《高等数学》全册教案教学设计

1、高等数学电子教案完整版1. 1 函数的概念教学目标：（1）掌握函数的概念，分段函数的概念.会求解函数的定义域以及值域；（2）领会函数的两个要素，掌握判断两个函数是否相同的方法；（3）了解显函数与隐函数.教学重点：函数的概念，函数的定义域，分段函数的概念.教学难点：如何求解函数的定义域.授课时数： 2课时.教学过程过程备注1.1.1函数的概念：观察现实世界中存在着各种各样不停地变化着的量, 它们之间相互依赖、相互联系.比如，速度与时间的关系，存款的收益与时间，存款的收益与利率，三角形的面积与其高和底的关系等.我们使用函数来抽象出各个变量之间的依赖关系.函数既是微积分研究的基本对象, 也是高等数学

2、中最重要的概念之一.导入教学内容10新知识函数的定义：设某一变化过程有两个变量和，和是给定的两个数集，如果对任一，按照一定对应法则，在中都有唯一确定的与之对应，则称是的函数，记作其中，称为自变量，称为因变量，为定义域，为值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的.因此，定义域和对应法则是决定函数的两个重要因素.两个函数只有在它们的定义域和对应法则都相同时，才被认为是相同的函数.教师讲授18知识巩固例 下列各对函数是否相同？为什么？，;，;，.解 (1)因为定义域不同,故不是同一函数;(2)因为对应法则不同,故不是同一函数;(3)相同函数.教师讲授25练习下列各对函数是否相同？为什么？，;，.解

3、(1)因为定义域不同,故不是同一函数;(2)相同函数.学生课上完成，教师讲评30观察有些变化过程我们无法使用单一的表达式来表述.比如物体在某一个时间点改变了加速度，那么如何表述该过程呢？导入教学内容35新知识为了描述函数在不同的标量取值时有不同的关系，我们引入了分段函数的概念.分段函数就是对于自变量不同的取值范围，用不同的分析式进行分段的表示的函数.教师讲授40知识巩固例 绘制出绝对值函数的图像：分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集.如，绝对值函数的定义域为.教师引领完成451.1.2 函数的定义域观察在不同函数的表达式中，自变量的一些取值会使得函数表达式没有意义，因此，对于自变量的取值

4、范围进行一些限制是非常有必要的.导入教学内容50新知识函数的定义域是指函数的自变量所有可能取到的值的集合，在没有特殊说明的情况下，函数的定义域一般是由其表达式的限制所确定，比如说分母不能够等于0，二次根号下的值不能够小于零等.对于分段函数来说，其定义域就是各段自变量取值集合的并集.我们有如下的常见的函数定义域的求法：常见函数定义域的求法函数定义域、教师讲授60知识巩固例 确定下列函数的定义域.(1); (2);(3);(4).解 (1) ; ; .教师讲授70知识巩固练习 确定下列函数的定义域.(1); (2).解 (1);(2).学生完成801.1.3显函数与隐函数观察自变量与因变量已经明显

5、分离的函数称为“显函数”.如果函数的变量没有明显分离或无法分离，也即这种函数的函数关系“隐藏”在方程之中的函数称为“隐函数”.教师讲授83新知识显函数与隐函数的表示形式如下：显函数：隐函数：例如称为显函数,称为隐函数.教师讲授88小结概念 概念函数的概念函数的概念函数的定义域函数的定义域显函数与隐函数显函数与隐函数教师总结90作业 1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题一对应内容.1.2 函数的几种特性教学目标：（1）掌握判断函数奇偶性的方法；（2）了解函数有界性的概念；（3）掌握判断函数单调性的方法；（4）会求解简单的周期函数的周期.教学重点：函数的奇偶性，单调性的求解方法.教学难点：判断

6、函数的奇偶性.授课时数： 2课时教学过程过程备注1.2.1函数的有界性观察函数的有界性是主要是用来揭示函数的变化范围，我们遇到的很多函数的变化范围始终是介于某个最大值和最小值之间，比如这样的函数我们称其是有界的.教师草绘图像，引导学生观察5新知识函数的有界性有如下定义：对于定义在定义域内的函数，如果存在一个正数，使得对于定义域内的所有，都有成立，则称在定义域内有界.如果不存在这样的，则称在定义域内无界.教师结合草绘的图像讲解10知识巩固常见的有界函数：注意的取值不是唯一的有界性是依赖于区间的教师引领完成并总结151.2.2函数的奇偶性概念：观察在我们的之前的学习中，我们可以发现有些比较特殊的函

7、数，比如,等等.这些函数关于轴或者坐标原点有一些对称关系，我们称关于轴对称的函数为偶函数，关于坐标原点对称的函数为奇函数，本节我们就将来介绍函数的奇偶性.教师草绘图像并讲解20新知识设函数定义在以原点为中心的对称区间内，如果对于任意，都有=成立，则称是奇函数，如；如果对于任意，都有=成立，则称是偶函数，如.奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于轴对称.注意：奇+奇=奇; 2.偶+偶=偶; 3.奇+偶=非; 奇*奇=偶; 5.偶*偶=偶; 6.奇*偶=奇;奇复奇=奇; 8.偶复偶=偶; 9.奇复偶=偶;奇函数的导数=偶函数; 11.偶函数的导数=奇函数.教师讲授40知识巩固例 讨论的奇偶性解 为

8、奇函数，为偶函数例 试讨论的奇偶性解 ，当为奇数时为奇函数，为偶数时为偶函数.教师引领完成45例 （1）是奇函数;（2）为非奇非偶函数;（3）是偶函数.例 证明是奇函数证 设,故函数是奇函数学生课上完成,教师讲评601.2.3函数的单调性概念：观察我们可以发现，某些变化过程是一直增加或者一直减少的，为了研究这样的变化过程我们引入了函数单调性的概念，接下来我们介绍函数的单调性.教师讲授62新知识设函数定义在区间内，,若时有,则称在内单调递增，图像上升；若时有,则称在内单调递减，图像下降.教师讲授65知识巩固用定义法证明在内单调递增.证：设且则 , 即在内单调递增.注意：1.在整个区间上单调递增或

9、单调递减的函数称为单调函数；2.判断函数单调性的方法通常有图像法、定义法、判定定理法.教师引导学生完成并讲解701.2.4函数的周期性概念：观察观察，以及的图像我们可以发现，他们的图像每经过一个固定的周期就重复一次,这样的周期变化的现象在现实生活中也比较多见，比如月亮的阴晴圆缺，太阳的升起落下等等，为了研究这种周期变化的过程，我们引入了周期函数的概念.教师讲授73新知识对于函数，如果存在一个非零常数,对于定义域内的所有,都有,则称为周期函数，使等式成立的最小正数称为函数的周期.1.，；2.，；3.若、的周期均为，则的周期也为；4.若、的周期分别为、，则的周期为和的最小公倍数.教师讲授80知识巩

10、固例. (1)， 解 ；， 解 .教师引导学生完成并总结82练习例 求以下函数的周期：（1）; （2）.解 （1）; （2）. 学生课上完成，教师讲解并总结85小结教师总结90作业 1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题一对应内容.1.3 反函数与基本初等函数教学目标：（1）理解反函数的概念，掌握常见的反三角函数及其定义域与值域，会求解简单的函数的反函数；（2）掌握基本初等函数及其性质；（3）掌握函数的复合运算的方法.教学重点：（1）求解简单的反函数；（2）掌握常见的反三角函数及其定义域与值域；（3）掌握基本初等函数的性质.教学难点：（1）求解简单的反函数，基本初等函数的性质.授课时数： 2

11、课时教学过程过程备注1.3.1反函数观察经过前面的学习，我们知道，函数就是揭示自变量和因变量之间关系的表达式，我们已经掌握了由自变量求因变量的方法，那么如何根据因变量来求自变量呢？这就是我们这一节需要学习的内容，反函数.教师导入新知识3新知识设函数的定义域是,值域是,如果对于任意一个，都有唯一的使得成立,这时也是的函数,称它为的反函数,记作,而称为直接函数.习惯上常用表示自变量,表示因变量,因此,经常把反函数写成.1.反函数的定义域是直接函数的值域,反函数的值域是直接函数的定义域；2.单调函数必存在反函数；3.函数与其反函数是互为反函数的关系，且图像关于直线对称.4. 求反函数的步骤： = 1

12、 * GB3 解出 = 2 * GB3 互换、 = 3 * GB3 写出定义域教师讲授15知识巩固例 求函数的反函数.解 由解得,互换和,得函数的反函数为.教师引导完成201.3.2反三角函数观察在高等数学的三角函数中，我们是通过角度值来求对应的三角函数值，但是如何通过三角函数值来求对应的角度值呢？这就用到了反三角函数，反三角函数是高等数学中最常见，最常用到的反函数.教师讲授23新知识正弦函数在区间上的反函数称为反正弦函数,记作.定义域为,值域为,为奇函数.余弦函数在区间上的反函数称为反余弦函数,记作.定义域为,值域为,为非奇非偶函数.正切函数在区间上的反函数称为反正切函数, 记作.定义域为,

13、值域为,为奇函数.余切函数在区间上的反函数称为反余切函数, 记作.定义域为,值域为,为非奇非偶函数.名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数符号定义域值域(主值区间)有界性有界有界有界有界单调性单调递增单调递减单调递增单调递减奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数非奇非偶函数教师讲授并总结45知识巩固例 求下列反三角函数的值.（1）;（2）;（3）；（4）.解 （1）因为，且，所以；因为，且，所以；因为，且，所以;因为，且，所以.教师引导学生完成50练习求下列反三角函数的值.（1）；（2）.解 （1）因为=，且，所以；（2）因为，且，所以.学生课堂完成，教师讲解551.3.3基本初等函数观察回顾之

14、前学到的一些函数，我们可以发现，一些较复杂的函数都是由一些较为基本的，较为简单的函数经过四则运算或者复合运算得到的，我们将这些基本的，简单的函数称为基本初等函数，接下来我们详细介绍高等数学里面的基本初等函数.教师讲授57新知识所谓基本初等函数就是指如下函数：常数函数：(为常数)；幂函数：；指数函数：；对数函数：；三角函数：；反三角函数：.教师绘制图像讲解并总结621.3.4复合函数观察在高等数学中，我们常见的函数的自变量都表述为,但是实际上自变量也可以不仅仅是一个单一的字母，也可能是一个表达式，在这种情况下自变量变成了一个表达式的运算结果，也就是另外一个函数的因变量，我们称这种函数为复合函数.

15、教师讲授65新知识如果是的函数，又是的函数，即，且与对应的的值能使有定义，则称通过是的复合函数，记作，其中称为中间变量.1.复合的前提条件是：内层函数的值域与外层函数的定义域必须有交集.如：不能将，进行复合.因为的定义域,的值域 .故不能复合.2.复合次序不能调换.如.3.常把复合函数拆成几个简单函数，从而便于研究和计算.复合函数在拆分时一般按照、的字母顺序进行表示.教师讲授70知识巩固例 设，将表示成的函数.解 例 试将以下函数进行拆分：（1）; （2）.解 （1），;（2），.例 试将以下函数进行拆分：（1）; （2）. 解 （1），;（2）.教师引导学生完成73练习试将以下函数进行拆分：

16、（1）; （2）;（3）.解 （1），;（2）;（3）.试将以下函数进行拆分：; . 解 （1），;（2）学生课堂完成教师讲解781.3.5初等函数观察在学习了基本初等函数和函数的复合运算，以及我们初中时候学习的函数的四则运算之后，我们就得到了初等函数的组成元素和组合方法了，基本初等函数是初等函数的组成元素，复合运算以及四则运算是这些元素的组合方法.教师讲授83新知识由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合所得到的由一个式子表示的函数叫做初等函数.例如,都是初等函数.1.绝对值函数既是初等函数也是分段函数.2.绝大部分分段函数不是初等函数.如和符号函数都不是初等函数.教师讲授88小结教师总

17、结90作业 1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题一对应内容.2.1极限的性质与概念教学目标：（1）理解极限的概念，以及数列极限与函数极限特点；（2）理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；（3）掌握极限的性质.教学重点：理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；教学难点：极限存在与左、右极限之间的关系的理解.授课时数： 2课时.教学过程过程备注观察按照某种规律,以正整数1,2,3,编号依次排列的一系列数,称为数列,记为.其中的每一个数称为数列的项,称为通项.教师导入新知识5新知识对于数列,若当自然数无限增大时,能无限地趋近于一个确定的常数,

18、则称数列为收敛数列, 称为它的极限. 记为或.若数列的极限不存在，则称数列发散.例如数列,是收敛数列，教师讲授15知识巩固 例 若将一根长为一尺的木棒,每天截去一半,则这样的过程可以无限制地进行下去.此即我国古代有关数列的例子.早在战国时代哲学家庄周的庄子天下篇中就有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的记载.如果将每天剩下部分的长度记录,则（单位为尺）第一天剩下,第二天剩下,第三天剩下,第天剩下,.这样就得到一个数列, 即数列 .数列的通项随着的无限增大而无限地接近于0,也即无限收敛0.教师引领学生完成25新知识定义2.3对于函数,如果当自变量的绝对值无限增大时，函数无限趋近于一个确定的常数，则

19、称常数为函数当时的极限，记为,或(）.教师结合图像说明33知识巩固例 .教师引领学生完成40新知识对于函数,如果当自变量从左右两侧无限趋近于时，函数无限趋近于一个确定的常数，就称函数在处的极限为，记为，或（）.注 当时并不要求函数在点处有定义.教师讲授 47知识巩固当时,函数的极限是1,记作或.教师引领学生完成53新知识当自变量时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称常数为时的左（右）极限，记为（）.显然,函数的极限与左、右极限之间有以下结论:的充分必要条件是.即左右极限存在并相等.教师讲授65知识巩固例 求当时的极限.解 ,. . 故时,函数极限不存在.教师引领学生完成75例 设； 求当时的极

20、限.解 ，因为,所以不存在.学生课上完成教师讲评80新知识性质2.1(唯一性）若,则.性质2.2（有界性）若,则函数有界.性质2.3(局部保号性）若,且（或）,则（或）.教师讲授86小结数列极限 数列极限极 限极 限极限的性质函数极限极限的性质函数极限总结90作业 1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题二对应内容2.1极限的四则运算法则教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限；教学重点：运用函数极限的运算法则求极限；教学难点：函数极限法则的运用.授课时数：2课时.教学过程过程备注新知识若,则(1)=.(2).(3).新知识引入5新知识推论1 常数可以提到极限号前面，即（为常数

21、）.推论2 （为正整数）.此外，（为常数）.教师讲授15知识巩固(1)； (2)； (3)； (4).解 (1) =.(2). (3).(4)=.教师引领学生完成45新知识例 设为自然数，则教师讲授50知识巩固(1); (2) ;(3)；(4);解 (1) ;(2) =;(3) =;(4) .学生完成教师指导80小结 极限的四则运算法则极 极限的四则运算法则极 限90作业1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题二对应内容.2.3两个重要极限教学目标：掌握两个重要极限，并使用其求解函数极限；教学重点：运用两个重要极限求函数极限教学难点：两个重要极限的应用.授课时数： 2课时.教学过程过程备注观察

22、一、极限我们列表考察当时，的变化趋势.0.84147090.95885110.99833420.99998330.9999998 从表2-1可以看出，当时，的值无限趋近于1，所以.新知识导入 5知识巩固例 求极限.解 .例 求极限. 解 .教师引领完成20练习 求.解 .学生练习,教师讲解25观察极限下面列表考察当时，函数的变化趋势.1010010001000010000010000002.593742.704812.716922.718152.718272.71828-10-100-1000-10000-100000-10000002.867972.731992.719642.718422.

23、718302.71828从表中可以看出，当或时，的值都无限趋近于一个确定的常数，它是一个无理数，记作.所以.若令，则当时，所以上式也可改写成,也即.从而，.新知识导入, 35知识巩固例 求极限.解 =.学生完成,教师指导33知识巩固例 求极限.解 .例 求极限.解 .练习 求.解 .练习 求.解 .学生课上完成,教师讲评40例 求极限.解 = =.教师讲授45练习 计算.解 令,则.教师引领学生完成55小结 两个重要极限极 两个重要极限极 限45作业1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题二对应内容.2.4无穷小量与无穷大量教学目标：理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限；

24、教学重点：无穷小（大）量及其阶的概念；教学难点：无穷小（大）量及其阶的概念.授课时数： 2课时.教学过程过程备注新知识若，则称为在时的无穷小量,简称无穷小.例如,函数是当时的无穷小；函数是当时的无穷小.所以，我们不能说是无穷小量.是当时的无穷小量.新知识导入5知识巩固例 求极限.解 .例 求极限. 解 .练习 求.解 .教师引领完成15观察极限下面列表考察当时，函数的变化趋势.1010010001000010000010000002.593742.704812.716922.718152.718272.71828-10-100-1000-10000-100000-10000002.867972

25、.731992.719642.718422.718302.71828从表中可以看出，当或时，的值都无限趋近于一个确定的常数，它是一个无理数，记作.所以.若令，则当时，所以上式也可改写成,也即.从而，.结合课件说明25知识巩固例 求极限.解 =.教师讲授33知识巩固例 求极限.解 .例 求极限.解 .教师讲授45练习 求.解 .练习 求.解 .学生课上完成教师讲评55例 求极限.解 = =.学生课上完成教师讲评75练习 计算.解 令,则.教师引领完成80小结 两个重要极限极 两个重要极限极 限总结90作业1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题二对应内容.2.5函数的连续性教学目标：（1）理解自

26、变量的增量、函数的增量的概念；（2）掌握函数在点处连续的两种定义方式；（3）掌握左(右)连续的概念；（4）掌握间断的概念，并且会判断函数的间断点；（5）掌握初等函数的连续性.教学重点：函数在点处连续的两种定义方式；间断的概念.教学难点：函数间断点的判断.授课时数： 2课时.教学过程过程备注观察如何定义自变量的增量、函数的增量？自变量的增量.函数的增量 .课件演示图像教师引导学生5新知识函数在点处连续有哪两种定义方式？定义2.10 设函数在点及其附近有定义，若自变量在点处的增量趋于零时，对应的函数增量 也趋于零，即,则称函数在点处连续，点称为函数的连续点.定义2.11设函数在点及其附近有定义，若

27、，则称函数在点处连续. .结合课件说明15知识巩固例1证明函数在点处连续.证明 因为，即，所以函数在点处连续.3. 如何定义函数在点处左(右)连续？若，则称函数在点处左连续. 若，则称函数在点处右连续.显然，函数在点处连续.例 证明函数在点处连续.证明 因为，即所以函数在点处连续.【例题详解】练习 讨论在点处的连续性.解 因为,故在点处左连续；因为,故在点处不能右连续.,所以函数在点处不连续.教师引领学生完成25注意1若函数在开区间内每一点都连续，则称函数在开区间内连续;2一般的,如果函数在某个区间上连续,则函数的图像是一条连续不断的曲线.教师讲授33新知识函数的间断点如何分类？定义 若函数在

28、点处不连续，则称点为函数的间断点.定义 左右极限都存在的间断点称为第一类间断点；否则就称为第二类间断点.若,称为可去间断点;若,称为跳跃间断点;若,称为无穷间断点;若振荡不存在,称为振荡间断点.即教师讲授65知识巩固【例题详解】例 讨论函数的间断点类型.解 ,显然是它的两个间断点.因为，所以是第二类间断点，且为无穷间断点.因为，所以是第一类间断点，且为可去间断点.例 讨论符号函数的间断点类型. 解 ，因为,所以是的跳跃间断点. 例 讨论函数的间断点类型.解 显然是函数 的间断点.因为当时，函数值在-1与1之间无限次的振荡变化，故是的振荡间断点. 练习 判断函数的间断点类型.解 显然是函数 的间

29、断点.因为,故是无穷间断点.练习 判断函数的间断点类型.解 函数在点处的左右极限存在但不相等, 故为跳跃间断点.练习 判断函数的间断点类型.解 函数在点处有,所以是可去间断点.教师引领学生完成75新知识初等函数的连续性性质 有限个连续函数的和、差、积、商（分母不为零）也是连续函数.性质 有限个连续函数的复合函数也是连续函数.性质 单调增（减）的连续函数的反函数也是单调增（减）的连续函数.应用连续函数的运算法则可以得到：所有基本初等函数在各自定义域内都是连续函数.结合课件说明80知识巩固例 设讨论函数在处的连续性.分析 由于函数在分段点两侧的表达式不同，因此要考虑在分段点处的左极限与右极限解 ,

30、所以 而，即.所以函数在处连续教师引领完成90小结 连 连 续间 断总结90作业1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题二对应内容.3.1导数的概念教学目标：（1）了解导数的物理意义，掌握导数的几何意义；（2）掌握导数的定义；（3）掌握基本初等函数的导数；（4）理解连续与可导的关系；教学重点：（1）导数的定义；（2）可导与连续的关系.教学难点：导数的定义.授课时数： 2课时.教学过程过程备注观察1.变速直线运动的即时速度一物体作变速直线运动，从某时刻开始到时刻所经过的路程为，求物体在某时刻的速度考察在时间段内物体运动的平均速度为 .如果很小，则物体在时间段内的平均速度就接近它在时刻的即时速度，

31、当时，时间段收缩成一点，因而平均速度的极限就是即时速度. . 2曲线的切线点是曲线上的任意一点，求过该点并与曲线相切的切线方程 在的邻近取一点，则割线 的斜率为.当点沿曲线趋向于，割线的极限位置就是曲线在点的切线因此，切线的斜率为 .上述两个具体问题尽管实际背景不一样，但从抽象的数量关系来看却是一样的，都是当自变量的改变量趋于零时，计算函数的改变量与自变量的改变量比值的极限.大量的实际问题都需要计算这种类型的极限，由此我们抽象出导数定义.新知识导入10新知识定义 3.1 设函数在点及其附近有定义，当自变量在点处取得增量，相应地，因变量取得增量，如果极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为函

32、数在点处的导数，记为，即.函数在处的导数也可记为，或，并称函数在点处可导；如果不存在，则称函数在点处不可导.有时为了书写和计算方便，导数也可表示为 及 如果函数在区间内的每一点都可导，则称函数在区间内可导，即对任何，有.称为的导函数，简称为的导数，且.教师讲授20知识巩固例 计算函数在点处的导数.解 当由变化到时，函数相应的改变量 ,从而.例 若，求=？解 因为，所以.教师讲授25新知识函数在点处的左导数与右导数,记作与,即 ,.左导数与右导数统称为函数的单侧导数.为了研究可导，有时我们还要用到单侧导数概念.根据函数在点处的导数定义，导数 是一个极限，因此存在即函数在点处可导的充分必要条件是左

33、、右极限 和都存在且相等.这两个极限分别称为函数在点处的左导数与右导数，记作与，即 , .左导数与右导数统称为函数的单侧导数.显然，函数在点处可导的充要条件是函数在点处可导的充要条件是函数在点处的左导数与右导数都存在且相等,即.它一般用于判断分段函数在分段点处的可导性.教师讲授35新知识导数的几何意义如果函数在点处可导，则在点处的导数值为曲线在点处的切线的斜率，即.注意 .曲线在点处的切线方程为；法线方程为.注意 切线斜率与法线斜率互为负倒，即.若，表示切线的倾斜角为0；若，表示切线的倾斜角为.教师讲授45知识巩固例 求曲线在处的切线方程和法线方程？解 ，切点为，切线方程为:，即.法线方程为:

34、，即.教师讲授50练习 求曲线在处的切线方程和法线方程？解 ，切点为，切线方程为:，即. 法线方程为:，即.学生完成55新知识函数可导与连续的关系设函数在点处可导，则存在，由于分母的极限为0，因此分子的极限必为0. 由此可见，当时，. 这就是说，函数在点处是连续的. 所以可导必连续，但连续却不一定可导.例如虽然在处连续,但,显然在处不可导.教师讲授60知识巩固例 证明函数在处连续但不可导.解 ,故在处连续，又,左右导数存在但不相等，因此不存在，故在处不可导例 证明函数在处连续但不可导.解 ，故在处连续，又不存在,因此不存在，故在处连续但不可导从导数的几何意义可以看出，函数在某一点连续，只要求函

35、数在该点不间断，而函数在某一点可导，不仅要求函数在该点不间断，而且还要求函数在该点能作出一条唯一的不垂直于轴的切线.教师讲授65新知识基本初等函数的导数(1) (为常数);(2) (为任意常数), 特别地，,;(3) () 特别地， ;(4) (), 特别地，;(5) ; (6) ;(7) ; (8) ;(9) ; (10);(11) ; (12) .此外，.结合以前知识介绍75知识巩固例 求出下列函数的导数： ，. 解 ， ，. 教师讲授80练习 求出下列函数的导数：，.解 ， ，.学生完成85小结 导数连续导数连续教师总结90作业1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题三对应内容.3.2求

36、导法则教学目标：掌握复合函数求导法则；教学重点：复合函数的求导法则.教学难点：复合函数的求导法则.授课时数： 2课时.教学过程过程备注新知识复合函数的求导法则定理3.3 如果在点可导，在的对应点可导，则复合函数在点可导，且导数为或 .这个定理说明，复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.教师讲授10知识巩固例 求函数的导数.解 可看作由，复合而成.因为,所以.例 求函数的的导数.解 可看作由，复合而成.因为 ,所以 .教师讲授20对复合函数的分解比较熟练后,就不必写出中间变量,而采用心里默记复合过程,逐层求导的方法求出导数. 例 求下列函数的导数：(1) ; (2

37、) ; (3);(4); (5); (6) .解 (1) .(2) .(3) .(4) ,. (5) . (6), .教师讲授55练习 求下列函数的导数：(1); (2).解 (1);(2).练习 求下列函数的导数：(3); (4).解 (3).(4), .练习 求下列函数的导数：(5); (6).解 (5).(6).学生完成85小结 复合函数求导求导复合函数求导求导教师讲授90作业1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题三对应内容.3.2求导法则教学目标：（1）掌握隐函数求导法则；（2）掌握对数函数求导法则；教学重点：隐函数求导法则.教学难点：隐函数求导法则.授课时数： 2课时.教学过程过程

38、备注新知识 隐函数求导如称为显函数，如称为隐函数一般地，方程可确定一个函数或，称为由方程确定的隐函数 在实际问题中，我们需要求变量对变量的导数，一般情况下通过方程无法解出或隐函数求导数的方法是:方程的两端同时对求导,遇到含有的项,把看作是的复合函数，先对求导,再乘以对的导数,得到一个含有的方程式,然后从中解出即可.教师讲授10知识巩固例 设是由方程确定的隐函数，求.解 两边对求导数，得 解得.教师讲授20练习 已知,求.解 两边对求导数 即 也即 整理得 .学生完成30知识巩固例 设由方程确定，求.解 方程两边对求导数，得 解得 .由于时，故.教师讲授35练习 设由方程确定，求.解 方程两边同

39、时对求导，得 即,故 .学生完成45新知识对于幂指函数（），求时可以先在方程两边取对数，再两边对求导，然后解出这种求导数的方法称为对数求导法.教师讲授50知识巩固例 求（）的导数解 两边取对数再对求导数，得解得.教师讲授55练习 求的导数.解 两边取对数，两边对求导，两边乘以，将代入，.学生完成65知识巩固例 求的导数.解 两边取对数,上式两边对求导得 ,于是 即.教师讲授75练习 求的导数.解 两边取对数，两边对求导，故.学生完成85隐函数求导小结隐函数求导 求导求导对数函数求导对数函数求导教师总结90作业1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题三对应内容.3.2求导法则教学目标：（1）掌握

40、函数的和差积商求导法则；（2）掌握反函数的求导法则；教学重点：（1）函数的和差积商求导法则；教学难点：反函数的求导法则.授课时数： 2课时.教学过程过程备注新知识函数的和、差、积、商的求导法则定理3.1 如果函数及都在点处具有导数，则(1) ;(2) ;(3) ();我们常把函数的和、差、积、商的求导法则简记为(1) ;(2) ;(3) ().此外，常用的公式还有(4);(5);特别的，;(6),为常数.法则(1)、(2)可推广到有限个可导函数的情形. 特别有,为常数.教师讲授10知识巩固例 设，求.解 .例 设，求.解 .例 设，求.解 .例 设，求.解.教师讲授30练习 求出下列函数的导数

41、：(1);(2);(3).解 (1);(2);(3).学生完成45新知识反函数的求导法则定理 如果函数在某区间内单调、可导且，则它的反函数在其对应的区间内也可导，且 或 .结合以前知识介绍55知识巩固例 设，求.解 令，其反函数为，则.类似可得 教师讲授65练习 证明. 证：令，其反函数为，则.学生完成75例5 ，求解：与互为反函数，因此 .教师讲授85基本初等函数求导法则小结基本初等函数求导法则 求导求导复合函数求导复合函数求导教师总结90作业1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题三对应内容.3.3高阶导数教学目标：（1）理解高阶导数的定义；（2）掌握高阶导数的求导方法；教学重点：高阶导数

42、的求导方法.教学难点：高阶导数的求导方法.授课时数： 2课时.教学过程过程备注新知识我们知道，变速直线运动的速度是路程函数对时间的导数，即,而加速度又是速度对时间的导数.故 .称为为二阶导数，记成.所以,直线运动的加速度就是路程函数对时间的二阶导数.新知识导入5若函数的导数存在，这个导数叫原来函数的二阶导数，用来表示.类似地,二阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数,一般地,阶导数的导数叫做阶导数,分别记作 .二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.教师讲授15知识巩固例 设，求.解 ,.例 设，求.解 ,.教师讲授35例 设，求解 由此递推得 ，即. 用类似的方法,可得 教师讲授4

43、5例 设，求.解 ,，,由此递推得 .教师讲授55练习 设，求.解 ，由此递推得 .练习 ,求.解 , , 由此递推得 .学生完成85高阶导数一阶导数高阶导数一阶导数教师总结90作业1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题三对应内容.3.4 微分教学目标：（1）理解微分的概念；（2）掌握微分求导法则；（3）掌握微分在近似计算中的应用；教学重点：（1）微分的概念；（2）微分在近似计算中的应用.教学难点：微分在近似计算中的应用.授课时数： 2课时.教学过程过程备注观察微分的概念先看一个具体例子由某种材料构成的边长为的正方形，由于热胀冷缩，边长从增加到时，那么其面积的增量为图3包含两部分，和，由于是

44、比高阶的无穷小，可忽略不计这样当很小时，它是函数该变量的主要部分 一般，设函数在处可导，则存在，那么 ，为时的无穷小 得由于是的高阶无穷小，可忽略不计，故得，是函数该变量的主要部分由此可得：新知识导入5新知识定义3.2 设函数在点处可导,则称函数改变量的主要部分为函数在点处的微分,记作,即此时也称函数在点处可微分，简称可微如果函数在任意点都可微分，则在任意点的微分为,特别地，函数的微分为因此，函数的微分还可写为 .教师讲授10知识巩固例 求函数在处，当时的微分解 ，.例 ，求解：例 已知 ，求.解 方程两边对求导，解得 ，则 .教师引领完成20新知识微分运算法则由于函数微分，故微分的运算法则和

45、求导运算法则是一致的.1微分的四则运算(1) (2) (3) （C为常数） (4) 2复合函数的微分法则如果函数与都可导，则复合函数可微，而且.由于，因此 即对于函数，无论是自变量还是中间变量，微分形式都是,保持不变.教师讲授25知识巩固例 求下列函数的微分：（1）;（2）.解 （1）, 故 . （2）,故 . 教师引领完成30练习 求下列函数的微分：（1）; （2）.解（1）, 故 . （2）,故 .练习 ，求.解：学生完成40例 ，求解：例 ，求.解 两边微分,得即 解得.本题也可在方程两边求导，得出，因而教师讲授50新知识微分在近似计算中的应用如果函数在可导,且,则当很小时，有 . 因此

46、 ,或 ,也可写为 .教师讲授55知识巩固例 计算的近似值.解 由于（弧度）,即：. 设，则.教师引领学生完成60练习 试计算的近似值.解 （弧度），即：假设，.学生完成70当很小时， 取，有 当很小时，有下列近似公式：(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) .教师讲授80例 计算的近似值.解 .教师讲授85微分法则小结微分法则 微分可导微分可导微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用教师总结90作业1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题三对应内容.4.1中值定理教学目标：（1）掌握罗尔定理；（2）掌握拉格朗日定理；（3）熟练使用罗尔定理和拉格朗日定理教学重点：罗尔定理和拉格朗日

47、定理的使用条件；教学难点：罗尔定理和拉格朗日定理的使用条件；授课时数： 2课时.教学过程过程备注新知识定理4.1（罗尔定理） 若函数在闭区间上连续, 在开区间内可导, 且,则在开区间内至少存在一点,使得 罗尔定理的几何意义是：在满足条件的曲线弧上至少能找到一点，使其在该点的切线平行于轴.证因为在闭区间上连续，故它在闭区间上必有最大值与最小值.若，则在闭区间上恒为常数，所以, 定理的结论显然成立 aABbOyx图 41M否则，由于，故至少有一个最值在开区间内取得不妨设存在一点 使(如图31)aABbOyx图 41M00教师讲授20知识巩固例 已知函数，说明方程有几个实根，并指出它们各自所在的区间

48、解 显然在上连续且可导， 且.故在区间1,2与2,3上满足罗尔定理条件，从而方程在（1,2）及（2,3）内至少各有一个根又为二次多项式，所以方程只能有两个根教师讲授35练习4.1.1练习 设,证明方程有三个实根,并指出其所在区间.解 在上连续、可导,且由罗尔定理，在、内分别存在点使得所以方程有三个实根,分别在、内.学生完成45新知识定理4.2（拉格朗日定理） 若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一点，使得.baOxybaOxy图42ABC.如果, 那么这样就变成罗尔中值定理了，因此罗尔定理是拉格朗日定理的特例 显然，若函数在区间I上的导数恒为零, 则在区间I上是一个常数 事实上，在

49、区间I上任取两点,且,在应用拉格朗日定理,有，由题设知, f ()0，所以有，即，由的任意性，在I上为常数.结合图像说明65知识巩固例 证明当时,.证明 设,显然,在上满足拉格朗日中值定理的条件,有,，从而.由于，所以即.教师引领完成85小结罗尔中值定理 罗尔中值定理中值定理中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理90作业1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题四对应内容.4.2洛必达法则教学目标：（1）掌握洛必达法则，并会使用洛必达法则求极限；（2）掌握极限的形式判断，熟练使用洛必达法则；教学重点：极限形式判断；洛必达法则的使用条件；教学难点：洛必达法则的使用条件.授课时数： 2课时.教学过

50、程过程备注新知识若当或时，、同时趋近于零(或无穷)，极限可能存在，也可能不存在.通常把这种极限叫做未定式, 并简记为“”型或“”型.定理4.3 设函数满足: (1) 或 ;(2)在附近、都可导，且; (3)（或为）. 则 洛必达法则的实质就是通过对分子分母分别求导，使得原来极限脱离或状态，进而求出该极限教师讲授10知识巩固例 求极限. 解 .教师讲授 20知识巩固例 求极限.解 .例3 ，（为任意实数）.解：例 求极限. 解 . 例 求极限.解 . 教师讲授45练习 求极限（3）;（4）.解 （3）;（4）=.学生完成55练习 求极限（1）;（2）.解（1）=.（2）=.学生完成65新知识“”

51、型和“”型是未定式的两种最基本类型，其它类型的未定式还有:型、型、型、型、 型等一般都可以通过适当的方法化为或型未定式来计算 教师讲授75知识巩固例 求极限.解 .教师讲授80小结“”“”型和“”型洛必达法则洛必达法则型、型、型、型、型、 型教师总结90作业1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题四对应内容.4.3 函数的单调性与极值教学目标：掌握函数极值的求解方法；教学重点：函数极值的判定；教学难点：函数极值的判定.授课时数： 2课时.教学过程过程备注新知识定义设函数在区间内有定义，是内一点如果对附近所有有定义的点都有（或），就称是函数的一个极大值（或极小值）.x0 x0 xyO图46f(x

52、0)x0 xyO图 45ff(x0) 注意1.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点 2.函数的极值是局部性概念f(x1)（xbx6x5x4x3x2x1Oaf(x4)（f(x1)（xbx6x5x4x3x2x1Oaf(x4)（y图7 函数的极值点实质上就是函数升降的分界点，因此有：定理4.5 (极值的必要条件) 若函数在点x0 处取得极值, 则或不存在注意：驻点和不可导点都有可能是函数的极值点定理4.6(极值存在的第一充分条件) 设函数在点x0及其附近连续且可导（在x0处可以不可导），且在x0的两边导数值异号，则在点x0必取得极值具体表述如下：(1)若f (x)由正变

53、负, 则是函数的极大值; (2)若f (x)由负变正, 则是函数的极小值; (3)如果在x0的左、右两侧符号相同,则不是极值求函数极值的解题步骤：1.求定义域;2.求导数、驻点、不可导点;3.列表判定.教师讲授20知识巩固例 求的极值.解 f (x)的定义域为 ( ) ,， 令得驻点为；显然无不可导点；列表得：-11+0-0+极大值4极小值0故函数的极大值为，极小值为.教师讲授30 练习 求的极值.解 ,，令得驻点为；显然为不可导点.2-0+极小值12故函数的极小值为.无极大值.学生完成40例 求函数的极值 解 （1） f (x)的定义域为 ( ) ;（2） f (x) =2xex += x

54、e x (2+x);（3） 令f (x)0 得驻点x1 2, x2 0，无不可导点; （4） 用驻点x12, x10 分f(x)的定义域( )，列表如下：x( 2)2(2 0)0(0 )f (x)00 f (x)极大值极小值0 函数的极大值为f (2) 极小值为教师讲授50新知识定理4.7（极值存在的第二充分条件） 设函数在点x0处具有二阶导数,且f (x0)=0，,(1) 若，则f (x0)是函数的极大值; (2) 若，则f (x0)是函数的极小值定理表明，在函数的驻点x0处如果二阶导数，则该驻点一定是极值点，且可根据的符号判定是极大值还是极小值注意以下三种情况下不能使用第二判别法，必须使用

55、第一判别法进行判别：（1）不存在；（2）；（3）不存在.教师讲授55知识巩固例 求函数的极值.解 函数的定义域为，,令得驻点，又,故由极值存在的第二充分条件，是函数的极小值点，的极小值为.教师讲授65练习 求函数的极值.解 函数的定义域为，令得驻点为或；由于，,故函数的极大值为，极小值为.学生完成75例 设方程恰有两个实根，求的取值分析 当函数的极大值点或极小值点在轴上时，函数曲线恰好过轴两次，也就是方程恰有两个实根.解 令 ，,由于,故函数在处取得极大值,在处取得极小值.当函数的极大值点或极小值点在轴上时，函数曲线恰好过轴两次，也就是方程恰有两个实根，故或.从而或教师引领学生完成85小结 极

56、值存在的第一充分条件极值存在的第一充分条件极值函数的单调性与极值极值函数的单调性与极值极值存在的第二充分条件极值存在的第二充分条件教师总结90作业1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题四对应内容.4.3 函数的单调性与极值教学目标：掌握函数最值的求解方法；教学重点：函数最值的判定；教学难点：实际生活中函数最值的判定.授课时数： 2课时.教学过程过程备注新知识我们知道，闭区间a, b上的连续函数f (x)一定存在最大值和最小值最大值和最小值可能在区间内取得，也可能在区间的端点取得.如果最大值不在区间的端点取得, 则必在开区间(a, b)内取得.在这种情况下, 最大值一定是函数的某个极大值.从而

57、, 函数在闭区间a, b上的最大值一定是函数在(a, b)上的所有极大值和区间端点处的函数值f (a)和f (b)中最大者最小值同理.函数在闭区间a, b上的最小值一定是函数在(a, b)上的所有极小值、f (a)和f (b)中最小者 因此, 要求一个函数f (x) 在闭区间a, b上的最值可以按如下方法进行: （1）求出函数f (x)在(a, b)内的所有可能的极值点 (即驻点和不可导点):x1, x2,xn（2）求出这些驻点和不可导点以及闭区间a, b端点处的函数值: f (x 1), f (x 2), , f (x n), f (a), f (b) ;（3）比较f (a),f (x 1)

58、, f (x 2), , f (x n), f (b)的大小, 其中最大者就是f (x)在闭区间a, b上的最大值, 最小者是f (x)在a , b上的最小值 求函数最值的解题步骤:1.求;2.求驻点、不可导点、端点处的函数值;3.比较大小.教师讲授20知识巩固例 求在上的最大值和最小值.解 ,令得驻点为,由,故函数的最大值最小值.教师讲授20练习 求函数在上的最值.解 , 令得驻点为,，故函数的最大值为，最小值为.学生完成30注意若函数f (x) 在a, b上连续且单调增加, 则f (a) 是最小值, f (b) 是最大值; 若f (x) 在a, b上连续且单调减少, 则f (a)是最大值,

59、 f (b)是最小值教师讲授35知识巩固Ox1y图48例 求函数f Ox1y图48解 因为0, x( ),所以函数f (x)在0 , 1上单调递增故函数f (x)的最小值为f (0)= 0, 最大值为f (1)= 在有些实际问题中, 我们根据其实际意义就可以断定函数确有最大值或最小值, 而且一定在其定义区间内取得此时如果在定义区间内只有唯一驻点, 那么就不必讨论是否是极值,而直接判定是最大值或最小值.知识巩固例 欲用铁皮制作一个体积为V的圆柱形有盖铁桶, 应如何设计其底面半径和高才能使用料最省?解 用料最省也就是使铁桶的表面积最小设铁桶底面半径为r, 高为h, 表面积为S则因为,所以将 代入上

60、式，得 ，显然0 r V这样,问题就转化为求目标函数在( 0 , V )上的最小值 求S对r的导数: ,令S =0得唯一驻点 由问题的实际意义知，S在( 0 , V )内必有最小值, 故最小值必在该唯一驻点 处取得 将代入中，得 即当高h是底面半径r的两倍且时，用料最省例 某工厂与铁路的垂直距离，到城的距离为100km，欲将工厂的产品运到城，已知公路运费为10元，铁路运费为8元，想在铁路处修建一个转运站，问建在何处，才能使运费最少？最少运费是多少？解 令，则，设总运费是元，依题意得 问题就归结为求函数在上的最小值点,令，解得（负值舍去），在区间内，只有一个驻点，也就是所求的最小值点因此，当时，