2014年一阶课程数学概率概率论基础预科讲义

1、数学-概率论与数理统计讲主讲：李 良欢数学-概率论与数理统计讲主讲：李 良欢迎使目录量及其分量及其分量的数字特第一机事件和概一、预备知1、两个基本原（1）加法原理：kn1n2nk 第一机事件和概一、预备知1、两个基本原（1）加法原理：kn1n2nk （2）乘法原理：kn1n2nk 2、（1）定义：从nr个（0rnrPr选排列（0r n n(n1)(nr n全排列 （r n n Un3、（1）定义：从nr个（0rnnr个元素的组合，记为CrnCrn(n r)!rCr CnrCr Cr1 Cr（3）【例1.1】2035二、随机事1、随机试11.2E2 ：一批产品中任取一件，观察是正品还是次 E4

2、：射击一个目标为止射击次E5 ：从一批灯泡中任1.2E2 ：一批产品中任取一件，观察是正品还是次 E4 ：射击一个目标为止射击次E5 ：从一批灯泡中任取一只，测E6 2样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间。 定义：样本空间ABC【例1.3】在投掷一枚分别记“点数为6， “点数小于5 “点数小于5的偶数”必然事件：样本空间 包含所有样本点，它是 自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。记为。不可能事件：空集 不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中不发生，称为不可能事件。记为 4A B ABA BB AA AB n类似地，称Ak nA1A2Ank2（4

3、）A和B的积事件：记为AB或ABA，B同时发件AB 发n类似地，称Ak nA1A2Ank（5）A和B的差事件事件ABA（4）A和B的积事件：记为AB或ABA，B同时发件AB 发n类似地，称Ak nA1A2Ank（5）A和B的差事件事件ABABAB（6）互斥（互不相容）事件：AB A，B不能同时发生（7）对立（互逆）AB AB ABAA 1,（1）AB B AAB B （2）ABC) ABCABC) AB（3）ABC) ABACABC) ABAC)（4）律（对偶律：AB AB,AB A【例1.4】设A,B为任意两个事件，则下列选项错误的（A）AB，则A,B可能不相（B）AB，则A，B也可能相（C

4、）AB，则A，B也可能相（D）AB，则A，B一定不相1.5ABC ABC 1）A2）AB都发生，而C3）ABC 4）ABC 5）ABC 6）ABC 7）ABC 三、古典概率和几何概13（1）e1,e2 等可能Pe1Pe2（2）P(A)（1）e1,e2 等可能Pe1Pe2（2）P(A)aAb个B球形状完全相同，A从袋中任取c A d B 球的概率（c ak+1（k1ab）个球，如果每球被取出后不放回，试求最后取出A 球的概率（c ad 1.6】10060件正品，403件，按照PA), P(BA 3 件均为次品B 两正品一次品【例1.7】一组中有ab名男生随机地站成一列求从前面数第k（1k abb

5、b是2）例如 将n N（n N ）A=n1B=“恰有n1恰有m（m n）人 4SARS生日在各月份的概率都相同A=“4B=“42C=“4D=“4人生日不都在同一月份” 0，1，2，9 10 A=1B=02（1）E 是从某一线段（或平面、空间中有界区域）4点位于中任意两个长度（或平面、体积）相等的子区间（或子区域）内的可能性相同，则所取得点位于 中任意子区间（或子区域）A 内这一事件（A ）的概率为P(A)【例 1.11午10min 1.12（会面问题11.13】071 在区间(0,1点位于中任意两个长度（或平面、体积）相等的子区间（或子区域）内的可能性相同，则所取得点位于 中任意子区间（或子区

6、域）A 内这一事件（A ）的概率为P(A)【例 1.11午10min 1.12（会面问题11.13】071 在区间(0,1中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于 的概率为2四、随机事件的概1（1） AP(iAPA0 规范性：对于必然事件P() 可列可加性A1A2,是两两互不相容的事件，即对于i jAi Aj i, j 1 （2）A0 PA规范性： P(0P() A1A2An 逆事件的概率 APA) 1P减法公式 P(B A) P(B PABA B，则有 PA) P(BP(B A) P(B) P(5ABPAB) PA P(B P注：3P(A BC) P(A) P(B)ABPAB) PA P(

7、B P注：3P(A BC) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(【例1.14】PA0.5，PAB0.2，P(B0.4PAB，PAB，PA+BP(【例1.15】 ABPA) 0.5PAB) 0.8,ABP(B) 【例1.16】已知P(A) 0.8，P(AB) 0.1，则P(AB) 【例1.17】已知A,B两个随机事件满足P(AB) P(AB)，且P(A) p，则P(B) 【例1.18】设随机事件A,B CPA PB PC 1 4PAB PBC 0,PAC 1 ,A, B C 三个事件中至少出现一个的概率8【例1.19】若AB，AC，且P(A)0.9，P(BC)0

8、.8，求P(ABC)1【例1.20】随机事件A,B，满足P(A) P(B) 和P(AB) 1则2(B) AB AB (C) P(AB)(D) P(A B) 五、条件概1、定P(A)AP(B【例1.21】 在1,9A3 的倍数B1=偶数B2 62（1）0 P(B| A) （2）P(| A)1，P(| A)（3）P(A| B) 1 P(A| 2（1）0 P(B| A) （2）P(| A)1，P(| A)（3）P(A| B) 1 P(A| （4）P(A1A2)|B P(A1|B)P(A2 |B)P(A1A2 |3、乘法公式 PA0PAB A)PAP(B)0,P(AB) P(A ABC PAB) 0P

9、(ABC) A)P(1.231.25ABA1（B）A （D）P(AB) （A）A（C）A 4（1）公式（逆概公式A1A2An 是完全事件组，且PAi0i1,则nP(B) P(Ai 公式（逆概公式P(AiB) i1,P(inP(Ai 7 , m-11六、事件的独立1AB是两个事件，如果满足等式 PAB) , m-11六、事件的独立1AB是两个事件，如果满足等式 PAB) PA)P(BABAB23若0 PA1AB独立P(B) P(B | A) P(AB) P(A)P(B) P(B) P(B| A) P(B| A) P(B| 4ABC P(AB) P(P(AC) P(P(BC) ABC P(ABC)

10、 P(【例 1.291.30ABC 是三个相互独立的随机事件，且0 P(C1（）A) AB 与(B) AC与(C) AB与(D) AB 与81.31ABC 3（）A) AB B(B) AB AB(C) AC(D) ABC ABAB1.32A1.31ABC 3（）A) AB B(B) AB AB(C) AC(D) ABC ABAB1.32AB互不相容，则）AP(AB)C P(A) 1 B P(AB) P(D P(AB) 1.33ABC ABC （B）AB AC（D）AB AC（A）ABC（C）AB AC【例 1.34】将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： A1 =掷第一次出现正面， A2 =掷次出

11、现正面A3 =正各出现一次， A4 =正面出现两次，则事件）（A）A1, A2A3相互独立（B）A2A3 A4相互独立（C）A1, A2A3两两独立（D）A2A3A4两两独立5、n试验独立重复地进行n（2）APA) p(0 p 1A1，Akk pk(1 p)nk(k 0,1,nBn10101039一、量的概请适当定义一变量（函数）使之与下列各随机试验的结果e 对应起来，即每一样本点e对应一数值X(e)，从而建立一个样本空间到实数一、量的概请适当定义一变量（函数）使之与下列各随机试验的结果e 对应起来，即每一样本点e对应一数值X(e)，从而建立一个样本空间到实数（1）为止射击次2定义在样本空间

12、e 上的实值函数 X(e) e X(e) 量常用大写字母X,Y,Z 等表示，即e X X(e)，其取值用小写字x, yz二、量的分布函xF(x) PX 1X F(xX 2X F(x（1）PX a F（2）PX a1PX a1F（3）PXaF(a0) lim F（4）PX a1PX a1 F(a（5）PX a PX aPX a F(a)F(a（6）Pa X b PX bPX a F(b)F（7）Pa X b PX bPX a F(b0)F（8）Pa X b PX bPX a F(b)F(a（9）Pa X b PX bPX a F(b0)F(a（8）Pa X b PX bPX a F(b)F(a（

13、9）Pa X b PX bPX a F(b0)F(a3 F(x) （2）F() lim F(x) 0，F() lim F(x) （3）x1 x2F(x1F(x2F(x F(x （4）2.1x0 xx 202F(x) Asin AX61ab(1xxF(x) abc2.22.3量分布函数的是131（A）F(x) （B）F(x) 1 x02（D）F(x) arctan（C）x0 x1PX 1F(x ） （B）2量的概率分（C）12（D）1（A）三、离散型1量称为离散型2.5】1023XX的所有可2X 为离散型随k,X 取各个xk 的概率为量，其可能取值为 2,)（2）pk （1）pk 0,(k 2,

14、)k2X 为离散型随k,X 取各个xk 的概率为量，其可能取值为 2,)（2）pk （1）pk 0,(k 2,)k ,)X 3F(x PX x PX xi xxkpk(k1,X xn x 0px12F(x)p1 3x F(xF(x2.62.5PX 1.5,P0 X 2,P0 X x 1 x1x3 3 x的分布函数为F x 【例2.7】 设量，则X 的分布律 中的最大号码，写出量X的分布4量（1）二项分布 B(n, Ap（0 p 1）nAX 所有可能的取值为0,2,nXpPX k Ckpk(1 Ck pk(q1p)，k ,nn服从于参数为2, p的二项分布量Y 服从于参数为3量的二项PX k C

15、kpk(1 Ck pk(q1p)，k ,nn服从于参数为2, p的二项分布量Y 服从于参数为3量的二项分布，若PX 1 5，则PY 192.10X X 31 （2）01分布 （二项分布的特例若量X 只有两个可能的取值0和1，其概率分布PX k p(1 k 0,1(0 p1) X 服从01（3）泊松分布 （二项分布的极限分布k PX k ( 0 ,01 设量), kX 服从参数为X 【例 2.111为 ，则这段时间内至少有两辆车通过的概率e（4）PX k1 p)k1p,(0 p1k 1,（5）设量X 的概率分布为MNnnM N NMN和n5设量序列Xn 服从二项分布B(n, pn) （这里概率p

16、n 与 n 有关，若pn 满 0（为常数则有：lim PX k lim Cn p (1 k lim n ekk0 1,2,Xp1 XP（设短时间内最多只发生一次断头2四、连续型1量的概率分如果对于量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函xF(x) pX xf( x x则称X 为连续型量，函数（设短时间内最多只发生一次断头2四、连续型1量的概率分如果对于量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函xF(x) pX xf( x x则称X 为连续型量，函数f (x)称为X 的概率密度函数（简称密度函数2（1）非负性： ( ) 0（ x（2） f （3）a和b(abbPa X b F(b)F(a)f (x

17、)dx aF(xPX x0，对xR成量（6）f (xF(x f 【例2.13】已知连续型量X 的密度函数xx1aaF(xfP 1 2 ,P 2 ,PX 222.14X 数xxx0 xx0（1）（2） 112.15f (xf (x f1(xf1（）(A) f1(x)dx1, f1(x)(C) f1(x)dx0, f1(x)(B) f1(x)dx1, f1(x)f(D) f1(x)dx 0, f1(x)f 【例 2.16X1X2 量，它们的分布函数分别为F1 (x)和F2 (x) f1(x)和f2 (x（ （A）F1(x F2x) 必为某（B）F【例 2.16X1X2 量，它们的分布函数分别为F1

18、 (x)和F2 (x) f1(x)和f2 (x（ （A）F1(x F2x) 必为某（B）F1(x) F2x必为某（C） f1(x) f2x) 必为某12（D） f (xf (x3 3 3（1）均匀分布 X U(a 1 xX f (x) ， 其X 服从a, bX U(a，babx a a xxxX 的分布函数为： F(xbaK在05上服从于均匀分布，则方程4x2 4KxK 20【例 2.17的概率为。【例2.18】设随量X 在2,5上服从均匀分布,现在对X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3 的概率.（2）指数分X E(ex，x f (x) 如果量X ，其密度函数为，x 其中 0X 服

19、从参数为X E(1xxF(x) 【例 2.19】 假设量X 服从参数为的指数分布，且X 落入区间(1,2)内的概率到最大，则（3）正态分布 X N(,21D 一般正态分(xu1续型量，如果其密度函数为f (x) e( x2,为常数， （3）正态分布 X N(,21D 一般正态分(xu1续型量，如果其密度函数为f (x) e( x2,为常数， , 0X 服从参数为 和2 记作X N(,22D 标准正态分 (01) 1用(x) 表示，分布函数用(x) 表示。其中(x) e 2 ( x)2）(x) (x) y (x) 112(0) P a 2(a)3）上 (01) PX u ，则称u 为标准正态分布

20、的 分位点。由(u 1 ，因此可以利用标准正态分布表查出u 3D 标准正态分布与一般正态分布的关系（标准化X X N(u, Z 2N(0,12.20】X N(,2，且(30.9987PX N(2,2)，且P2 X 40.3，则PX 0量【例2.22】设量X 服从正态分布N( , )，Y 服从正态分布N( , )，22 ）（A）1 （C）1 （B）1 （D）1 ）（A）1 （C）1 （B）1 （D）1X N(0,1，对给定的(0 1，数u 满2.23PX uP（A）2 x x（B）2（D）2五、1量函数的分PXxk pkk 1,X X gXg(xkPY g(xk) pkk 1g(xk 数量Y g

21、X该值的概率，就可以得到Y gX【例2.24】量X 的分布律X则Y X2的分布律为2X fX (x),Y gXfY g(x)先求F y P(Y y P(gX yf y) Ff YXYY（1）g(x) （2）g(x) 【例2.25设量X在区（1,2上服从均匀分布试求Y e2X 的概率密度函数f (Y【例2.26】设量X 的密度函数为-1,1 x1,1 xf (x) 0 xY X2，求Y f XY一、二维量及其分布函1量 Y() 是定义在样本空间上的两个X X量X,Y量（或随机向量2设， F(x，y) PX x一、二维量及其分布函1量 Y() 是定义在样本空间上的两个X X量X,Y量（或随机向量2

22、设， F(x，y) PX x，Y , x , y 的分布函数或量X 与Y 的联合分布函数，它表示随机事量 ， 3（1）x, yR 0 F(x, y) 1（2）F(, y) F(x,y)0；F(x,) lim F(x,y)F(,) lim F(x,y) 0,F(,) lim F(x, y) F(x, yxy F(x, yxy F(x, y) F(x0, y),F(x, y) F(x, y0) x, y4、二维量的边缘分布函设二维量(X，Y)的分布函数为F(x, y)，分别pX xpX x,Y F(x，)FX (x)lim F(x,FY (y) F(,y) lim F(x,为X,YX 和关于Y 【

23、例3.1】设二维量(X,Y)的分布函数为xyF(x,y) A(B)(C23【例3.2】设二维量(X,Y)的分布函数为(1e2x)(1eyx0,yF(x, y) FX (xFY 5设二维(1e2x)(1eyx0,yF(x, y) FX (xFY 5设二维量(X,Y) 的分布函数为F(x, y) ，关于X 和关于Y 的分布函数分别FX (xFY yxy F(xy FX (x)FY y和Y 二、二维离散型1、二维离散型量定量如果二维量(X,Y)可能取的值为有限对或无限可列多对实数，则称(X,Y)为量(X,Y)所有可能的取值为(xi,yj )(i, j )，且对应的概率为PXxi,Yyjpij,(i,

24、j2,) 0，ij1,量X,Yi1 j概率分布或量X 和Y 的联合概率分布3定义：对于二维离散型量(X,Y)，设其概率分布PX xi,Y yj pij，i,jX PXxiPXxi,Y jxi,Y yjpij pi(ijY PYyiPX ,Y yixi,Y yjpij pj(ji4量，PX xi,Y yj pij，i，j（1）jPY yj0j 1,)PX xi,Y yjPY yjPX Yyji1,Yyj 条件下随量pX （2）对于给定的iPXxi0(PX xi,Y yjPY yjPX Yyji1,Yyj 条件下随量pX （2）对于给定的iPXxi0(i1,)PX xi,Y yjpPY X x i

25、j ,i1,为在X x 条件下量Y PX xjiipii5、离散型量X 与Y 的独立如果X,YX 和Y PX xi,YyjPX xiPYyj，i，jpii pii，j 3.33X,Y 1,2 X和Y 3.4】 10Y X， 的联合分布律，边缘分布律，并问 X 与Y 量（）3.51个红色球，2 3 X,YZ （）PX 1Z 量X,Y概率分布（） ，i123X1X2 i【例3.7】设二维量(X,Y)的分布律YX010ab1c11已知PY 1 X 0，PX 1Y 0，求a,b,2三、二维连续型3量、定义：设二维量(X,11已知PY 1 X 0，PX 1Y 0，求a,b,2三、二维连续型3量、定义：设

26、二维量(X,Y) 的分布函数为F(x, y) ，如果存在非负可积的二元函 f (x, yx、yF(x, y) f (uv)dudv ，则称X,Y f (x, y量X,YX 和的联合密度函数（1）f (x, y) 0 （2） f (x,y)dxdy （3）Dxoy 平面上任一区域，则点(x, yDP(X,Y)D f (x,D2F(x, 在点(x y f(xy（4）f.f(x,y) kx,0 x y 【例3.8】设二维量(X,Y)的概率密度（）（）PX Y 【例3.9】已知量X与Y 的联合概率密度0 x1,0 yf (x,y) （2）PX Y（3）PX Y（1）常数（4）F(x, 3定义：设(X,

27、Y)为连续型量，它的概率密度函数为f (x, y)，X fX (x f (xY fY y f(x通常分别称fX (x) 和fY (y) 为二维量(X，Y)关于X 和Y 的边缘密度函数量X,Yf (x, f (xY fY y f(x通常分别称fX (x) 和fY (y) 为二维量(X，Y)关于X 和Y 的边缘密度函数量X,Yf (x, f (x, （）y fY y) 0fX Y y) f (YY yf (x, （）x，边缘概率密度 f (x) 0 x)f(XY f XX x下Y 量(X,Y)的联合密度为f (x, y)，边缘概率密度分别为fX (x) fY (y) ，则量X 和Y 相互独立的充要

28、条件是，对一切x,y均f (x,y) fX (x) fY (0 x yx量(X,Y)的概率密度为f(x,y) ey0 x 【例3.11（92，3） 设二维量(X,Y)的概率密度为f x,y （1）X fX （2）PX Y 13.12X 和Y 在(0,1区间上服从均匀分布，Y 2 y fY y ，（1）（2）aa2 2XaY 0a量X,Y3.13f(x,y)1,0 x yfYX (x), fXY (xy)6（1）DSD 量XY1(x, y),密度函数 f (xy量X,Y3.13f(x,y)1,0 x yfYX (x), fXY (xy)6（1）DSD 量XY1(x, y),密度函数 f (xy

29、则称XYD上的二维均匀分布 (x, y)D(xy) a xbc yd和Y 是独立的，并且分别服从区间ab,cd分布的量(X,Y)，则它的两个分量 量( ) 的概率密度为)2(x 2(x )(y (y1f (x, y) 2 ,x,y2(1 222221 1 1 其中12,1 0,2 01 1均为常数，则称X，Y) 服从参数为12,1,2X，Y) N( ; , X，YX N( , Y N( , 22X与Y X与Y X与Y k X k Y N(k k ,k k 2 2 121 2 1 2 X与Y k X k Y N(k k ,k k 2kk 2 2 121 2 1 2 1 1 3.14（98，1）D

30、y 1 y 0 x1xe2x量X,YD上服从均匀分布，则X,YX X 2值量X,Y N(00;1,10P X 0 （） 3.14（98，1）Dy 1 y 0 x1xe2x量X,YD上服从均匀分布，则X,YX X 2值量X,Y N(00;1,10P X 0 （） 1412(C) 31(B)量X,YX 与Y fX (x), fY yX,Y 的概率密度，则在Y yX fX Y y为（ (A) fX (B) fY (fX (C) f (x)(f (Y四、二维1量函数的分已知X，YPX xi,YyjPX xiPY yj，i，jZ gX,Y量X 、Y 服从同一分布，且X 的分布律量Z maxX,Y的分布律

31、量X1,4 P(Xi 00.6P(Xi 10.4(i234XPZ g(X,Yg(X1,Y1 g(Xi ,Yj pX,Y X P(1Y P(2)3.19Pmax(X,Y) 0 ，Pmin(X,Y) 0 3.203X,Y 1,2 求： =X X,Y X P(1Y P(2)3.19Pmax(X,Y) 0 ，Pmin(X,Y) 0 3.203X,Y 1,2 求： =X Y,=X Y 2（1）的概率密度为f (x, y)则量的函数Z g(X,Y)的量，布函数为FZ (z) PZ z PgX,Y z（2）g(x,y)f (x,Z X Y Z fZ (z) f (x,z或 fZ (z f (z yfZ (z

32、) fZ (z) fX (z y)fY (fX (xfY (zx)dxX与Y 2D 最大最小分X1 Xn FX (xn n maxXiX 1M Xn) z PX1 z,X2 zXn F PX1zPX2 zPXn zX nn) n) F 11PX1z,X2zXn z1PX1zPX2 zPXn FX 特别地，当X1Xn 独立同分布，即Xi F(x（i 1n）时(z)11FF (z) Fn(z),MNX和Y N(0,1N(1,1则12121212（A） X 0（B） X (z)11FF (z) Fn(z),MNX和Y N(0,1N(1,1则12121212（A） X 0（B） X （C）X与Y 独立

33、，且均服从03上的均匀分布，3.22Pmax(X,Y)1, Pmin(X,Y)1【例 3.23】设两个相互独立同分布的量X 和Y 的分布函数为Fx、Fy，Z maxX,Y分布函数为A F2x ）B FxFy 【例 3.24（93，4）的指数分布。当三个元件都无故障工作时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间T 的概率分布。量X,Y3.252x 0 x1,0 yf (x,y) Z X Y fZ (zX,Y 0 x y 0y fX x ，Y ( ) 求量Z 2X Y 的概率密度X 与Y X X 而Y 的概率密度为f (y)，求量U X Y 的概率密度g一、1量的数学期xi

34、pi(i)，若级数xi iX 称xi pi 为量X 的数学期望，记作一、1量的数学期xipi(i)，若级数xi iX 称xi pi 为量X 的数学期望，记作EX ，即EX xi pi ；如果级数pi iX 量函数的数学期若X 是离散型量，其概率分布为PX xi pi，i ，g(x)为连续实数，Y gXg(xi pi EgXEY EgX g(xi ii若，)是二维离散型PX xi ,Y yj pij,i, j 12， (x , ) Z gX，Y 当g(xiyj )pij EgX，YEZ EgX，Y) g(xiyj i1 ji1 j4.152，33X 为抽EX EX EX )2 3 件合格品. 3

35、 X 的数学4.3】设X ,Y 0.3, 0.1, 0.1, 0.1（1）求EX，EY（2）设Z X Y求EZ3）设Z X Y)2求2量的数学期设连续型量X 的概率密度为 f (x) ，若积分 xf (x)dx 绝对收敛，则称积 xf(x)dxX 的数学期望，记为EX ，即EX xx dx xf x dx X fX (xg(x为连续实函数，Y gXX g(x) f (x)dx 绝对收敛，则Eg(X)存在，且EY xf(x)dxX 的数学期望，记为EX ，即EX xx dx xf x dx X fX (xg(x为连续实函数，Y gXX g(x) f (x)dx 绝对收敛，则Eg(X)存在，且EY

36、 Eg(X) g(x)fX Xx，Z gX,Y若X ,Y g(x, y) f (x, y)dxdy EgX,Y EZ Eg(X,Y) g(x,y)f (x,【例4.4】设量X 的密度函数 2 cos2 x, f (x)=，求2 其X 0 x4.5fX ，求EX 4.6X 的概率密度为 4.712y2,0 y x设X,Y)的密度函数为f(xy，求EXEYEXYEX2 Y23（1）设CE(C) CEX C E(CiX CiEX （2）X （3）设X与Y 是两个量，则有E(k1X k2Y)k1EX k2EY （4）X与Y 相互独立，则有 EXY) EXEY Xiji, j 1,nn2 2 Y 的数学

37、期望EY #二、1量的方量，如果 EX) 2存在，则 EX) 2X X DX DX EX EX 2，称 DX 为标准差或均方差. （1） Y 的数学期望EY #二、1量的方量，如果 EX) 2存在，则 EX) 2X X DX DX EX EX 2，称 DX 为标准差或均方差. （1）离散情形：若X 是离散型量，其概率分布为PX xi pi，iDX E(X EX ) (x EX)2 2iii ( ) ，DX E(X EX ) (xEX ) f22（2）DX EX2 (EX2量Y若X 若X 0若X 量X 在区间1,2上服从均匀分布,D(Y.X 0 x，求4.11f3（1）设C DC 0C D(CX

38、C2DX C D X C DX X X D(aX ba2DX （ab为任意常数（2DXYDX （4）X,Y 量3X ）X 和Y 42（4、常用量的数学期望和方（1）01分如果量X (01)分布，即PX i pi(1 p)1i(i0,1)p(1 （2）二项分布 X4、常用量的数学期望和方（1）01分如果量X (01)分布，即PX i pi(1 p)1i(i0,1)p(1 （2）二项分布 X B(n, pPXk C p (1 (k 0,1,k X nEX npDX np(1 （）泊松分布 X P(pX k ，k,若一个量X 的概率分布其中 0X服从参数为X P(EX DX （）均匀分布 X U 1

39、 ，axX f (x) b ， 其X 服从a, bX U(a，baEX DX 2（）指数分布 X E(ex，x f (x) 量 X，如果其密度函数其中 0X服从参数为X E(EX 1 1DX （）正态分布 X N(， 2 ( xu1量X，如果其密度函数为f(x)( x其中 、 为常数， ， 0，则称X服从参数为 和2 的正态分布，X N(， 2 EX DX 【例4.13（1）设量X E()，PX DX ,E(2X eX)（2）设X P(1)，X N(， 2 EX DX 【例4.13（1）设量X E()，PX DX ,E(2X eX)（2）设X P(1)，则PX EX2xx量X 的概率密度为 f

40、(x)则D(2X 1) 【例4.15】设一次试验成功的概率为 p ，进行100次独立重复试验，当 p 1cos 0 x其f (x) 【例4.17】设量X 的概率密度2X 4 次，用Y 表示观察值大于 的次数，求Y 的数学期望3【例4.18】设两个量X,Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为 的正态分布，21X 的方差随量三、量的1、kX X( 12)存在，则称EXkXk原点矩，记为2、k阶中心矩 如果E(X EX(k 2,3) 存在，则称E(X EX)k 为X 的k 阶心矩，记为3k+lEX EXk(Y EY)lkl 1 存在则称之为X Y k l 四、协方差和相关系1 量设EX 和EY 都存

41、在如果E(X EX)(Y EY)存在则称其为量X 与Y 的协方差，记作cov(X,Y)，cov(X,Y) E(X EX)(Y EY（2）对于任意两个量X 和Y 有：cov(X,Y) EXY 【例 4.19】假设二维量X,Ycov(X,Y) E(X EX)(Y EY（2）对于任意两个量X 和Y 有：cov(X,Y) EXY 【例 4.19】假设二维量X,Y在矩形Gx,y0 x2,0 y1上服从均X X X X 分布。记 U V ，求U 和V 求cov(U,VX Y 为取出白球的个数。求covX ,Y4.21设，求covX,Y（3） 2Dcov(X,X)DX 3Dcov(aXbYabcovX ,Y

42、) ，其中 ab4DcovXC0 其中C 5Dcov(X X ,Y) cov(X ,Y)cov(X ,Yco（X 1nnn(n 2N(0, X 2X 4.22记.（I）Yi DYii ,n（II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn2（1）定义，X 和Y cov(X，YX 与Y 的（线性）（2）1的充分必要条件是 X 与Y 以概率 1 线性相关，即存在常数 a和b，使得PYaX b1a01a0XY 【例4.23X N(0,1Y 1的充分必要条件是 X 与Y 以概率 1 线性相关，即存在常数 a和b，使得PYaX b1a01a0XY 【例4.23X N(0,1Y X2 ，i123X1X2 i【例4.25设二维量X，Y 圆G (x,y)