计量经济学的数学基础的课件

1、计量经济学理论第二讲 计量经济学的数学基础知识体系 一、概率论 二、数理统计一、概率论 知识体系（一）基本概念（二）随机变量的数字特征总体的描述（三）抽样分布的数字特征样本的描述（四）随机变量的分布总体和样本的连接点（一）基本概念 知识体系1、确定性现象和随机现象2、概念比较（随机试验、随机事件、随机变量、随机样本、统计量、随机过程、总体、个体、样本）3、事件及其运算4、概率及其运算（一）基本概念1、确定性现象和随机现象 确定性现象 自然界和社会上在一定条件下必然发生的现象。 随机现象 在个别试验中其结果呈现出不确定性，而在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。（一）基本概念2、概念比较

2、 随机试验E 重复性（可以在相同条件下重复地进行）； 明确性（每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果）； 随机性（每次试验之前不能确定哪一种结果会出现）。 随机事件（A、B、C、D） 随机试验E的样本空间S中满足某一条件的子集。（一）基本概念随机变量 在随机试验的样本空间中按一定概率取值的变量，即用变量X来描述随机试验的统计结果。随机样本（s.r.s） 设X是具有分布函数F的随机变量，若X1, X2,Xn是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量，则称X1, X2,Xn为从分布函数F（或总体F或总体X）得到的容量为n的简单随机样本。 2、概念比较（一）基本概念2、概念比较

3、统计量 设（ X1, X2,Xn ）为来自总体X的一个样本，若函数y=f（ X1, X2,Xn ）不含有未知参数，则称其为统计量。随机过程 随机变量簇 ，其中T是给定的实数集，对应每个 的 是随机变量。（一）基本概念2、概念比较总体 将随机试验的结果数量化，则其全部可能的观察值称为总体。个体 将随机实验的结果数量化，则其每一个观察值称为个体。样本 总体中抽出若干个个体组成的集体。 （一）基本概念随机试验随机变量随机事件将随机试验的结果按某一条件归类将随机试验的结果按某一条件统计，用变量来描述其数量结果统计量用随机样本的观察值构造的不含未知参数的函数，即统计量是随机变量的函数。随机样本从随机试验

4、的结果中随机抽取n个观察值组成的集合随机过程按时间先后顺序将一定时间段内随机试验的结果排列成的有序集合个体总体将随机试验的结果数量化，则其全部可能的观测值为总体将随机试验的结果数量化，则其每一个观测值为个体2、概念比较图2-1 随机试验的结果（一）基本概念1、总体、个体和样本均可以用随机变量来表示，总体表示为X，个体表示为Xi，而样本表示为X1,X2,Xn。因此，可用随机变量X的分布函数和数字特征来研究总体和样本。2、统计量和随机过程均是随机变量的函数。统计量是由随机变量构造的不含未知参数的函数，可表示为Y=f(X1,X2,Xn)。 小 结（一）基本概念 小 结3、样本来源于总体，样本与总体具

5、有相似的分布函数和数字特征。总体一般是未知的，因此，可用样本的已知信息来推断总体。4、统计量是样本信息的集中表现，因此，可用统计量的特征来反映总体的信息。（一）基本概念例：将一枚硬币抛掷三次，求：1、观察正面H、反面T出现的情况随机试验2、第一次出现H的情况随机事件3、观察出现正面H的次数随机变量X4、若正面H用“1”表示，而反面T用“0”表示，则三次抛掷硬币出现的情况总体，随机变量5、第一次出现正面的情况样本6、第一次出现正面的期望统计量7、依次将三次抛掷硬币结果的排序随机过程（一）基本概念3、事件及其运算运算法则（一）基本概念3、事件及其运算文氏图SBASBASBASBASAS BA图2-

6、2 事件运算的文氏图（一）基本概念4、概率及其运算概率 在随机试验中，某一事件A发生可能性的相对确定性的测度。运算法则（1）非负性 0P(A)1对所有事件A成立；P(A)=0表明事件A不会发生；P(A)=1表明事件A必定发生；（2）有限可加性 若A1，A2，An为两两互不相容的事件，则：P(A1A2An)= P(A1)+ P(A2)+P(An) （一）基本概念（3）逆事件的概率（4）加法公式 对于任意两事件A，B有P(AB)=P(A)+ P(B)- P(AB)（5）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB),P(-A)=1-P(A)。若A是B的子事件，则P(B-A)=P(B)-P(A)；P(

7、A)P(B)。运算法则4、概率及其运算（二）随机变量的数字特征 ( ) 知识体系1、期望随机变量取值的集中趋势2、方差随机变量相对其均值的偏离程度3、协方差两个随机变量之间的关系4、相关系数两个随机变量之间的线性关系表2-1 随机变量的性质（二）随机变量的数字特征1、期望随机变量取值的集中趋势（1）E(c)=c，c为常数。（2）若a、b为常数，则E(aX+b)=aE(X)+b（3）若X、Y为两个随机变量，则： E(XY)=E(X)E(Y)（4）若g(x)和f(x)分别为X的两个函数，则 ： Eg(X)+f(X)=Eg(X)+Ef(X)（5）若X、Y是两个独立的随机变量，则： E(XY)=E(X

8、) E(Y)（二）随机变量的数字特征2、方差随机变量相对其均值的偏离程度（1）Var(c)=0，c为常数；Var(c+X)=Var(X)；（2）Var(cX)=c2Var(X) ；Var(a+bX)=b2Var(X)；（3）若X，Y为相互独立的随机变量，则： Var(XY)=Var(X)Var(Y)； Var(aX+bY)=a2Var(X)+b2Var(Y) ，a，b为常数；（4）Var(X)=E(X2)-(EX)2；E (X-E(X)=0（5）X，Y为随机变量，则Var(XY)=Var(X)Var(Y) 2Cov(X,Y)（二）随机变量的数字特征3、协方差两个随机变量之间的关系（1）Cov(

9、X,Y)=EXY-EXEY，推论： Var(XY)=Var(X) +Var(Y)2Cov(X,Y) ；（2）Cov(X,Y)= Cov(Y,X)；（3）Cov(aX,bY)= abCov(X,Y)，a,b为常数（4）Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)（二）随机变量的数字特征4、相关系数两个随机变量之间的线性关系（三）抽样分布的数字特征 知识体系1、样本k阶原点矩样本取值的集中趋势2、样本均值样本取值的集中趋势3、样本k阶中心矩样本取值偏离其均值的程度4、样本方差样本取值偏离其均值的程度5、样本标准差样本取值偏离其均值的程度6、样本相关系数两个样本间的线性相关程度（

10、三）抽样分布的数字特征1、样本k阶原点矩2、样本均值( )3、样本k阶中心矩4、样本方差( )5、 样本标准差（三）抽样分布的数字特征6、 样本相关系数( )7、 重要公式( )（四）随机变量的分布( ) 知识体系1、正态分布2、标准正态分布3、T分布4、5、F分布6、分位点7、抽样分布定理表2-2 正态分布与标准正态分布1、正态分布（四）随机变量的分布若随机变量X的概率密度函数为则称随机变量 X服从参数，的正态分布， 0，是任意实数，记为 若XN(，2)，则2、标准正态分布（四）随机变量的分布若随机变量X的概率密度函数为则称随机变量 X服从参数（0，1）的标准正态分布，记为 。 若XN(0，

11、1)，则（四）随机变量的分布x0 x-x图2-3 标准正态分布的分布函数（四）随机变量的分布2、标准正态分布正态分布变量期望的标准化若总体XN(,2)， X1,X2,Xn 为取自总体X的样本，则 证： XN(,2)， 样本X1,X2,Xn取自总体X 为正态分布变量的线性函数（四）随机变量的分布3、 n个标准正态分布变量的平方和若X1,X2,Xn是来自总体N(0,1)的样本，则：4、T分布一个标准正态分布变量与一个消去自由度的 分布变量开方的比值若随机变量XN(0,1) ，随机变量 ，且它们相互独立，则（四）随机变量的分布 5、F分布两个消去自由度的 分布变量的比值。若两个独立的随机变量 ，则

12、，而 。 正态分布标准正态分布F分布 分布T分布图2-4 随机变量分布之间的关系（四）随机变量的分布6、分位点0 z图2-5 标准正态分布的双侧分位点（1）标准正态分布双侧分位点 1- z0（四）随机变量的分布6、分位点图2-6 标准正态分布的单侧分位点（1）标准正态分布单侧分位点（四）随机变量的分布6、分位点（2） 双侧分位点图2-7 的双侧分位点xf(x)/2/21-1-/20（四）随机变量的分布xf(x)06、分位点（2） 单侧分位点图2-8 的单侧分位点6、分位点（3） T分布的双侧分位点（四）随机变量的分布图2-9 T分布的双侧分位点xf(x)/2/21-0（四）随机变量的分布图2-

13、10 T分布的单侧分位点6、分位点（3） T分布的单侧分位点xf(x)0（四）随机变量的分布6、分位点（4） F分布的双侧分位点图2-11 F分布的双侧分位点xf(x)/2/201-（四）随机变量的分布6、分位点（4） F分布的单侧分位点xf(x)0图2-12 F分布的单侧分位点表2-3 随机变量分布的比较（四）随机变量的分布7、抽样分布定理（1） 正态分布变量的线性组合仍是正态分布 （2） 分布变量相加仍是 分布若随机变量X1,X2,Xn相互独立，且 ， 则：（四）随机变量的分布（3）单个正态总体的样本均值和方差7、抽样分布定理（四）随机变量的分布（4）两个正态总体的样本均值和方差7、抽样分

14、布定理（四）随机变量的分布（4）两个正态总体的样本均值和方差7、抽样分布定理二、数理统计 知识体系（一）参数估计通过样本，估计总体信息（二）假设检验通过样本，检验结论的可靠性（三）随机过程时间序列分析的基础图2-13 数理统计的研究思路统计量总体随机样本样本观察值样本的特性统计量分布选择个体 观测样本 数据处理 构造 分析 推断 数理统计的思路（一）参数估计（ ） 知识体系1、点估计用某一数值作为参数的近似值2、区间估计在要求的精度范围内指出参数 可能的取值范围 （一）参数估计参数估计点估计矩估计法区间估计对总体均值的估计极大似然估计法对总体方差的估计图2-14 参数估计的方法（一）参数估计

15、点估计的基本思想（一）参数估计（1）矩估计1、点估计 基本思想 根据大数定律，样本矩依概率收敛于相应的总体矩，而样本矩的连续函数依概率收敛于总体矩的连续函数。通常以样本均值作为总体均值的点估计，以样本方差作为总体方差的点估计。（一）参数估计（2）最大似然估计1、点估计 基本思想（一）参数估计（2）最大似然估计1、点估计（一）参数估计（2）最大似然估计1、点估计 求解步骤（一）参数估计1、点估计（3）点估计量的评选标准表2-4 点估计量的评选标准无偏性举例（一）参数估计2、区间估计 基本思想（一）参数估计 求解步骤2、区间估计（一）参数估计2、区间估计图2-15 正态总体区间估计的分类区间估计期

16、望 的估计方差未知( )方差 的估计期望未知( )方差已知( )期望已知( )2、区间估计（一）参数估计表2-5 正态总体期望的估计（一）参数估计2、区间估计表2-6 正态总体方差的估计（二）假设检验（ ） 知识体系1、Z检验单正态总体期望的检验2、T检验单正态总体期望的检验3、 单正态总体方差的检验4、F检验双正态总体方差的检验5、P值检验Z、T、 、F等检验的逆过程（二）假设检验 小概率事件在一次实验中不可能发生 先对总体分布函数的形式或其参数做出某种假设，然后在假设成立的条件下，寻找一个概率发生很小的事件。 若该小概率事件在一次试验中发生了，则应拒绝原假设，选择备择假设，否则，应接受原假

17、设。 小概率事件原理（二）假设检验 检验步骤第一步：分析问题，提出原假设H0和备择假设H1；第二步：确定检验统计量，并在H0成立下求出它 的分布；第三步：构造小概率事件，即给定显著性水平 ， 在H0成立下确定拒绝域和临界值。第四步：由样本值计算出统计量，若该值落入拒 绝域，则拒绝H0，选择H1，否则接受H0。（二）假设检验 z0 接受域 拒绝域 拒绝域接受域 显著性水平小概率 拒绝域 图2-16 Z检验的拒绝域表2-7 单正态总体期望的检验表2-8 单正态总体方差的检验表2-9 双正态总体方差的检验（二）假设检验P (Probability)值检验 P 值即概率，反映某一事件发生的可能性大小。

18、一般以P 0.05 为显著， P 0.01 为非常显著，其含义是样本间的差异碰巧由抽样误差所致的概率小于0.05 或0.01。实际上，P 值不能赋予数据任何重要性，只能说明某事件发生的概率。表2-10 P值检验（二）假设检验 z0 接受域 拒绝域 拒绝域图2-17 Z检验和P值检验的比较表2-11 P值检验的统计意义（三）随机过程 知识体系1、随机过程的含义2、随机过程的分布函数3、随机过程的数字特征4、随机过程的平稳性（三）随机过程1、随机过程的含义 （1）含义： 随机变量族 ，其中T是给定的实数集， 是对应每个 的随机变量。 （2）本质： 是一系列具有顺序性和内在联系的随机变量的集合，是随机现象的动态变化过程。（三）随机过程2、随机过程的分布函数（1）一维分布函数族 本质：刻画了随机变量在各个个别时刻的统计规律性。（三）随机过程2、随机过程的分布函数（1）n维分布函数族 本质：不仅刻画了每个随机变量 的统计规律性，也刻画了各个随机变量之间的关系，从而完整地描述了随机过程的统计规律性。表2-12 随机过程与随机变量的关系SS（三）随机过程图2-18 随机变量及其分布函数的几何意义（三）随机过程3、随机过程的数字特征表2-13