2023年安徽省合肥市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2023年安徽省合肥市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.微分方程(y)2＋(y)3＋sinx=0的阶数为

A.1B.2C.3D.4

2.设函数f(x)在(0，1)内可导，f'(x)>0，则f(x)在(0，1)内（）A.A.单调减少B.单调增加C.为常量D.不为常量，也不单调

3.

4.A.A.2xy3

B.2xy3-1

C.2xy3-siny

D.2xy3-siny-1

5.

6.

7.

8.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，则在(0，1)内曲线y=f(x)的所有切线中()．A.A.至少有一条平行于x轴B.至少有一条平行于y轴C.没有一条平行于x轴D.可能有一条平行于y轴

9.已知函数f(x)的定义域是[一1，1]，则f(x一1)的定义域为()。

A.[一1，1]B.[0，2]C.[0，1]D.[1，2]

10.

11.

12.设函数y=f(x)二阶可导，且f(x)<0，f(x)<0，又△y=f(x＋△x)-f(x)，dy=f(x)△x，则当△x>0时，有()A.△y>dy>0

B.△<dy<0

C.dy>Ay>0

D.dy<△y<0

13.

14.A.A.仅为x=+1B.仅为x=0C.仅为x=-1D.为x=0，±1

15.设f(x)在点x0处取得极值，则()

A.f"(x0)不存在或f"(x0)=0

B.f"(x0)必定不存在

C.f"(x0)必定存在且f"(x0)=0

D.f"(x0)必定存在，不一定为零

16.

17.

18.等于()A.A.

B.

C.

D.

19.A.A.sin(x－1)＋C

B.－sin(x－1)＋C

C.sinx＋C&nbsbr;

D.－sinx＋C

20.设函数f(x)=COS2x，则f′(x)=()．

A.2sin2x

B.-2sin2x

C.sin2x

D.-sin2x

二、填空题(20题)21.微分方程xy'=1的通解是_________。

22.设y=f(x)在点x=0处可导，且x=0为f(x)的极值点，则f(0)=__________

23.

24.

25.

26.

27.

28.设y=sin2x，则dy=______．

29.过点(1，-1，0)且与直线平行的直线方程为______。

30.

31.

32.

33.

34.幂级数的收敛半径为______．

35.

36.微分方程y'=ex的通解是________。

37.

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

42.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

43.

44.证明：

45.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

46.

47.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

48.

49.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

50.

51.求微分方程的通解．

52.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

53.

54.

55.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

56.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

57.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

58.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

59.

60.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

四、解答题(10题)61.

62.

63.

64.求微分方程y"-y'-2y=ex的通解。

65.设

66.计算

67.

68.

69.

70.

五、高等数学(0题)71.

________.

六、解答题(0题)72.证明：当时，sinx+tanx≥2x．

参考答案

1.B

2.B由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)内单调增加．因此选B．

3.B

4.A

5.C解析：

6.A解析：

7.D解析：

8.A本题考查的知识点有两个：罗尔中值定理；导数的几何意义．

由题设条件可知f(x)在[0，1]上满足罗尔中值定理，因此至少存在一点ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=0．这表明曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线必定平行于x轴，可知A正确，C不正确．

如果曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线平行于y轴，其中ξ∈(0，1)，这条切线的斜率为∞，这表明f'(ξ)=∞为无穷大，此时说明f(x)在点x=ξ不可导．因此可知B，D都不正确．

本题对照几何图形易于找出解答，只需依题设条件，画出一条曲线，则可以知道应该选A．

有些考生选B，D，这是由于不明确导数的几何意义而导致的错误．

9.B∵一1≤x一1≤1∴0≤x≤2。

10.A解析：

11.D

12.B

13.B

14.C

15.A若点x0为f(x)的极值点，可能为两种情形之一：(1)若f(x)在点x0处可导，由极值的必要条件可知f"(x0)=0；(2)如f(x)=|x|在点x=0处取得极小值，但f(x)=|x|在点x=0处不可导，这表明在极值点处，函数可能不可导。故选A。

16.B解析：

17.C

18.C本题考查的知识点为不定积分基本公式．

由于

可知应选C．

19.A本题考查的知识点为不定积分运算．

可知应选A．

20.B由复合函数求导法则，可得

故选B．

21.y=lnx+C

22.

23.x2x+3x+C本题考查了不定积分的知识点。

24.ln(1+x)本题考查的知识点为可变上限积分求导．

25.x2+y2=Cx2+y2=C解析：

26.x

27.本题考查的知识点为：求解可分离变量的微分方程．

28.2cos2xdx这类问题通常有两种解法．

解法1利用公式dy=y'dx，先求y'，由于y'=cos2x·(2x)'2cos2x，

因此dy=2cos2xdx．

解法2利用微分运算公式

dy=d(sin2x)=cos2x·d(2x)=2cos2xdx．

29.本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系。由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，-1)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为

30.

31.

32.2x-4y+8z-7=0

33.1

34.

；

35.本题考查的知识点为平面方程和平面与直线的关系．由于已知直线与所求平面垂直，可知所给直线的方向向量s平行于所求平面的法向量n．由于s=(2，1，一3)，因此可取n=(2，1，－3)．由于平面过原点，由平面的点法式方程，可知所求平面方程为2x+y一3z=0．

36.v=ex+C

37.-ln｜3-x｜+C

38.

39.

40.[01)∪(1+∞)

41.

42.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

43.

44.

45.由等价无穷小量的定义可知

46.

47.

列表：

说明

48.

49.

50.

则

51.

52.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

53.

54.

55.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

56.

57.

58.函数的定义域为

注意

59.由一阶线性微分方程通解公式有

60.由二重积分物理意义知

61.

62.

63.【解析】本题考查的知识