山东省烟台市大学附属中学2021年高二数学理上学期期末试卷含解析

山东省烟台市大学附属中学2021年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数则=．1．．0．参考答案：B2.在△ABC中，已知3b＝2asinB，且cosB＝cosC，角A是锐角，则△ABC的形状是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形

D．等边三角形参考答案：D3.函数的导函数的图像如图所示，则的图像最有可能的是参考答案：C略4.已知z（2+i）=1+ai，a∈R，i为虚数单位，若z为纯虚数，则a=（）A．﹣2 B．﹣ C． D．2参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算性质、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：z（2+i）=1+ai，∴z（2+i）（2﹣i）=（1+ai）（2﹣i），∴z=，若z为纯虚数，则=0，≠0，a=﹣2．故选：A．【点评】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的（

）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要参考答案：A【分析】先阅读题意，再由原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件可得解【详解】由已知有”在任意等高处的截面面积都对应相等”是“两个几何体的体积必然相等“的充分条件不必要条件，结合原命题与其逆否命题的真假可得：“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题考查了阅读能力、原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件，属中档题。

6.从字母a，b，c，d，e，f中选出4个字母排成一列，其中一定要选出a和b，并且必须相邻（a在b的前面），共有排列方法（）种．A．36 B．72 C．90 D．144参考答案：A【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】再从剩余的4个字母中选取2个，方法有种，再将这2个字母和整体ab进行排列，方法有=6种，根据分步计数原理求得结果．【解答】解：由于ab已经选出，故再从剩余的4个字母中选取2个，方法有=6种，再将这2个字母和整体ab进行排列，方法有=6种，根据分步计数原理求得所有的排列方法共有6×6=36种，故选：A．7.若三点A（0，8），B（﹣4，0），C（m，﹣4）共线，则实数m的值是（）A．6 B．﹣2 C．﹣6 D．2参考答案：C【考点】三点共线．【分析】直线斜率存在时，用直线的斜率相等即可解题．【解答】解：由题意知，直线的斜率存在∴KAB=KAC即：，∴m=﹣6故选C．8.已知集合，，则A∩B=（

）A.{－1,0,1} B.{－1,0} C.{0,1} D.{－1,1}参考答案：B【分析】先求集合，然后求.【详解】因为，所以，选B.【点睛】本题考查了集合的交集.9.过不共面的4个点的3个的平面共有几个

（

）

A、0

B、3

C、4

D、无数个

参考答案：C略10.若﹣2i+1=a+bi，则a﹣b=(

) A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3参考答案：D考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数相等即可得出．解答： 解：∵﹣2i+1=a+bi，∴1=a，﹣2=b，则a﹣b=1﹣（﹣2）=3．故选：D．点评：本题考查了复数相等的定义，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线与直线平行，则=

．参考答案：212.命题的否定是_______.参考答案：任意的13.在△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：3：2，那么cosC的值为．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由正弦定理可得6a=4b=3c，进而可用a表示b，c，代入余弦定理化简可得．【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=4：3：2，∴由正弦定理可得a：b：c=4：3：2，可得：a=，c=，由余弦定理可得cosC===．故答案为：．14.在区间上随机抽取一个数，则位于0到1之间的概率是________参考答案：15.函数的最大值为________参考答案：116.直线被圆所截得的弦长等于____________。参考答案：略17.一个正三棱柱的三视图如右图所示，则该三棱柱的侧面积是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（为常数,）.（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）当时，判断在上的单调性；（3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围.参考答案：解：.（1）由已知，得且，，，.（2）当时，,,当时，.又，，故在上是增函数.

（3）时，由（Ⅱ）知，在上的最大值为，于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立.记，（）则，当时，，在区间上递减，此时，，由于，时不可能使恒成立，故必有,.若，可知在区间上递减，在此区间上，有与恒成立矛盾，故，这时，在上递增，恒有，满足题设要求，，即，所以，实数的取值范围为.

略19.如图，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的短轴长，C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）求证：MA⊥MB：（Ⅲ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若=λ，求λ的最小值．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（I）离心率=，可得a2=2c2=2b2，又x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长2=2b，解得b，a2．可得曲线C2的方程；曲线C1的方程．（II）设直线AB的方程为：y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2）．M（0，﹣1）．与抛物线方程联立可得：x2﹣kx﹣1=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质即可证明MA⊥MB．（III）设直线MA的方程：y=k1x﹣1；MB的方程为：y=k2x﹣1，且k1k2=﹣1．分别与抛物线椭圆方程联立解得A，B，D，E的坐标，利用三角形面积计算公式即可得出，=λ，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】（I）解：离心率=，∴a2=2c2=2b2，又x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长2=2b，解得b=1．∴a2=2．∴曲线C2的方程为：y=x2﹣1；曲线C1的方程为：=1．（II）证明：设直线AB的方程为：y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2）．M（0，﹣1）．联立，化为：x2﹣kx﹣1=0，∴x1+x2=k，x1?x2=﹣1．∴=x1x2+（y1+1）（y2+1）=（k2+1）x1?x2+k（x1+x2）+1=﹣（k2+1）+k?k+1=0．∴MA⊥MB．（III）解：设直线MA的方程：y=k1x﹣1；MB的方程为：y=k2x﹣1，且k1k2=﹣1．联立，解得，或，∴A．同理可得B．S1=|MA|?|MB|=|k1|?|k2|．，解得，或，∴D．同理可得：E，∴S2==?．∴=λ==，所以λ的最小值为，此时k=1或﹣1．20.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。求：(1)角C的度数；

(2)AB的长度。参考答案：略21.某市从2011年起每年在国庆期间都举办一届国际水上狂欢节，该市旅游部门将前五届水上狂欢期间外地游客到该市旅游的人数统计如下表：年份20112012201320142015水上狂欢节编号x12345外地游客人数y（单位：十万）0.60.80.91.21.5根据上表他人已经求得=0.22．（1）请求y关于x的线性回归方程=x+；（2）该市旅游部门估计，每位外地游客可为该市增加100元的旅游收入，请你利用（1）的线性回归方程，预测2017年第七届国际水上狂欢节期间外地游客可为该市增加多少旅游收入？参考答案：【考点】BK：线性回归方程．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】（1）根据表中数据计算、，代入回归方程求出系数，写出y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）的线性回归方程，计算x=7时的值，再计算2017年第七届国际水上狂欢节期间外地游客可为该市增加的旅游收入．【解答】解：（1）根据表中数据，计算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（0.6+0.8+0.9+1.2+1.5）=1.0，又=0.22，∴=1.0﹣0.22×3=0.34，∴y关于x的线性回归方程为=0.22x+0.34；（2）利用（1）的线性回归方程，计算x=7时，=0.22×7+0.34=1.88，且1.88×10×100=1880，∴预测2017年第七届国际水上狂欢节期间外地游客可为该市增加1880万元的旅游收入．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了推理与计算能力，是基础题．22.(本小题满分14分)

如图8所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）求二面角P－AC－D的大小；（Ⅲ）侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．参考答案：（Ⅰ）连结BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图．设