22.3实际问题与二次函数 九年级上册人教版数学教学课件

九年级上册RJ初中数学22.3实际问题与二次函数第1课时写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.(1)

y=x2-4x-5；(配方法)(2)y=-x2-3x+4.(公式法)解：(1)y=x2-4x-5=x2-4x+4-9=(x-2)2-9.开口方向：向上；对称轴：x=2；顶点坐标：(2，-9)；最小值：-9.

知识回顾1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.学习目标问题从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？t/sh/mO1234562040h=30t-5t2课堂导入？?最高点(顶点)解法一：配方法∴t=3时，hmax=45.所以小球运动时间为3s时，小球最高，小球运动中

的最大高度为45m.∵h=30t-5t2=-5(t2-6t)=-5(t-3)2+45，解法二：公式法所以小球运动时间为3s时，小球最高，小球运动中

的最大高度为45m.∵h=30t-5t2新知探究

一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y=ax2

+

bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说当时，二次函数

y=ax2

+

bx+c有最小（大）值.知识点例1

用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？即S=-l2+30l(0<l<30).S=l(30-l),解：根据题意得

也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.矩形周长为60m一边长为lm,另一边长为(30-l)m例2

如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽分别为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少?解：根据题意设矩形菜园平行于墙的一边长为lm，菜园的面积为Sm2，

因为0<l≤18，所以l=18时，S取得最大值，即当矩形的长为21m，宽是18m时，菜园的面积最大，最大面积为378m2.

当l<30时，S随l

的增大而增大，注意：实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围进行分析.通过前两道例题的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能结合实际问题，判断何时在顶点处取最值.、何时在端点处取最值.用二次函数解决实际问题的一般步骤：1.审：仔细审题，厘清题意.2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数.3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式.4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题.5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内.

在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC

两边)，设AB=xm，花园面积为Sm2.(1)求S

与x

之间的函数关系式；(2)当x

为何值时，S有最大值？请求出最大值.解：(1)由题意得AD=(28-x)m，则S=x(28-x)=-x2+28x(0<x<28).(2)因为S=-x2+28x=-(x-14)2+196，所以当x=14时，S有最大值，最大值是196.跟踪训练新知探究1.已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边分别为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？

随堂练习2.如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的一边AB的长为xm，面积为Sm2.(1)求S

与x

之间的函数关系式及自变量x

的取值范围；

解：(2)∵S=-4x2+24x=-4(x-3)2+36，∴当x=3时，S最大值=36.

2.如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的一边AB的长为xm，面积为Sm2.(2)当x

取何值时，围成的花圃面积最大，最大面积是多少？答：当x取3时围成的花圃面积最大，最大面积是36m2．解：(3)∵0<24-4x≤8，∴4≤x<6，由(2)知，当x>3时，S随x的增大而减小，∴当x=4时，S取得最大值，且S最大值=32.答：当x取4时所围成的花圃面积最大，最大面积是32m2．2.如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的一边AB的长为xm，面积为Sm2.(3)若墙的最大可用长度为8m，则花圃的最大面积是多少？3.如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF

与GH

将矩形ABCD分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长80m的篱笆，当围成的花圃ABCD

的面积ym2最大时，AB的长为

m.

3.如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF

与GH

将矩形ABCD分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长80m的篱笆，当围成的花圃ABCD

的面积ym2最大时，AB的长为

m.15几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依据最值有时不在顶点处，需要利用函数的增减性来确定课堂小结1.在一个腰长为10cm

的等腰直角三角形的内部截一个矩形ABCD，使三角形的直角为矩形的一个内角，则矩形ABCD

面积的最大值是

.25cm2解：∵三角形AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE=10cm，∠E=∠F=45°.∵ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∠CDE=90°，∴∠ECD=45°，∴ED=CD.设AD=xcm，矩形面积为ycm2，∴ED=CD=(10-x）cm，y=x(10-x)=-x2+10x=-(x-5)2+25，∴当x=5时，y取最大值为25．对接中考

2.有一条长7.2m的木料，做成如图所示的“日”字形的窗框，窗框的高和宽各取多少米时，这个窗的面积最大？(不考虑木料加工时的损耗和中间木框所占的面积)3.如图，在足够大的空地上有一段长为a

m的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN.已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100m木栏.(1)若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450m2，求所利用旧墙AD

的长；解：(1)设AB=t

m，则BC=(100-2t)m，根据题意得t(100-2t)=450，解得t1=5，t2=45，当t=5时，100-2t=90＞20，不合题意，舍去；当t=45时，100-2t=10.答：AD的长为10

m.

3.如图，在足够大的空地上有一段长为am的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN.已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100m木栏.(2)求矩形菜园ABCD

面积的最大值.22.3实际问题与二次函数九年级上册RJ初中数学第2课时知识回顾

一般地，当a>0，抛物线y=ax2+bx+c有最低点，二次函数y=ax2+bx+c有最小值，即当时，.当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c有最高点，二次函数y=ax2+bx+c有最大值，即当时，.求函数最值问题的方法有：公式法和配方法，但注意实际问题自变量的取值范围，有必要时结合函数的增减性来求最值.1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.2.弄清商品销售问题中的数量关系及自变量的取值范围.

学习目标销售问题中的数量关系：(1)销售额=售价×销售量；(2)单件利润=售价-进价；(3)利润=销售额-总成本=单件利润×销售量.课堂导入探究某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？销售模式：降价或涨价都可以哦！新知探究探究某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？模式一：涨价销售①每件涨价x元，每星期售出商品的利润

y元，则每件商品的利润为(20+x)元，每星期卖出(300-10x)件，所得的利润为y=(20+x)(300-10x),即y=-10x2+100x+6000.知识点②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，销量不能为负，故300-10x≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤30.③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+100x+6000，

即定价为65元时，最大利润是6250元.探究某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？模式二：降价销售①每件降价x元，每星期售出商品的利润

y元，则每件商品的利润为(20-x)元，每星期卖出(300+20x)件，所得的利润为y=(20-x)(300+20x),即y=-20x2+100x+6000.②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此售价不能低于成本，故20-x≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤20.③涨价多少元时，利润最大，是多少？

求解最大利润问题的一般步骤：(1)建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”.(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围.(3)在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式法求出最大利润，也可以画出函数的图象，利用图象的性质求出.例为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业.王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房.根据合作社提供的房间单价x(元)和游客居住房间数y(间)的信息，乐乐绘制出y

与x

的函数图象如图所示.(1)求y

与x

之间的函数关系式.

(70,75)(80,70)(2)合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需要支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？(2)设合作社每天获得的利润为w元，由(1)可知游客居住房间数为y=-0.5x+110,

则w=x(-0.5x+110)-20(-0.5x+110)=-0.5x2+120x-2200=-0.5(x-120)2+5000.因为60≤x≤150，所以当x=120时，w取得最大值，此时w=5000，故当房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售价格为25元/件时，每天的销售量为250件，销售价格每上涨1元，每天的销售量就减少10件.(1)请你写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w元与销售价格x元/件之间的函数关系式；解：(1)w=(x-20)[250-10(x-25)]

=-10x2+700x-10000.新知探究跟踪训练某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售价格为25元/件时，每天的销售量为250件，销售价格每上涨1元，每天的销售量就减少10件.(2)销售价格为多少时，每天的销售利润最大？解：(2)w=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250(0≤x≤50)，故当x=35时，w有最大值2250.即销售价格为35元/件时，每天的销售利润最大.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售价格为25元/件时，每天的销售量为250件，销售价格每上涨1元，每天的销售量就减少10件.(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案.方案A：该文具的销售价格高于进价且不超过30元/件.方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元.请通过计算说明哪种方案的最大利润更高.解：(3)方案A：由题意得w=-10(x-35)2+2250(20<x≤30).因为-10<0，抛物线的对称轴为直线x=35，所以抛物线开口向下，在对称轴的左侧，w随x的增大而增大，所以当x=30时，w取最大值2000.当对称轴不在定义域内时，则要结合函数图象的增减性来求最值.

1.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x

元出售，可卖出(100-x)件，应该如何定价才能使利润最大？解：设最大利润为w元则w=(x-30)(100-x)=-(x-65)2+1225，∵30≤x≤100，∴当x=65时，二次函数有最大值1225，∴定价是65元时，利润最大．随堂练习最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取值范围涨价：要保证销售量≥0；降价：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式法求最大值或利用函数图象和性质求出.课堂小结（2020•鄂州中考）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x/（元/件）456y/件1000095009000（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；对接中考解:(1)设y与x的函数关系式为y＝kx+b(k≠0),∴y＝﹣500x+12000；（2020•鄂州中考）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x/（元/件）456y/件1000095009000（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？解：(2)由题意得解得3≤x≤12.解：（2）设利润为w元，根据题意得，w＝(x-3)y＝(x-3)(-500x+12000)＝-500x2+13500x-36000＝-500(x-13.5)2+55125，∵﹣500＜0，∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大.∵3≤x≤12，∴当x＝12时，w取最大值-500×(12-13.5)2+55125＝54000.答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元.（2020•鄂州中考）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x/（元/件）456y/件1000095009000（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．解：(3)根据题意得，w＝(x-3-m)(-500x+12000)

＝-500x2+(13500+500m)x-36000-12000m，∵﹣500＜0，∴当x≤13.5+0.5m时，w随x的增大而增大.∵捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．∴15≤13.5+0.5m，解得，m≥3.∵1≤m≤6，∴3≤m≤6．22.3实际问题与二次函数九年级上册RJ初中数学第3课时知识回顾利用函数解决实际问题的一般步骤：一建：选取适当的点建立直角坐标系.二设：设自变量和因变量.三找：找函数关系.四列：列出函数关系式.五解：根据题意进行解答.六答：根据题目要求进行作答.1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．学习目标课堂导入探究

图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2

m时，水面宽4

m．水面下降1

m，水面宽度增加多少？1m水面下降1m，水面的宽度怎么计算呢？图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽

4m．水面下降1m，水面宽度增加多少？分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以拋物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为

y

轴建立直角坐标系(如图）．知识点1新知探究

除了这种建坐标系的方式外，还有其他建坐标系的方式吗？xyO①P(2,2)A(4,0)M

xyO②P(-2,2)B(-4,0)

MxOP(0,2)A(2,0)

③xyOA(2,-2)

M解决桥拱形状为抛物线形的实际问题时，一般分为以下四个步骤：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标；(3)恰当选用二次函数的解析式形式，用待定系数法求出抛物线的解析式;(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解.注意：同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式.通常应使已知点在坐标轴上.解：(1)答案不唯一.如以AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点建立平面直角坐标系xOy，如图所示，则A(-4,0)，B(4,0)，C(0,6).设这条抛物线的解析式为y=a(x-4)(x+4).本题源于《教材帮》一条单车道的抛物线形隧道如图所示.隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C

到公路的距离为6m.(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；跟踪训练新知探究

本题源于《教材帮》一条单车道的抛物线形隧道如图所示.隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C

到公路的距离为6m.(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；跟踪训练新知探究

一条单车道的抛物线形隧道如图所示.隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C

到公路的距离为6m.(2)现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m.为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道.2m4.4m

知识点2新知探究（0,1）1.55m5m

知识点2新知探究（0,1）1.55m5m

1.如图，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽度为10m.(1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；随堂练习

关于此类问题的解题技巧详见初中《教材帮》数学RJ九上22.3节方法帮.如图，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽度为10m.(2)若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开