初中数学北师大九年级下册（2023年新编） 二次函数2二次函数y=ax2的图象和性质

1、.二22次函数y=ax2的图象和性质【教学目标】知识与技能1.能够利用描点法作出函数y=x2的图象,能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.猜想并能作出y=-x2的图象,能比较它与y=x2的图象的异同.过程与方法经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验.情感态度与价值观在利用图象讨论二次函数的性质时,让学生尽可能多地合作交流,以便使学生能够从多个角度看问题,进而比较准确地理解二次函数的性质.【重点难点】重点:1.利用描点法作出函数y=x2的图象,根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能够作出二次函数y=-x2的图象,并能比较它与y=x2的

2、图象的异同.难点:经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验.并把这种经验运用于研究二次函数y=-x2的图象与性质方面,实现“探索经验运用”的思维过程.【教学过程】一、创设情境一次函数的性质是如何研究的?我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以,应先研究什么?二、探索归纳(一)抛物线及相关概念用描点法画二次函数y=x2的图象.解:(1)列表:自变量x可以是任何实数,x的互为相反数的两个值对应的函数值相等,以0为中心,取几个自变量的整数值,并求出y值.x-3-2-10123y9410149(2)用表里x、y对应值作为点的横纵坐标,在坐

3、标平面中描点.(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.提问:观察这个函数的图象,它有什么特点?提示:类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线,只是开口向上,这样的曲线叫做抛物线.实际上,二次函数的图象都是抛物线,它们的开口向上或向下.二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.顶点:抛物线与它的对称轴的交点,是抛物线的最高点或最低点.(二)探索y=ax2的性质1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2与y=-x2的图象,观察并比较两个图象,你发现有什么共同点?又有什么区别?2.在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=-2x2的图象,观察

4、并比较这两个函数的图象,你能发现什么?3.将所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么?(三)归纳概括由具体函数y=x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2的图象的共同特点,猜想:函数y=ax2的图象是一条_,它关于_对称,它的顶点坐标是_. |a|越大,抛物线的开口越小.问题:如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质,应如何分类?为什么?当a0时,抛物线y=ax2开口_,在对称轴的左边,曲线自左向右_ _;在对称轴的右边,曲线自左向右_,_是抛物线上位置最低的点.当a0时,开口向上;当a0,即m-2.只能取m=2.这个最低点为抛物线的顶点,其坐标为(0,0),当x0时,y随x的增大而增大.若函数有最大值,则抛物线开口向下,m+20,即m0时,y随x的增大而减小.四、检测反馈1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并分别写出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标:y=3x2;y=-3x2;y=13x2.2.抛物线y=4x2的开口方向_,对称轴是_,顶点坐标是_;抛物线y=-4x2的开口方向_,对称轴是_,顶点坐标是_.3.已知等边三角形的边长是2x,请将此三角形的面积S表示成x的函数,并画出此函数的图象.五、课堂小结1.如何画出函数y=ax2的图象?2.函数y=ax2具有哪些性质?3.抛物线y=ax2与y=-a