利利10000元；若形势不不好，要损失失20000元．如果是存存入银行，假假设年利率为为8%，即可得利息息8000元．又设经济济形势好、中中等、不好的的概率分别为为30%、50%和20%，试问该投资资者应选择哪哪一种投资方方案？【思路点拨】买股票的收益益与经济形势势有关，存入入银行的收益益与经济形势势无关．因此此，要确定选选择哪一方案案，就必须通通过计算这两两种投资方案案对应的收益益期望值E来进行判断．．【解】由题设，一年年中两种投资资方式在不同同的经济形势势下对应的收收益与概率如如下表所示：：购买股票状态经济形势好经济形势中等经济形势不好收益4000010000－20000概率0.30.50.2存入银行状态经济形势好经济形势中等经济形势不好收益800080008000概率0.30.50.2从上表可以初初步看出，如如果购买股票票，在经济形形势好和经济济形势中等的的情况下是合合算的，但如如果经济形势势不好，则采采取存入银行行的方案比较较好．下面通通过计算加以以分析：如果购买股票票，其收益的的期望值E1＝40000××0.3＋10000××0.5＋(－20000)×0.2＝13000(元)；如果存入银银行，其收益益的期望值E2＝8000×0.3＋8000×0.5＋8000×0.2＝8000(元)．因此，购买买股票的收益益期望值比存存入银行的收收益期望值大大，按期望收收益最大原则则，应选择购购买股票．【名师点评】随机变量的均均值反映了随随机变量取值值的平均水平平，方差反映映了随机变量量稳定于均值值的程度，它它们从整体和和全局上刻画画了随机变量量，是实际中中用于方案取取舍的重要的的理伦依据，，一般先比较较均值，若均均值相同，再再用方差来决决定，从而解解决相关问题题．变式训练2随机抽取某厂厂的某种产品品200件，经质检，，其中有一等等品126件、二等品50件，三等品20件、次品4件．已知生产产1件一、二、三三等品获得的的利润分别为为6万元、2万元、1万元，而生产产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润润(单位：万元)为ξ.(1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均均利润(即ξ的数学期望)；(3)经技术术革新新后，，仍有有四个个等级级的产产品，，但次次品率率降为为1%，一等等品率率提高高为70%，如果果此时时要求求1件产品品的平平均利利润不不小于于4.73万元，，则三三等品品率最最多是是多少少？故ξ的分布布列为为ξ621－2P0.630.250.10.02(2)Eξ＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)××0.02＝4.34(万元)．(3)设技术术革新新后的的三等等品率率为x，则此时时1件产品品的平平均利利润为为Eξ＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋x＋(－2)××0.01＝4.76－x(0≤≤x≤0.29)，依题意意，Eξ≥4.73，即即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03.所以三三等品品率最最多为为3%.方法感悟方法技技巧1．期望望与方方差的的常用用性质质．掌掌握下下述有有关性性质，，会给给解题题带来来方便便：(1)E(aξ＋b)＝aEξξ＋b；E(ξ＋η)＝Eξξ＋Eηη；D(aξξ＋b)＝a2Dξξ；(2)若ξ～B(n，p)，则则Eξξ＝np，Dξξ＝np(1－p)．2．基基本本方方法法(1)已知知随随机机变变量量的的分分布布列列求求它它的的期期望望、、方方差差和和标标准准差差，，可可直直接接按按定定义义(公式式)求解解；；(如例例1)(2)已知知随随机机变变量量ξ的期期望望、、方方差差，，求求ξ的线线性性函函数数η＝aξξ＋b的期期望望、、方方差差和和标标准准差差，，可可直直接接用用ξ的期期望望、、方方差差的的性性质质求求解解；；(3)如能能分分析析所所给给随随机机变变量量是是服服从从常常用用的的分分布布(如两两点点分分布布、、二二项项分分布布等等)，可可直直接接利利用用它它们们的的期期望望、、方方差差公公式式求求解解．．(如例3)失误防范范1．在没有有准确判判断概率率分布模模型之前前不能乱乱套公式式．2．对于应应用问题题，必须须对实际际问题进进行具体体分析，，一般要要将问题题中的随随机变量量设出来来，再进进行分析析，求出出随机变变量的概概率分布布，然后后按定义义计算出出随机变变量的期期望、方方差或标标准差．．考情分析考向瞭望•把脉高考离散型随随机变量量的均值值和方差差是每年年必考的的知识点点之一，，题型为为填空题题或解答答题，属属中档题题，常与与排列组组合、概概率等知知识综合合命题，，既考查查基本概概念，又又注重考考查基本本运算能能力和逻逻辑推理理能力．．预测2012年高考中中，离散散型随机机变量的的均值和和方差仍仍然是高高考热点点，同时时应特别别注意，，均值与与方差的的实际应应用．(本题满分分12