对策与决策模型第八章对策与决策模型

第八章对策与决策模型浙江大学城市学院第八章对策与决策模型对策与决策是人们生活和工作中经常会遇到的择优活动。人们在处理一个问题时，往往会面临几种情况，同时又存在几种可行方案可供选择，要求根据自己的行动目的选定一种方案，以期获得最佳的结果。有时，人们面临的问题具有竞争性质，如商业上的竞争、体育中的比赛和军事行动、政治派别的斗争等等。这时竞争双方或各方都要发挥自己的优势，使己方获得最好结果。因而双方或各方都要根据不同情况、不同对手做出自己的决择，此时的决策称为对策。在有些情况下，如果我们把可能出现的若干种情况也看作是竞争对手可采取的几种策略，那么也可以把决策问题当作对策问题来求解。§8.1对策问题对策问题的特征是参与者为利益相互冲突的各方，其结局不取决于其中任意一方的努力而是各方所采取的策略的综合结果。先考察几个实际例子。

例8.1

（田忌赛马）

田忌赛马是大多数人都熟知的故事，传说战国时期齐王欲与大将田忌赛马，双方约定每人挑选上、中、下三个等级的马各一匹进行比赛，每局赌金为一千金。齐王同等级的马均比田忌的马略胜一筹，似乎必胜无疑。田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，让他用下等马比齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马，结果田忌二胜一败，反而赢了一千金。

例8.2

（石头—剪子—布）这是一个大多数人小时候都玩过的游戏。游戏双方只能选石头、剪子、布中的一种，石头赢剪子，剪子赢布，而布又赢石头，赢者得一分，输者失一分，双方相同时不得分，见下表。表8.1石头剪子布石头01－1剪子－101布1－10例8.3

（囚犯的困惑）警察同时逮捕了两人并分开关押，逮捕的原因是他们持有大量伪币，警方怀疑他们伪造钱币，但没有找到充分证据，希望他们能自己供认，这两个人都知道：如果他们双方都不供认，将被以使用和持有大量伪币罪被各判刑18个月；如果双方都供认伪造了钱币，将各被判刑3年；如果一方供认另一方不供认，则供认方将被从宽处理而免刑，但另一方面将被判刑7年。将嫌疑犯A、B被判刑的几种可能情况列表如下：表8.2嫌疑犯B供认不供认嫌疑犯A供认不供认（3，3）（0，7）（7，0）（1.5，1.5）表中每对数字表示嫌疑犯A、B被判刑的年数。如果两名疑犯均担心对方供认并希望受到最轻的惩罚，最保险的办法自然是承认制造了伪币。一、对策的基本要素（1）局中人。参加决策的各方被称为决策问题的局中人，一个决策总是可以包含两名局中人（如棋类比赛、人与大自然作斗争等），也可以包含多于两名局中人（如大多数商业中的竞争、政治派别间的斗争）。局中人必须要拥用可供其选择并影响最终结局的策略，在例8.3中，局中人是A、B两名疑犯，警方不是局中人。两名疑犯最终如何判刑取决于他们各自采取的态度，警方不能为他们做出选择。从这些简单实例中可以看出对策现象中包含的几个基本要素。（2）策略集合。局中人能采取的可行方案称为策略，每一局中人可采取的全部策略称为此局中人的策略集合。对策问题中，对应于每一局中人存在着一个策略集合，而每一策略集合中至少要有两个策略，否则该局中人可从此对策问题中删去，因为对他来讲，不存在选择策略的余地。应当注意的是，所谓策略是指在整个竞争过程中对付他方的完整方法，并非指竞争过程中某步所采取的具体局部办法。例如下棋中的某步只能看和一个完整策略的组成部分，而不能看成一个完整的策略。当然，有时可将它看成一个多阶段对策中的子对策。策略集合可以是有限集也可以是无限集。策略集为有限集时称为有限对策，否则称为无限对策。

记局中人i的策略集合为Si。当对策问题各方都从各自的策略集合中选定了一个策略后，各方采取的策略全体可用一矢量S表示，称之为一个纯局势（简称局势）。

例如，若一对策中包含A、B两名局中人，其策略集合分别为SA

={1,…,m}，SB

={1,…,n}。若A选择策略i而B选策略j，则（i,j）就构成此对策的一个纯局势。显然，SA与SB一共可构成m×n个纯局势，它们构成表8.3。对策问题的全体纯局势构成的集合S称为此对策问题的局势集合。

(m,n)

…(m,j)

…(m,2)

(m,1)

m…………………(i,n)

…(i,j)

…(i,2)

(i,1)

i…………………(2,n)

…(2,j)

…(2,2)

(2,1)

2(1,n)

…(1,j)

…(1,2)

(1,1)

1A的策略n…J…21B的策略（3）赢得函数（或称支付函数）。对策的结果用矢量表示，称之为赢得函数。赢得函数F为定义在局势集合S上的矢值函数，对于S中的每一纯局势S，F（S）指出了每一局中人在此对策结果下应赢得（或支付）的值。综上所述，一个对策模型由局中人、策略集合和赢得函数三部分组成。记局中人集合为I={1,…,k}，对每一i∈I，有一策略集合Si，当I中每一局中人i选定策略后得一个局势s；将s代入赢得函数F，即得一矢量F(s)=(F1(s),…,Fk(s))，其中Fi(s)为在局势s下局中人i的赢得（或支付）。本节讨论只有两名局中人的对策问题，即两人对策，其结果可以推广到一般的对策模型中去。对于只有两名局中人的对策问题，其局势集合和赢得函数均可用表格表示。例如，表8.2就给出了例8.3的局势集合和赢得函数。二、零和对策存在一类特殊的对策问题。在这类对策中，当纯局势确定后，A之所得恰为B之所失，或者A之所失恰为B之所得，即双方所得之和总为零。在零和对策中，因F1(s)=－F2(s)，只需指出其中一人的赢得值即可，故赢得函数可用赢得矩阵表示。例如若A有m种策略，B有n种策略，赢得矩阵

表示若A选取策略i而B选取策略j，则A之所得为aij（当aij<0时为支付）。在有些两人对对策的赢得表表中，A之所所得并非明显显为B之所失失，但双方赢赢得数之和为为一常数。例例如在表8.4中，无论论A、B怎样样选取策略，，双方赢得总总和均为10，此时，若若将各人赢得得数减去两人人的平均赢得得数，即可将将赢得表化为为零和赢得表表。表8.4中的对策在在转化为零和和对策后，具具有赢得矩阵阵表8.4局中人B123局中人A1(8,2)(1,9)(7,3)2(4,6)(9,1)(3,7)3(2,8)(6,4)(8,2)4(6,4)(4,6)(6,4)给定一个两人人对策只需给给出局中人A、B的策略略集合SA、SB及表示双方赢赢得值的赢得得矩阵R。综上所述，，当遇到零和和对策或可转转化为零和对对策的问题时时，R可用通常意义义下的矩阵表表示，否则R的元素为一两两维矢量。故两人对策G又可称为矩阵阵对策并可简简记成G={SA,SB,R}例8.4

给定G={SA,SB,R}，其中SA

={1,2,3}，SB

={1,2,3,4}

从R中可以看出，若A希望获得最大赢利30，需采取策略1，但此时若B采取策略4，A非但得不到30，反而会失去22。为了稳妥，双方都应考虑到对方有使自己损失最大的动机，在最坏的可能中争取最好的结果。局中人A采取策略1、2、3时，最坏的赢得结果分别为min{12,－－6,30,－22}=－－22min{14,2,18,10}=2min{－－6,0,－10,16}=－10其中最好的可能为max{－22,2,－10}=2。如果A采取策略2，无论B采取什么策略，A的赢得均不会少于2.B采取各方案的最大损失为max{12,14,－6}=14，max{－6,2,0}=2，max{30,18,－10}=30和max{－22,10,16}=16。当B采取策略2时，其损失不会超过2。注意到在赢得矩阵中，2既是所在行中的最小元素又是所在列中的最大元素。此时，只要对方不改变策略，任一局中人都不可能通过变换策略来增大赢得或减小损失，称这样的局势为对策的一个稳定点或稳定解，（注：也被称为鞍点）定义8.1

对于两人对策G={SA,SB,R}，若有，则称G具有稳定解，并称VG为对策G的值。若纯局势（）使得，则称（）为对策G的鞍点或稳定解，赢得矩阵中与（）相对应的元素称为赢得矩阵的鞍点，与分别称为局中人A与B的最优策略。对（8.1））式中的赢得得矩阵，容易易发现不存在在具有上述性性质的鞍点。。给定一个对对策G，如何判断它它是否具有鞍鞍点呢？为了了回答这一问问题，先引入入下面的极大大极小原理。。定理8.1

设G={SA,SB,R}，记，则必有μ+ν≤0证明:，易见μ为A的最小赢得，，ν为B的最小赢得，，由于G是零和对策，，故μ+ν≤0必成立。。定理8.2零和对策G具有稳定解的充要要条件为μ+ν=0。。证明：（充分性）由μ和ν的定义可知，存在一行（例如p行）μ为p行中的最小元素且存在一列（例如q列），－ν为q列中的最大元素。故有apq≥μ且apq≤－ν又因μ+ν=0，所以μ=－ν，从而得出apq=μ，apq为赢得矩阵的鞍点，（p,q）为G的稳定解。

（必要性）若G具有稳定解（p,q），则apq为赢得矩阵的鞍点。故有

从而可得μ+ν≥0，但但根据定理8.1，μ+ν≤0必成成立，故必有有μ+ν=0。上述定理给出出了对策问题题有稳定解（（简称为解））的充要条件件。当对策问问题有解时，，其解可以不唯唯一。例如，若则易见，（2,2），（2,4），（4,2），（4,4）均为此对策问题的解。一般又可以证明。定理8.3对对策问题题的解具有下下列性质：（1）无差别性。若（,）与（,）同为对策G的解，则必有。（2）可交换性。若（,j1）、（,j2）均为对策G的解，则（,j2）和（,j1）也必为G的解。

定理8.3的的证明非常容容易，作为习习题留给读者者自己去完成成。具有稳定解的零和对策问题是一类特别简单的对策问题，它所对应的赢得矩阵存在鞍点，任一局中人都不可能通过自己单方面的努力来改进结果。然而，在实际遇到的零和对策中更典型的是μ+ν≠0的情况。由于赢得矩阵中不存在鞍点，至少存在一名局中人，在他单方面改变策略的情况下，有可能改善自己的收益。例如，考察（8.1）中的赢得矩阵R。若双方都采取保守的maxmin原则，将会出现纯局势（

4,1）或（4,3）。但如果局中人A适当改换策略，他可以增加收入。例如，如果B采用策略1，而A改换策略1，则A可收益3。但此时若B改换策略

2，又会使A输掉4，……。此时，在只使用纯策略的范围内，对策问题无解。这类决策如果只进行一次，局中人除了碰运气以外别无办法。但如果这类决策要反复进行多次，则局中人固定采用一种策略显然是不明智的，因为一旦对手看出你会采用什么策略，他将会选用对自己最为有利的策略。这时，局中人均应根据某种概率来选用各种策略，即采用混合策略的办法，使自己的期望收益尽可能大。

设A方用概率xi选用策略i，B方用概率yj选用策略j，，且双方每次选用什么策略是随机的，不能让对方看出规律，记X=(x1,…,xm)T，Y=(y1,…,yn)T，则A的期望赢得为为E(X,Y)=XTRY其中，R为A方的赢得矩阵阵。记SA:策略α1,…,αmSB:策略β1,…,βn概率x1,…,xm概率y1,…,yn分别称SA与SB为A方和B方的混合策略略。对于需要使用用混合策略的的对策问题，，也有具有稳稳定解的对策策问题的类似似结果。定义8.2若存在m维概率向量和n维概率向量，使得对一切m维概率向量X和n维概率向量y有则称（,）为混合策略对策问题的鞍点。定理8.4（VonNeumann）任意混合策略对策问题必存在鞍点，即必存在概率向量和，使得：（证明从略）。使用纯策略的的对策问题（（具有稳定解解的对策问题题）可以看成成使用混合策策略的对策问题的特殊情情况，相当于于以概率1选选取其中某一一策略，以概概率0选取其其余策略。对于双方均只只有两种策略略的对策问题题（即2×2对策），可可按几何方法法求解。借助几何方法法也可以解m×2或2×n的使用混合策策略的对策问问题。但当m>2且n>2时，采用用几何方法求求解就变得相相当麻烦，此时通常采用用线性规划方法求解。A方选择混合策略的目的是使得其中ej为只有第j个分量为1而其余分量均为零的向量，Ej

=XTRej。记，由于，在yk=1，yj=0（j≠k）时达到最大值u，

故应为线性规划问题

minu

,j=1,2,…,n(即Ej≤Ek)xi≥0,i=1,2,…,mS.t的解。同理，应为线性规划maxν

,i=1,2,…,myj≥0,i=1,2,…,nS.t的解。由线性规划知知识，（8.2）与（8.3）互为为对偶线性规规划，它们具具有相同的最最优目标函数数值。关于线线性规划对偶偶理论，有兴兴趣的读者可可以参阅有关关书籍，例如如鲁恩伯杰的的“线性与非非线性规划引引论”。为了寻找例8.5中A方方的最优混合合策略，求解解线性规划minux1+x2≤ux1+0.58x2≤ux1+x2=1x1,x2≥0可得最优混合合策略x1=0.7,x2=0.3。类类似求解线性性规划maxυy1+y2≤υy1+0.58y2≥υy1+y2=1y1,y2≥0可得B方最优优混合策略：：y1=0.7,y2=0.3。三、非零和对对策除了零和对策策外，还存在在着另一类对对策问题，局局中人获利之之和并非常数数。例8.4现有一对策问问题，双方获获利情况见表表8.5。表8.5B方A方1231234（8,2）（3,4）（1,6）（4,2）（0,9）（9,0）（6,2）（4,6）（7,3）（2,7）（8,1）（5,1）假如A、B双双方仍采取稳稳妥的办法，，A发现如采采取策略4，，则至少可获获利4，而B发现如采取取策略1，则则至少可获利利2。因而，，这种求稳妥妥的想法将导导至出现局势势（4，2））。容易看出，从从整体上看，，结果并不是是最好的，因因为双方的总总获利有可能能达到10。。不难看出，，依靠单方面面的努力不一一定能收到良良好的效果。。看来，对这这一对策问题题，双方最好好还是握手言言和，相互配配合，先取得得总体上的最最大获利，然然后再按某一一双方均认为为较为合理的的方式来分享享这一已经获获得的最大获获利。例8.4说明明，总获利数数并非常数的的对策问题（（即不能转化化为零和对策策的问题），，是一类存在在着合作基础础的对策问题题。当然，这这里还存在着着一个留待解解决而又十分分关键的问题题：如何分享享总获利，如如果不能达到到一个双方（（或各方）都都能接受的““公平”的分分配原则，则则合作仍然不不能实现。怎怎样建立一个个“公平”的的分配原则是是一个较为困困难的问题，，将在第九章章中介绍。最后，我们来来考察几个对对策问题的实实例。例8.6（战例分析））1944年年8月，美军军第一军和英英军占领法国国诺曼第不久久，立即从海海防前线穿过过海峡，向Avranches进军军。美军第一一军和英军的的行动直接威威胁到德军第第九军。美军军第三军也开开到了Avranches的南部，，双方军队所所处的地理位位置如图8.2所示。美军方面的指指挥官是Bradley将军，德军军指挥官是VonKluge将军军。VonKluge将军军面临的问题题是或者向西西进攻，加强强他的西部防防线，切断美美军援助；或或者撤退到东东部，占据塞塞那河流域的的有利地形，，并能得到德德军第十五军军的援助。Bradley将军的问问题是如何调调动他的后备备军，后备军军驻扎在海峡峡南部。Bradley将军有三种种可供选择的的策略：他可可以命令后备备军原地待命命，当海峡形形势危急时支支援第一军或或出击东部敌敌人，以减轻轻第一军的压压力。双方应如何决决策，使自己己能有较大的的机会赢得战战争的胜利呢呢？由于两军作战并非可以反复进行的对策问题，看来最大的可能是美军采取策略3而德军采取策略2，即美方后备军待命而德军第九军东撤。事实上，当时双方指挥官正是这样决策的，如果真能实行，双方胜负还难以料定。但正当德军第九军刚开始东撤时，突然接到了希特勒的命令要他们向西进攻，从而失去了他们有可能取得的最佳结局，走上必然灭亡的道路。VonKluge将军指挥的德军向西进攻，开始时德军占领了海峡，但随之即被美军包围遭到了全军复灭，VonKluge本人在失败后自杀。

§8.2决决策问题人们在处理问问题时，常常常会面临几种种可能出现的的自然情况，，同时又存在在着几种可供供选择的行动动方案。此时时，需要决策策者根据已知信息息作决策，即即选择出最佳佳的行动方案案，这样的问问题称为决策策问题。面临的几种种自然情况叫叫做自然状态或简简称状态。状态是客观存在的的，是不可控控因素。可供供选择的行动动方案叫做策略，这是可控因因素，选择哪哪一方案由决决策者决定。。例8.8在开采石油时时，会遇到是是否在某处钻钻井的问题。。尽管勘探队队已作了大量量调研分析，，但由于地下下结构极为复复杂，仍无法法准确预测开开采的结果，，决策者可以以决定钻井，，也可以决定定不钻井。设设根据经验和和勘探资料，，决策者已掌掌握一定的信信息并列出表表8.7。表8.7000不钻井（2）

4020－30钻井（1）

P(3)=0.3

P(2)=0.5

P(1)=0.2

（亿元）高产油井（3）

一般（2）

无油（1）

自然状态概率

收益方案问：决策者应应如何作出决决策？解：由题意可以看出，决策问题应包含三方面信息：状态集合Q={1,…,n}、策略集合A={1,…,m}及收益R={aij}，其中aij表示如果决策者选取策略i而出现的状态为j，则决策者的收益值为aij（当aij为负值时表示损失值）。决策问题按自自然状态的不不同情况，常常被分为三种种类型：确定定型、风险型型（或随机型型）和不确定定型。确定型决策是是只存在一种可可能自然状态态的决策问题题。这种决策问问题的结构较较为简单，决决策者只需比比较各种方案案，确定哪一一方案最优即即可。值得一一提的是策略略集也可以是是无限集，例例如，线性规规划就可行看看成一个策略略集是限集的的确定型决策策，问题要求求决策者从可可行解集合（（策略集）中中挑选出最优优解。确定型型决策的求解解并非全是简简单的，但由由于这些问题题一般均有其其自己的专门门算法，本节节不准备再作作介绍。在本本节中，我们们主要讨论风风险型与不确确定型决策，，并介绍它们们的求解方法法。一、风险型决决策问题在风险型决策策问题中存在在着两种以上上可能出现的的自然状态。。决策者不知知道究竟会出出现哪一种状状态，但知道各种状状态出现的概概率有多大。例如，例8.8就是一一个风险型决决策问题。对于风险型决策问题，最常用的决策方法是期望值法，即根据各方案的期望收益或期望损失来评估各方案的优劣并据此作出决策。如对例1，分别求出方案1（钻井）和2（不钻井）的期望收益值：E（1）=0.2×（－30）+0.5×20+0.3×40=16（万元）E（2）=0由于E（1）＞E（2），选取1作为最佳策略。对于较为复杂杂的决策问题题，尤其是需需要作多阶段段决策的问题题，常采用较较直观的决策策树方法，但但从本质上讲讲，决策树方法仍然是一种期期望值法。例8.9某工程按正常常速度施工时时，若无坏天天气影响可确确保在30天天内按期完工工。但根据天天气预报，15天后天气气肯定变坏。。有40%的的可能会出现现阴雨天气而而不影响工期期，在50%的可能会遇遇到小风暴而而使工期推迟迟15天，另另有10%的的可能会遇到到大风暴而使使工期推迟20天。对于于可能出现的的情况，考虑虑两种方案：：（1）提前紧紧急加班，在在15天内完完成工程，实实施此方案需需增加开支18000元元。（2）先按正正常速度施工工，15天后后根据实际出出现的天气状状况再作决策策。如遇到阴雨天天气，则维持持正常速度，，不必支付额额外费用。如遇到小风暴暴，有两个备备选方案：（（i）维持正正常速度施工工，支付工程程延期损失费费20000元。（ii）采取应急急措施。实施施此应急措施施有三种可能能结果：有50%可能减减少误工期1天，支付应应急费用和延延期损失费共共24000元；有30%可能减少少误工期2天天，支付应急急费用和延期期损失费共18000元元；有20%可能减少误误工期3天，，支付应急费费用和延期损损失费共12000元。。如遇大风暴，，也有两个方方案可供选择择：（i）维维持正常速度度施工，支付付工程延期损损失费50000元。（（ii）采取取应急措施。。实施此应急急措施也有三三种可能结果果：有70%可能减少误误工期2天，，支付应急费费及误工费共共54000元；有20%可能减少少误工期3天天，支付应急急费及误工费费共46000元；有10%可能减减少误工期4天，支付应应急费和误工工费共38000元。根据上述情况况，试作出最最佳决策使支支付的额外费费用最少。解：由于未来来的天气状态态未知，但各各种天气状况况出现的概率率已知，本例例是一个风险险型决策问题题，所谓的额额外费用应理理解为期望值值。本例要求作多多次决策，工工程初期应决决定是按正常常速度施工还还是提前紧急急加班。如按按正常速度施施工，则15天后还需根根据天气状况况再作一次决决策，以决定定是否采取应应急措施，故故本例为多阶阶段（两阶段段）决策问题题。为便于分分析和决策，，采用决策树树方法。根据题意，作作决策树如图图8.6图8.6中，，□表示决策策点，从它分分出的分枝称称为方案分枝枝，分枝的数数目就是方案案的个数。○○表示机会节节点，从它分分出的分枝称称为概率分枝枝，一条概率率分枝对应一一条自然状态态并标有相应应的发生概率率。△称为未未梢节点，右右边的数字表表示相应的收收益值或损失失值。在决策树上由由右向左计算算各机会节点点处的期望值值，并将结果果标在节点旁旁。遇到决策策点则比较各各方案分枝的的效益期望值值以决定方案案的优劣，并并且用双线划划去淘汰掉的的方案分枝，，在决策点旁旁标上最佳方方案的效益期期望值，计算算步骤如下：：（1）在机会会节点E、F处计算它们们的效益期望望值E(E)=0.5×（－24000））＋0.3××（－18000）＋0.2×（－－12000）=－19800E(F)=0.7×（－54000））＋0.2××（－46000）＋0.1×（－－38000）=－50800（2）在第一一级决策点C、D处进行行比较，在C点处划去正正常速度分枝枝，在D处划划去应急分枝枝。（3）计算第第二级机会节节点B处的效效益期望值E(B)=0.4×0＋0.5×（－－19800）＋0.1×（－50000）=－14900并将－14900标在B点旁。（4）在第二二级决策点A处进行方案案比较，划去去提前紧急加加班，将－14900标标在A点旁。。结论最佳佳决策为前15天按正常常速度施工，，15天后按按实际出现的的天气状况再再作决定。如如出现阴雨天天气，仍维持持正常速度施施工；如出现现小风暴，则则采取应急措措施；如出现现大风暴，也也按正常速度度施工，整个个方案总损失失的期望值为为－14900元。根据期望值大大小决策是随随机型决策问问题最常用的的办法之一。。实际应用时时应根据具体体情况作出分分析，选取期期望收益最大大或期望损失失最小的方案案。二、不确定型型决策问题只知道有几种种可能自然状状态发生，但但各种自然状状态发生的概概率未知的决决策问题称为为不确定型决决策问题，由由于概率未知知，期望值方方法不能用于于这类决策问问题。下面结结合一个例子子，介绍几种种处理这类问问题的方法。。例8.10设设存在在五种可能的的自然状态，，其发生的概概率未知。有有四种可供选选择的行动方方案，相应的的收益值见表表8.7表8.866653415964387543266544154321自然状态方案（1）乐观法法（maxmax原则则）采用乐观法时，决策者意在追求最大可能收益。他先计算每一方案的最大收益值，再比较找出其中的最大者，并采取这一使最大收益最大的方案，在例8.10中，maxa1j=6，maxa2j=8，maxa3j=9，maxa4j=6，而max{6，8，9，6}=9，采取方案3。（2）悲观法法（maxmin原则则）采用悲观法时，决策者意在安全保险。他先求每一方案的最小收益,再比较找出其中的最大者，并采取这一使最小收益值最大化的方案。对于例8.10，mina1j=4，mina2j=3，mina3j=1，mina4j=3。因为max{4,3，1，3}=4,采取方案1。（3）乐观系系数法（Hurwicz决策准则））乐观系数法采采用折中的办办法，引入一一个参数t，0≤t≤1，称t为乐观系数。。作决策时，决策者先适当选取一个t的值；再对各方案1求出；最后再作比较，找出使最大的方案。在例8.10中，若取t=0.5，采用乐观系数法决策，将选取方案2。易见，t=1对应乐观法，而t=0则对应于悲观法。（4）等可能能法（Laplace准准则）由于不能估计各状态出现的概率，决策者认为它们相差不会过大。此时，决策者采用将各状态的概率取成相同值的办法把问题转化为风险型，并借用风险型问题的期望值法来决策。对于例8.10，如取各状态出现的概率均为0.2，用期望值法决策，将选取策略2。不难难看看出出，，对对于于不不确确定定型型决决策策问问题题，，不不论论采采用用什什么么方方法法决决策策，，最最终终采采用用的的策策略略都都不不能能称称为为最最佳佳策策略略。。事事实实上上，，采采取取什什么么方方法法决决策策与与决决策策者者的的心心理理状状态态有有关关。。而而且且，，即即使使对对同同一一决决策策者者，，在在处处理理不不同同决决策策问问题题时时也也可可能能采采取取不不同同的的方方法法。。例例如如，，在在决决定定购购买买几几元元钱钱一一张张的的对对奖奖券券时时，，决决策策者者也也许许会会采采用用乐乐观观法法。。因因为为几几元元钱钱的的损损失失对对他他来来讲讲是是无无所所谓谓的的事事，，小小额额奖奖金金他他也也许许看看不不上上眼眼，，要要中中就就来来个个大大奖奖。。但但是是，，在在决决策策购购买买何何种种股股票票时时，，因因为为关关系系重重大大，，也也许许他他为为了了保保险险又又会会采采取取悲悲观观法法。。同同而而，，不不确确定定型型问问题题的的决决策策充充其其量量只只能能算算是是在在决决策策者者某某种种心心理理状状态态下下的的选选优优。。要作出较较符合实实际情况况的决策策，还需需决策者者多作些些调查研研究，以以便对未未来自然然状态的的出现作作出较符符合客观观实际的的预测，，才能收收到较好好的效果果。§8.3层层次分析析法建模模层次分析析法是对对一些较为复杂杂、较为为模糊的问题作作出决策策的简易易方法，，它特别别适用于于那些难于完全全定量分分析的问题。。社会的的发展导导致了社社会结构构、经济济体系及及人们之之间相互互关系的的日益复复杂，人人们希望望能在错错综复杂杂的情况况下，利利用各种种信息，，通过理理智的、、科学的的分析，，作出最最佳决策策。例如如，生产产者面对对消费者者的各种种喜好或或竞争对对手的策策略要作作出最佳佳决策；；消费者者面对琳琳琅满目目的商品品要根据据它们的的性能质质量的好好坏、价价格的高高低、外外形的美美观程度度等选择择自己最最为满意意的商品品；毕业业生要根根据自己己的专业业特长、、社会的的需求情情况、福福利待遇遇的好坏坏等挑选选最为合合意的工工作；科科研单位位要根据据项目的的科学意意义和实实用价值值的大小小、项目目的可行行性、项项目的资资助情况况及周期期长短等等选择最最合适的的研究课课题………。当我我们面对对这类决决策问题题时，容容易发现现，影响响我们作作决策的的因素很很多，其其中某些因因素存存在定定量指指标，，可以以给以以度量量，但但也有有些因因素不不存在在定量量指标标，只只能定定性地地比较较它们们的强强弱。在处处理这这类比比较复复杂而而又比比较模模糊的的问题题时，，如何何尽可能能克服服因主主观臆臆断而而造成成的片片面性性，较较系统统、全全面地地比较较分析析并作作出较较为明明智的的决策策呢？Saaty.T.L等人人在70年年代提提出了了一种种以定性与与定量量相结结合，，系统统化、、层次次化分析问问题的的方法法，称称为层次分分析法法（AnalyticHiearchyProcess，，简称称AHP））。层层次分分析法法将人人们的的思维维过程程层次次化，，逐层层比较较其间间的相相关因因素并并逐层层检验验比较较结果果是否否合理理，从从而为为分析析决策策提供供了较较具说说服力力的定定量依依据，，层次次分析析法的的提出出不仅仅为处处理这这类问问题提提供了了一种种实用用的决决策方方法，，而且且也提提供了了一个个在处处理机机理比比较模模糊的的问题题时，，如何何通过过科学学分析析，在在系统统全面面分析析机理理及因因果关关系的的基础础上建建立数数学模模型的的范例例。一、层层次分分析的的基本本步骤骤层次分分析过过程可可分为为四个个基本本步骤骤：（（1））建立立层次次结构构模型型；（（2））构造造出各各层次次中的的所有有判断断矩阵阵；（（3））层次次单排排序及及一致致性检检验；；（4）层层次总总排序序及一一致性性检验验。下面通通过一一个简简单的的实例例来说说明各各步骤骤中所所做的的工作作。例8.13某工厂厂有一一笔企企业留留成利利润要要由厂厂领导导决定定如何何使用用。可可供选选择的的方案案有：：给职职工发发奖金金、扩扩建企企业的的福利利设施施（改改善企企业环环境、、改善善食堂堂等））和引引进新新技术术新设设备。。工厂厂领导导希望望知道道按怎怎样的的比例例来使使用这这笔资资金较较为合合理。。步1建建立层层次结结构模模型在用层层次分分析法法研究究问题题时，，首先先要根根据问问题的的因果果关系系并将将这些些关系系分解成成若干干个层层次。较简简单的的问题题通常常可分分解为为目标层层（最最高层层）、准则层层（中中间层层）和方案措措施层层（最最低层层）。与其他他决策策问题题一样样，研研究分分析者者不一一定是是决策策者，，不应应自作作主张张地作作出决决策。。对于于本例例，如如果分分析者者自行行决定定分配配比例例，厂厂领导导必定定会询询问为为什么么要按按此比比例分分配，，符合合决策策者要要求的的决策策来自自于对对决策策者意意图的的真实实了解解。经经过双双方沟沟通，，分析析者了了解到到如下下信息息：决决策者者的目目的是是合理理利用用企业业的留留成利利润，，而利利润的的利用用是否否合理理，决决策者者的主主要标标准为为：（（1））是否否有利利于调调动企企业职职工的的积极极性，，（2）是是否有有利于于提高高企业业的生生产能能力，，（3）是是否有有利于于改善善职工工的工工作、、生活活环境境。分分析者者可以以提出出自己己的看看法，，但标标准的的最终终确定定将由由决策策者决决定。。根据决决策者者的意意图，，可以以建立立起本本问题题的层层次结结构模模型如如图8.7所示示。合理利用企业利润调动职工积极性C1提高企业技术水平C2改善职工工作生活条件C3发奖金P1扩建福利事业P2引进新设备P3目标层O准则层C措施层P图中的的连线线反映映了因因素间间存在在的关关联关关系，，哪些些因素素存在在关联联关系系也应应由决决策者者决定定。对于因果关关系较为复复杂的问题题也可以引引进更多的的层次。例例如，在选选购电冰箱箱时，如以以质量、外外观、价格格、品牌及及信誉等为为准则，也也许在衡量量质量优劣劣时又可分分出若干个个不同的子子准则，如如制冷性能能、结霜情情况、耗电电量大小等等等。建立层次结结构模型是是进行层次次分析的基基础，它将将思维过程程结构化、、层次化，，为进一步步分析研究究创造了条条件。步2构构造判断矩矩阵层次结构反反映了因素素之间的关关系，例如如图10.7中目标标层利润利利用是否合合理可由准准则层中的的各准则反反映出来。。但准则层层中的各准准则在目标标衡量中所所占的比重重并不一定定相同，在在决策者的的心目中，，它们各占占有一定的的比例。在确定影响响某因素的的诸因子在在该因素中中所占的比比重时，遇遇到的主要要困难是这些比重常常常不易定定量化。虽然你必必须让决策策者根据经经验提供这这些数据，，但假如你你提出“调调动职工积积极性在判判断利润利利用是否合合理中占百百分之几的的比例”之之类的问题题，不仅会会让人感到到难以精确确回答，而而且还会使使人感到你你书生气十十足，不能能胜任这一一工作。此此外，当影影响某因素素的因子较较多时，直直接考虑各各因子对该该因素有多多大程度的的影响时，，常常会因因考虑不周周全、顾此此失彼而使使决策者提提出与他实实际认为的的重要性程程度不相一一致的数据据，甚至有有可能提出出一组隐含含矛盾的数数据。为看清这一一点，可作作如下设想想：将一块块重为1千千克的石块块砸成n小块，你可可以精确称称出它们的的质量，设设为w1,…,wn。现在，请请人估计这这n小块的重量量占总重量量的比例（（不能让他他知道各小小石块的重重量），此此人不仅很很难给出精精确的比值值，而且完完全可能因因顾此失彼彼而提供彼彼此矛盾的的数据。设现在要比较n个因子X={x1,…,xn}对某因素Z的影响大小，怎样比较才能提供可信的数据呢？Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子xi和xj，以aij表示xi和xj对Z的影响大小之比，全部比较结果用矩阵A=(aij)n×n表示，称A为Z－X之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若xi和xj对Z的影响之比为aij，则xj和xi对Z的影响之比应为。定义8.4若矩阵A=(aij)n×n满足（i）aij>0，（ii）（i,j=1,2,…,n），则称之为正互反矩阵（易见aii=1,i=1,…,n）。关于如何确确定aij的值，Saaty等等建议引用用数字1~9及其其倒数作为标度。。他们认为为，人们在在成对比较较差别时，，用5种判判断级较为为合适。即即使用相等等、较强、、强、很强强、绝对地地强表示差差别程度，，aij相应地取1,3,5,7和9。在成对对事物的差差别介于两两者之间难难以定夺时时，aij可分别取值值2、4、、6、8。。从心理学观观点来看，，分级太多多会超越人人们的判断断能力，既既增加了作作判断的难难度，又容容易因此而而提供虚假假数据。Saaty等人还用用实验方法法比较了在在各种不同同标度下人人们判断结结果的正确确性，实验验结果也表表明，采用用1~9标标度最为合合适。如果在构造造成对比较较判断矩阵阵时，确实实感到仅用用1~9及及其倒数还还不够理想想时，可以以根据情况况再采用因因子分解聚聚类的方法法，先比较较类，再比比较每一类类中的元素素。步3层层次单单排序及及一致性性检验上述构造造成对比比较判断断矩阵的的办法虽虽能减少少其他因因素的干干扰影响响，较客客观地反反映出一一对因子子影响力力的差别别。但综综合全部部比较结结果时，，其中难难免包含含一定程程度的非非一致性性。如果果比较结结果是前前后完全全一致的的，则矩矩阵A的的元素还还应当满满足：

i、j、k=1,2,…,n

定义8.5满满足（（8.5）关系系式的正正互反矩矩阵称为为一致矩矩阵。如前所述，如果判断者前后完全一致，则构造出的成对比较判断矩阵应当是一个一致矩阵。但构造成对比较判断矩阵A共计要作次比较（设有n个因素要两两比较），保证A是正互反矩阵是较容易办到的，但要求所有比较结果严格满足一致性，在n较大时几乎可以说是无法办到的，其中多少带有一定程度的非一致性。更何况比较时采用了1~9标度，已经接受了一定程度的误差，就不应再要求最终判断矩阵的严格一致性。如何检验构造出来的（正互反）判断矩阵A是否严重地非一致，以便确定是否接受A，并用它作为进一步分析研究的工具？Saaty等人在研究正互反矩阵和一致矩阵性质的基础上，找到了解决这一困难的办法，给出了确定矩阵A中的非一致性是否可以允忍的检验方法。定理8.7正互反矩矩阵A的的最大特特征根λλmax必为正实实数，其其对应特特征向量量的所有有分量均均为正实实数。A的其余余特征根根的模均均严格小小于λmax。（证明明从略））现在来考察一致矩阵A的性质，回复到将单位重量的大石块剖分成重量为

1,…,n的n块小石块的例子，如果判断者的判断结果完全一致，则构造出来的一致矩阵为容易看出出，一致致矩阵A具有以以下性质质：根据定理理8.9，我们们可以由由λmax是否等于于n来检验判判断矩阵阵A是否否为一致致矩阵。。由于特特征根连连续地依依赖于aij，故λmax比n大得越多多，A的的非一致致性程度度也就越越为严重重，λmax对应的标标准化特特征向量量也就越越不能真真实地反反映出X={x1,…,xn}在对因因素Z的的影响中中所占的的比重。。因此，，对决策策者提供供的判断断矩阵有有必要作作一次一一致性检检验，以以决定是是否能接接受它。。为确定多多大程度度的非一一致性是是可以允允忍的，，Saaty等等人采用用了如下下办法：：（1）求出，称CI为A的一致性指标。容易看出出，当且且仅当A为一致致矩阵时时，CI=0。。CI的值越大大，A的的非一致致性越严严重。利用线性性代数知知识可以以证明，，A的n个特征根根之和等等于其对对角线元元素之和和（即n）故CI事实上是是A的除除λmax以外其余余n－1个特特征根的的平均值值的绝对对值。若若A是一一致矩阵阵，其余余n－1个特特征根均均为零，，故CI=0；否否则，CI>0，其其值随A非一致致性程度度的加重重而连续续地增大大。当CI略大于零零时（对对应地，，λmax稍大于n），A具具有较为为满意的的一致性性；否则则，A的的一致性性就较差差。（2）上面定义的CI值虽然能反映出非一致性的严重程度，但仍未能指明该非一致性是否应当被认为是可以允许的。事实上，我们还需要一个度量标准。为此，Saaty等人又研究了他们认为最不一致的矩阵——用从1~9及其倒数中随机抽取的数字构造的正互反矩阵，取充分大的子样，求得最大特征根的平均值，并定义称RI为平均随机机一致性性指标。对n=1,……,11,，Saaty给出出了RI的值，如如表8.10所所示。表8.10N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51（3）将将CI与RI作比较，，定义称CR随机一致性比率。经大量实例比较，Saaty认为，在CR<0.10时可以认为判断矩阵具有较为满意的一致性，否则就应当重新调整判断矩阵，直至具有满意的一致性为止。综上所述，在步3中应先求出A的最大特征根λmax及λmax对应的特征向量W=（w1,…,wn）T，进行标准化，使得。再对A作一致性检验：计算，查表得到对应于n的RI值，求，若CR<0.1，则一致性较为满意，以i作为因子xi在上层因子Z中所具有的权值。否则必需重新作比较，修正A中的元素。只有在一致性较为满意时，W的分量才可用作层次单排序的权重。现对本节节例8.13（（即合理理利用利利润问题题的例子子）进行行层次单单排序。。为求出C1、C2、C3在目标层层A中所所占的权权值，构构造O－C层的成对对比较矩矩阵，设设构造出出的成对对比较判判断知阵阵A=311153C1C2C3C1C2C30于是经计计算，A的最大大特征根根λmax=3.038，，CI=0.019，，查表得得RI=0.58，，故CR=0