材料力学14章3静不定结构中对称与反对称性质

1、注意：注意： 无论是对称载荷无论是对称载荷还是反对称载荷，还是反对称载荷， 一定是要作用对称结一定是要作用对称结构上。离开对称结构构上。离开对称结构的载荷，无所谓对称的载荷，无所谓对称与反对称。与反对称。14-3 14-3 静不定结构中对称与反对称性质的利用静不定结构中对称与反对称性质的利用aabmaa/2caabmaa/2cmaabmaa/2cm问题：对称结构，加与已问题：对称结构，加与已知力偶知力偶m m对应的载荷。哪对应的载荷。哪种是对称载荷？哪种是反种是对称载荷？哪种是反对称载荷？对称载荷？反对称载荷反对称载荷对称载荷对称载荷n n （轴力）和（轴力）和 mm（弯矩）（弯矩） 是对称的

2、内力是对称的内力q q（剪力）是反对称的内力（剪力）是反对称的内力问题：对称结构，受力问题：对称结构，受力f f作用。哪种内力是对称载作用。哪种内力是对称载荷？哪种是反对称载荷？荷？哪种是反对称载荷？加何种力可以形成对称加加何种力可以形成对称加载？载？p2a2aabcde对称载荷对称载荷p2a2aabcdpe反对称内力反对称内力pacdbyeye对称内力对称内力pacdbxexefaaaafffabcd问题：对称结构，受问题：对称结构，受4 4力力f f作用。在什么地方，作用。在什么地方，内力具有对称（或反内力具有对称（或反对称对称）性质？）性质？ffabcfsafsc解：约束反力三次静不定约

3、束反力三次静不定1x1x2x2x3x3x1x1x2x2x3x3x1p1111.x212.x313.x02p2121.x222.x323.x03p3131.x232.x333.x0111111pm1m2m3m01p02p03p011022033021120322303113正则方正则方程组简程组简化为：化为：p1111.x313.x0222.x0p3131.x333.x002x解：1）判断静不定种类及次数）判断静不定种类及次数约束反力三次静不定2）解除多余约束，建立静定基）解除多余约束，建立静定基3）对静定基进行受力分析，）对静定基进行受力分析，建立相当系统建立相当系统为了不破坏反对称性为了不破

4、坏反对称性释放刚架在对称截面的释放刚架在对称截面的3个内力个内力1x1x2x2x3x3x4）分别研究切口两侧，）分别研究切口两侧，建立正则方程建立正则方程竖直相对线位移，竖直相对线位移，相对转角，相对转角，水平相对线位移，水平相对线位移，1x1x2x2x3x3x1p1111.x212.x313.x02p2121.x222.x323.x03p3131.x232.x333.x0111111pm1m2m3m01p02p03p011022033021120322303113111.x313.x0222.x0131.x333.x001x结论：在对称的结构上作用着反对称的载荷结论：在对称的结构上作用着反对

5、称的载荷 在结构的对称截面上在结构的对称截面上, 对称的内力等于对称的内力等于 0p203xq2q2q例1:试画出下列刚架的弯矩图(不记n)32l3l3l32l解:2) 对称性分析: 结构对称结构对称,载荷反对称载荷反对称1) 静不定分析: 三次静不定三次静不定3）解除多余约束，建立静定基4)对静定基进行受力分析,建立相当系统2x5）研究切口两侧，建立正则方程45度方向的相对线位移,222.x0p213pl3pl45lcos45lcosp2)45.98.3.3.21(1*2lcoslpllei22)45.32.45. .21(1*2lcoslcoslei2xpmm6)画刚架弯矩图总弯矩图=pm

6、mx .2ma4mh5 . 4解:2) 对称性分析:结构对称结构对称,载荷对称载荷对称1) 静不定分析: 三次静不定三次静不定3）解除多余约束，建立静定基4)对静定基进行受力分析,建立相当系统5）研究切口两侧，建立正则方程水平相对线位移,1x1x3x3x相对转角,p1111.x313.x0p3131.x333.x011112ph2ph11hhpm1m3m11mpmp33mpmp1111*mm3333*mm313113*mm21px 03x解:2) 对称性分析:结构对称结构对称,载荷反对称载荷反对称1) 静不定分析: 三次静不定三次静不定3）解除多余约束，建立静定基4)对静定基进行受力分析,建立

7、相当系统5）研究切口两侧，建立正则方程竖直相对线位移,p2222.x02phpm2m22*mmpp2222*mmknx2 .3922x2x2ph112/a2/a图2的弯矩图=pm22.mx原刚架的弯矩图例:试求列刚架的约束反力(不记n)解:2) 对称性分析: 结构对称结构对称,载荷反对称载荷反对称1) 静不定分析: 三次静不定三次静不定3）解除多余约束，建立静定基4)对静定基进行受力分析,建立相当系统2x5）研究切口两侧，45度方向的相对线位移,建立正则方程222.x0p213pl3pl45lcos45lcos34213(. .)4628 2paqlqleiei3221 11. .22622l

8、llleiei222234 2pqlx pmmllcdabpprcdab1)(sm)(sm20)()(rdseismsmab)(sm)(smab解:2) 对称性分析: 结构对称结构对称,载荷对称载荷对称1) 静不定分析: 三次静不定三次静不定3）取原结构的一半cad研究(图3)cdabppab和和cd都是对称轴都是对称轴pcndncmdmdcnn2pnndc3）取图3 的一半ad研究(图3)2pdm11p1dm.1102p1)cos1 (2)(rpmp1)(mrdeimmpp201)()(rdeimm2011)()()121(.rpmddcmmdpmmm. )()()2cos1( pr)(mc

9、dabppcdab1)2cos1(pr)(m)2cos1(r)(mab*4rdeimm20)().(例例3：求：求 a、b两点间的相对线位移两点间的相对线位移ab 。afbfr由对称性知由对称性知:2nff0,sfafbfrfnfnfsfsfsfsmmmmaf/2rmdd变形协调条件变形协调条件:d 0先求多余内力先求多余内力)cos1 (2)(rfmmd1)(msiemmsdd1222rfmierd 0121frmd由此得af/2rmddr1)cos1 (2121)(rffrm12cosfr)cos1 ()(rmd)()(20riemmd183iefr2423iefrdabaf/2rmddr

10、1再求再求 a、b两点间的相对线位移两点间的相对线位移ab 。对称结构在正对称载荷作用下：对称结构在正对称载荷作用下：结构的内力及变形是对称的结构的内力及变形是对称的位于对称轴上的截面位于对称轴上的截面c的内力的内力 fs=0f1f1f2f2fnfsfsmm对称性利用小结：对称性利用小结：对称结构在反对称载荷作用下：对称结构在反对称载荷作用下：结构的内力及变形是反对称的结构的内力及变形是反对称的位于对称轴上的截面位于对称轴上的截面c的内力的内力 fn=0 ，m=0 f1f1f2f2fnfsfsmmff/2f/2ff/2f/2例：平面框架受切向分布例：平面框架受切向分布载荷载荷q作用，求截面作用，求截面a的剪的剪力、弯矩和轴力。力、弯矩和轴力。qaabbaqaabfsa解：解：0, 0,nsaaafmqbf例：图示小曲率杆在力偶例：图示小曲率杆在力偶me与均匀分布剪流与均匀分布剪流q作用下处作用下处于平衡状态于平衡状态, 已知已知q、r与与ei=常数常数, 试求截面试求截面a的剪力、的剪力、弯矩和轴力。弯矩和轴力。memeqcabdr0, 0,nsaaafmqrf解：解：meqcabfsafscrfsafsbr例：等截面平面框架的受例：等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最力情况如图所示。试求最大弯矩及其作用位置。大弯矩及其作用位置。faaaaff